turunan

Ketaksamaan Bernoulli

Salah satu ketaksamaan penting dalam matematika adalah ketaksamaan Bernoulli: jika p ≥ 1, maka

(1 + a)p ≥ 1 + pa,

untuk setiap a > -1.

Untuk a = 0, ketaksamaan jelas berlaku. Selanjutnya misalkan a > 0. Dalam hal ini ketaksamaan di atas setara dengan

Untuk membuktikannya, tinjau fungsi f(x) = (1 + x)p, x ≥ 0. Ketaksamaan di atas berbunyi

Karena f kontinu dan mempunyai turunan pada (0, ∞), menurut Teorema Nilai Rerata untuk turunan, terdapat c di antara 0 dan a sedemikian sehingga

Tetapi

f’(c) = p(1 + c)p – 1p(1 + c)0 = p

mengingat 1 + c > 1. Jadi ketaksamaan terbukti untuk a > 0. Selanjutnya, untuk -1 < a < 0, ketaksamaan Bernoulli setara dengan

Dengan cara serupa seperti di atas, dan mengingat 0 < 1 + c < 1, kita mempunyai

f’(c) = p(1 + c)p – 1p(1 + c)0 = p.

Jadi ketaksamaan pun terbukti untuk -1 < a < 0.

Nah, dengan ketaksamaan Bernoulli, Anda dapat membuktikan perbandingan bunga majemuk yang diminta minggu lalu.

O ya, barangkali ada yang belum tahu, ada tiga matematikawan asal Swiss yang memiliki nama belakang Bernoulli, yaitu Jacob Bernoulli, Johann Bernoulli, dan Daniel Bernoulli. Jacob dan Johann adalah kakak dan adik. Daniel adalah anak dari Johann. Nah, siapakah di antara mereka yang namanya disematkan pada ketaksamaan di atas?

*

Bandung, 19-09-2017

Advertisements

Fungsi Konveks

Misalkan I suatu interval di R, bayangkan saja I = (a, b). Fungsi f : I → R dikatakan konveks apabila untuk setiap x, y ∈ I dan t ∈ [0, 1] berlaku

f(tx + (1 – t)y) ≤ tf(x) + (1 – t)f(y).

Jika f : I → R konveks dan x1 < x2 < x3 di I, maka

(x3x2)f(x1) + (x1x3)f(x2) + (x2x1)f(x3) ≥ 0.

Dari ketaksamaan ini, kita peroleh

sehingga f mempunyai turunan kiri dan turunan kanan di setiap titik dan

untuk setiap x ϵ I. Dengan analisis yang cermat (tetapi tidak trivial — seperti kata Fajar Yuliawan), dapat dibuktikan bahwa f kontinu pada I dan mempunyai turunan kecuali mungkin di sejumlah terhitung titik di I.

Akibatnya, jika f : I → R konveks, maka untuk setiap c ∈ I terdapat setidaknya sebuah garis yang melalui (c, f(c)) dan berada di bawah kurva y = f(x), yakni

f(c) + m(xc) ≤ f(x),     x ϵ I,

dengan m bergantung pada c. Jika f mempunyai turunan di c, maka m = f’(c); jika f tidak mempunyai turunan di c, maka m dapat dipilih di antara nilai turunan kiri dan turunan kanan f di c. Garis tersebut disebut sebagai garis penyangga f di (c, f(c)).

Sebagai contoh, jika f(x) = x2 dan c = 0, maka garis y = 0 merupakan garis penyangga f di (0, 0). Tetapi, jika f(x) = |x| dan c = 0, maka sembarang garis y = mx dengan -1 ≤ m ≤ 1 merupakan garis penyangga f di (0, 0) — lihat gambar di bawah ini.

*

Bandung, 08-09-2017

Turunan dan Kekontinuan – IV

Eksistensi turunan di suatu titik hanya menjamin kekontinuan di titik tersebut, tidak pada suatu interval buka yang memuat titik tersebut. Sekarang bagaimana dengan kebalikannya: jika f kontinu pada suatu interval dengan panjang positif, apakah f akan mempunyai turunan kecuali di sejumlah titik dalam interval tersebut? Sebagai contoh, fungsi tangga Cantor yang grafiknya seperti pada gambar di bawah ini merupakan fungsi yang kontinu pada [0, 1]. Fungsi ini tidak mempunyai turunan di tak terhingga banyak titik, tetapi di titik-titik lainnya ia mempunyai turunan nol. Secara keseluruhan, fungsi tangga Cantor mempunyai turunan ‘hampir di mana-mana’ (yakni, mempunyai turunan kecuali pada suatu himpunan ‘berukuran nol’).

cantor-function

Namun, jangan salah, ada banyak fungsi yang kontinu pada suatu interval buka tetapi tidak mempunyai turunan di satu titik pun dalam interval tersebut. Salah satu contohnya adalah fungsi Weierstrass,

rumus fungsi weierstrass

yang grafiknya seperti di bawah ini:

fungsi weierstrass

Fungsi Weierstrass kontinu di setiap titik tetapi tidak mempunyai turunan di titik manapun. Fungsi ini ‘ditemukan’ dan dipublikasikan oleh Karl Weierstrass pada 18 Juli 1872.

*

Bandung, 21-07-2017

 

Turunan dan Kekontinuan – III

Kita telah mengetahui bahwa eksistensi turunan sebuah fungsi di suatu titik mengakibatkan kekontinuan fungsi di titik tersebut. Nah, apakah kita bisa menyimpulkan lebih daripada itu? Persisnya: apakah eksistensi turunan sebuah fungsi di suatu titik juga mengakibatkan kekontinuan fungsi di sekitar titik tersebut? Jawabannya negatif. Sebagai contoh, fungsi f yang didefinisikan sebagai

merupakan fungsi yang mempunyai turunan di 0 (dengan ‘(0) = 0), tetapi f hanya kontinu di 0, tidak di titik lainnya.

*

Bandung, 18-07-2017

Turunan dan Kekontinuan – II

Di sekolah ataupun di perguruan tinggi, guru atau dosen sering memberi contoh fungsi yang kontinu di suatu titik tetapi tidak mempunyai turunan di titik tersebut. Contoh yang biasa diberikan adalah fungsi f(x) = |x| di titik 0.

grafik fungsi nilai mutlak

Nah, terkait dengan artikel sebelumnya, buktikan bahwa masing-masing fungsi di bawah ini kontinu di 0 tetapi tidak mempunyai turunan di 0. Petunjuk: Perhatikan grafik fungsinya.

(a)

 

fungsi akar x ganjil

(b)

rumus fungsi sinc 1 per x

x-sin-1-per-x-o

Catatan. Kedua fungsi di atas mempunyai karakteristik yang berbeda terkait dengan ketiadaan turunannya di 0. Keduanya juga berbeda dengan fungsi nilai mutlak yang tidak mempunyai turunan di 0 karena grafiknya ‘patah’ di 0.

*

Bandung, 14-07-2017

Turunan dan Kekontinuan – I

Bila Anda sudah ‘mencicipi’ Kalkulus, tentunya Anda sudah mengetahui apa yang dimaksud dengan turunan dari suatu fungsi, serta riwayatnya – yang terkait dengan upaya Newton menentukan kecepatan sesaat dari suatu partikel yang bergerak dan upaya Leibniz menentukan gradien garis singgung pada suatu kurva di suatu titik.

Diberikan sebuah fungsi f : I → R, dengan I ⊆ R suatu interval yang memuat titik c, turunan dari f di titik c didefinisikan sebagai

definisi turunan

asalkan limit ini ada. Perhatikan jika f mempunyai turunan di c, maka

turunan dan kekontinuan

dan karena itu

limit fungsi kontinu

yang berarti bahwa f kontinu di c. Jadi, kekontinuan f di c merupakan syarat perlu bagi eksistensi turunan f di c. Tetapi, ada banyak contoh yang memperlihatkan bahwa kekontinuan f di c bukanlah merupakan syarat cukup bagi eksistensi turunan f di c.

Salah satu contoh penyangkalnya adalah f(x) = |x|. Fungsi ini kontinu di 0, tetapi tidak mempunyai turunan di 0 karena

turunan nilai mutlak di 0

tidak ada (limit kirinya sama dengan -1, sedangkan limit kanannya sama dengan 1).

Terkait dengan eksistensi limit, kita mengetahui ada beberapa hal yang dapat menyebabkan limit suatu fungsi di suatu titik tidak ada. Penyebab pertama adalah limit kiri dan limit kanannya ada tetapi tidak sama. Penyebab kedua adalah limit kiri atau limit kanannya tidak ada, entah karena ‘menuju tak terhingga’ atau ‘berosilasi’.

Problem: Temukan fungsi f yang kontinu di suatu titik c tetapi tidak mempunyai turunan di titik itu karena limit kiri dan/atau limit kanan dari [f(x) – f(c)]/(xc) tidak ada, khususnya karena (a) limit kiri dan/atau limit kanannya ‘menuju tak terhingga’ dan (b) limit kiri dan/atau limit kanannya ‘berosilasi’.

*

Bandung, 11-07-2017

Fungsi yang Kontinu Hanya di Satu Titik

Apakah Anda bisa membayangkan sebuah fungsi yang kontinu hanya di satu titik, katakan di c = 0, dan tidak kontinu di titik lainnya?

Sebagai contoh, tinjau fungsi f : R → R yang didefinisikan sebagai f(x) = x jika x rasional dan f(x) = –x jika x irasional. Fungsi ini kontinu hanya di c = 0, tidak di titik lainnya. Sila buat sketsa grafik fungsi ini!

Nah, dengan sedikit modifikasi, Anda juga dapat mengkonstruksi contoh fungsi yang mempunyai turunan hanya di satu titik, dan tidak mempunyai turunan di titik lainnya. Sila coba!

*

Bandung, 12 Mei 2017

 

 

Titik Ekstrim Lokal dan Titik Stasioner

Misalkan f mempunyai turunan pada interval (a, b) dan c ∈ (a, b). Jika f mencapai nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal di c, maka f‘(c) = 0.

Fakta ini dapat dibuktikan melalui kontraposisinya: Jika f’(c) ≠ 0, maka f tidak akan mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c.

Buktinya adalah sebagai berikut. Menurut definisi turunan,

turunan di c

Nah, misalkan f‘(c) > 0. Maka, menurut definisi limit, terdapat suatu δ > 0 sedemikian sehingga

turunan positif

untuk x ∈ (cδ, c + δ), xc.

Sekarang perhatikan bahwa untuk x ∈ (c, c + δ), kita mempunyai xc > 0 dan ketaksamaan di atas memberikan f(x) – f(c) > 0 atau f(x) > f(c). Jadi f tidak mungkin mencapai nilai maksimum lokal di c. Selanjutnya untuk x ∈ (cδ, c), kita mempunyai xc < 0 dan ketaksamaan memberikan f(x) – f(c) < 0 atau f(x) < f(c). Jadi f juga tidak mungkin mencapai nilai minimum lokal di c.

Hal serupa terjadi ketika f‘(c) < 0. Jadi, jika f‘(c) ≠ 0, maka f tidak akan mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c.

Catatan. Kebalikan dari fakta di atas tidak berlaku: Jika f‘(c) = 0, tidak ada jaminan f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c. Sebagai contoh, f(x) =x3 mempunyai turunan 0 di c = 0, yakni f’(0) = 0, tetapi f tidak mencapai nilai maksimum ataupun minimum di c = 0. Titik maksimum atau minimum lokal disebut sebagai titik ekstrim lokal, sedangkan titik dengan turunan 0 disebut titik stasioner. Jika f‘(c) ada dan c merupakan titik ekstrim lokal, maka c haruslah merupakan titik stasioner. Tetapi jika c merupakan titik stasioner, c belum tentu merupakan titik esktrim lokal.

*

Bandung, 05-05-2017

Teorema Rolle dan Teorema Nilai Rata-Rata untuk Turunan

Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada interval [a, b] dan mempunyai turunan pada interval (a, b). Jika f(a) = f(b), maka terdapat suatu c ∈ (a, b) sedemikian sehingga f‘(c) = 0. Fakta ini dibuktikan pertama kali untuk fungsi polinom oleh Michel Rolle (1652-1719), karena itu diberi nama Teorema Rolle.

Bukti Teorema Rolle untuk fungsi f sembarang diberikan oleh Augustin-Louis Cauchy (1789-1857). Argumentasinya kira-kira sebagai berikut. Ingat jika f kontinu pada interval [a, b] yang kompak, maka menurut sifat kekontinuan f akan mencapai nilai maksimum M di suatu titik c1 ∈ [a, b] dan f juga mencapai nilai minimum m di suatu titik c2 ∈ [a, b]. Jika c1 dan c2 adalah titik-titik ujung interval [a, b], hipotesis f(a) = f(b) memaksa m = M, dan dalam hal ini f mestilah konstan pada [a, b]. Akibatnya f‘(c) = 0 untuk setiap c ∈ (a, b). Jika c1 bukan titik ujung [a, b], maka cdi (a, b) dan f mencapai nilai maksimum lokal di c1. Ini hanya dapat terjadi ketika f‘(c1) = 0. Hal serupa terjadi bila c2 bukan titik ujung [a, b]. Jadi, dalam kasus manapun, mestilah terdapat c di (a, b) sedemikian sehingga f’(c) = 0. Sebagai ilustrasi, lihat gambar di bawah ini.

teorema_rolle

Sebagai perumuman dari Teorema Rolle, kita mempunyai Teorema Nilai Rata-Rata, yang berbunyi: Jika f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b), maka terdapat c ∈ (a, b) sedemikian sehingga f‘(c) = [f(b) – f(a)]/(ba). Nilai [f(b) – f(a)]/(ba) disebut nilai rata-rata f pada [a, b]. Nilai ini sama dengan gradien ruas garis singgung yang menghubungkan titik (a, f(a)) dan (b, f(b)). Teorema Nilai Rata-rata menyatakan bahwa pada kurva y = f(x) terdapat suatu titik (c, f(c)) dengan gradien garis singgung sama dengan nilai rata-rata f pada [a, b]. Secara fisis, jika y = f(t) menyatakan posisi suatu partikel yang bergerak (sepanjang garis lurus) pada saat t, maka f‘(t) menyatakan kecepatan sesaat partikel pada saat t dan [f(b) – f(a)]/(ba) menyatakan kecepatan rata-rata partikel tersebut pada interval waktu [a, b]. Teorema Nilai Rata-Rata menyatakan bahwa partikel tersebut akan mencapai kecepatan rata-ratanya pada suatu saat c di (a, b).

Teorema Nilai Rata-Rata dapat dibuktikan dengan meninjau fungsi F yang didefinisikan pada interval [a, b] sebagai F(x) = f(x) – hx dengan h = [f(b) – f(a)]/(ba). Dalam hal ini, F kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Periksa juga bahwa F(a) = F(b), sehingga F memenuhi hipotesis Teorema Rolle. Karena itu, mestilah terdapat suatu titik c ∈ (a, b) sedemikian sehingga F‘(c) = 0. Karena F’(c) = f’(c) – h, kita peroleh f’(c) = h = [f(b) – f(a)]/(ba).

Sebagaimana telah diungkap dalam artikel sebelumnya, Teorema Nilai Rata-Rata diperlukan dalam pembuktian Teorema Dasar Kalkulus II.

*

Bandung, 02-05-2017

Teorema Dasar Kalkulus II

Dari Teorema Dasar Kalkulus I (TDK I) dapat diperoleh Teorema Dasar Kalkulus II (TDK II) yang berbunyi: Jika f kontinu dan mempunyai anti-turunan F [yang memenuhi F’(x) = f(x)] pada interval [a, b], maka

Teorema Dasar Kalkulus II

Buktinya adalah sebagai berikut. TDK I telah memberi tahu kita bahwa

anti-turunan

merupakan anti-turunan dari f(x) pada [a, b], yakni G’(x) = f(x) untuk setiap x ∈ [a, b]. Akibatnya, kita mempunyai G’(x) − F’(x) = 0 untuk setiap x ∈ [a, b]. Menurut Teorema Nilai Rata-Rata (untuk turunan), hal tersebut hanya mungkin terjadi apabila G(x) − F(x) = C (konstan) untuk setiap x ∈ [a, b]. Jadi, kita peroleh

Teorema Dasar Kalkulus II - b

untuk setiap x ∈ [a, b]. Dengan mensubstitusikan x = a, kita mempunyai F(a) + C = 0 (karena integral pada [a, a] mestilah sama dengan 0). Jadi C = −F(a), dan kesamaan di atas menjadi

Terorema Dasar Kalkulus II - c

untuk setiap x ∈ [a, b]. Khususnya, untuk x = b, kita peroleh

Teorema Dasar Kalkulus II

Catatan: Teorema Nilai Rata-Rata untuk turunan menyatakan jika f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b), maka terdapat c ∈ (a, b) sedemikian sehingga f’(c) = [f(b) – f(a)]/(ba).

*

Bandung, 28-04-2017