Month: November 2016

Garis Singgung pada Lingkaran

Kita telah mengetahui bahwa garis singgung pada lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jarinya. Fakta ini telah dibuktikan dengan cantik oleh Euclid dalam buku Elements, Jilid III, sebagai berikut.

Misalkan O adalah titik pusat lingkaran dan r adalah jari-jari lingkaran, dan andaikan terdapat garis singgung pada lingkaran, katakanlah di titik X, yang tidak tegak lurus terhadap jari-jarinya. Pilih titik P pada garis singgung sedemikian sehingga OP tegak lurus terhadap garis singgung tersebut.

garis-singgung-lingkaran

Dalam hal ini, P merupakan titik pada garis singgung yang terdekat dari O. Khususnya, |OP| < |OX| = r. Tetapi ini mustahil, karena P berada di luar lingkaran! Jadi setiap garis singgung pada lingkaran mestilah tegak lurus pada jari-jarinya.

*

Bandung, 28-11-2016

Hasil Kali Skalar

Dalam buku-buku yang membahas ruang vektor, biasanya ada definisi hasil kali titik (dot product) atau hasil kali skalar (scalar product). Di Rn, hasil kali skalar antara dua vektor x = (x1, …, xn) dan y = (y1, … , yn) didefinisikan dengan rumus

xy = x1y1 + … + xnyn,

namun sering kali si pengarang tidak memberi penjelasan dari mana rumus tersebut diperoleh atau mengapa rumusnya harus seperti itu. Nah, artikel singkat ini akan menjelaskan mengapa hasil kali titik di Rn mempunyai rumus seperti itu.

Misalkan kita mempunyai sebuah garis l di Rn, yang katakanlah (untuk mempermudah pembahasan) melalui titik asal O(0, …, 0) dan A(a1, …, an). Jadi koordinat sebarang titik di l adalah k(a1, …, an) untuk suatu bilangan real k. Misalkan kita juga mempunyai sebuah titik Q(q1, …, qn) di luar garis l, dan kita ingin mencari titik P(p1, …, pn) pada garis l yang paling dekat ke Q.

Jarak antara titik P(p1, …, pn) dan Q(q1, …, qn) di Rn dalam hal ini diberikan oleh rumus

hasil-kali-skalar_1

Rumus jarak ini merupakan perumuman dari Dalil Pythagoras (terkait segitiga siku-siku).

Nah, mengingat P = kA untuk suatu bilangan real k, persoalan di atas sama saja dengan mencari k sedemikian sehingga |kAQ|2 minimum. Tetapi

hasil-kali-skalar_2

yang merupakan fungsi kuadrat dalam k, dan grafiknya berupa suatu parabola yang terbuka ke atas. Dari pengetahuan tentang fungsi kuadrat, kita tahu bahwa |kAQ|2 akan mencapai minimum apabila

hasil-kali-skalar_3

Perhatikan juga bahwa dengan nilai k di atas, kita mempunyai

|kA – O|2 + |kAQ|2 = |Q – O|2.

Dalam hal ini, vektor OB = OQk.OA tegak lurus terhadap vektor k.OA (dan akibatnya OB juga tegak lurus terhadap OA, termasuk ketika k = 0), dan vektor k.OA dikenal sebagai vektor proyeksi dari vektor OQ terhadap vektor OA.

vektor-proyeksi-ortogonal

 

Nah, karena bentuk penjumlahan hasil kali a1q1 + … anqn muncul dalam solusi persoalan yang kita anggap penting, maka kita definisikan hasil kali skalar a1q1 + … anqn = aq. Jadi rumus ini bukan turun dari langit, tetapi diperoleh dari persoalan mencari titik terdekat.

Dengan rumus hasil kali skalar ini, dua vektor OA dan OB saling tegak lurus jika dan hanya jika ab = a1b1 + … + anbn = 0.

Selanjutnya anda dapat mempelajari dari buku sifat-sifat apa saja yang dimiliki oleh hasil kali skalar di Rn.

*

Bandung, 25-11-2016

Ketaksamaan RA–RG

Ketaksamaan Rata-rata Artimetik–Rata-rata Geometrik atau Ketaksamaan RA–RG, yang dalam bahasa Inggris dikenal sebagai Arithmetic Mean–Geometric Mean Inequality atau AM–GM Inequality, dapat dibuktikan dengan banyak cara. Berikut adalah salah satu bukti tanpa kata-kata dari Ketaksamaan RA–RG:

keteksamaan-ra-rg

Bukti tanpa kata-kata dari Ketaksamaan RA–RG

[Sumber: Roger B. Nelsen, Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking, Vol. I, The Mathematical Association of America, 1993.]

*

Bandung, 19-11-2016

Fungsi Tangga Cantor

Masih ingat himpunan Cantor terner? Nah, terkait dengan himpunan Cantor terner, ada fungsi tangga Cantor yang grafiknya seperti diperlihatkan di bawah ini.

cantor-function

Fungsi ini kontinu dan monoton naik pada [0, 1], tetapi tidak mempunyai turunan di titik-titik ujung selang pada Ii.

Problem (mudah): Berapa luas daerah di bawah kurva fungsi tangga Cantor ini?

*

Bandung, 14-11-2016

Titik Belok dan Titik Riak

Ketika memeriksa berkas ujian Kalkulus semester ini, saya menemukan kesalahan yang acap kali dilakukan oleh sejumlah mahasiswa dari tahun ke tahun. Salah satu kesalahan tersebut terkait dengan konsep titik belok (Ing. “inflection point”). Beberapa mahasiswa menulis bahwa titik belok dari y = f(x) adalah titik c dengan ’’(c) = 0. Padahal, dalam kuliah, telah didefinisikan bahwa titik belok dari y = f(x) adalah titik c sedemikian sehingga f kontinu di c dan kecekungan kurva di sebelah kiri c berbeda dengan kecekungan kurva di sebelah kanan c.

Sebagai contoh, c = 0 merupakan titik belok dari y = f(x) = x3, karena f kontinu di 0, f cekung ke bawah di sebelah kiri 0 (’’(x) = 6x < 0 untuk x < 0), dan f cekung ke atas di sebelah kanan 0 (’’(x) = 6x > 0 untuk x > 0). Memang, untuk contoh ini, kita mempunyai ’’(0) = 0, tetapi ini bukan merupakan syarat cukup untuk menjadikan c = 0 titik belok.

Untuk melihat bahwa secara umum ’’(c) = 0 bukan syarat cukup untuk menjadikan c titik belok, tinjau contoh lainnya, yaitu y = f(x) = x4. Di sini, f’(x) = 4x3 dan ’’(x) = 12x2. Jadi ’’(0) = 0, tetapi ’’(x) > 0 baik untuk x > 0 maupun x < 0. Jadi kurva y = f(x) memiliki kecekungan yang sama di sebelah kiri dan kanan 0. Titik c = 0 dalam hal ini bukan merupakan titik belok.

Titik c dengan ’’(c) = 0 tetapi ’’(x) bertanda sama di sebelah kiri dan kanan c disebut titik riak (Ing. “undulation point”). Selain pada kurva y = f(x) = x4, titik c = 0 juga merupakan titik riak pada kurva y = f(x) = x+ x, yang grafiknya diperlihatkan pada gambar di bawah ini.

Masih terkait dengan kurva y = f(x) = x4 dan y = f(x) = x+ x, bila kita hitung turunan ketiganya, kita peroleh ’’’(x) = 24x, sehingga ’’’(0) = 0. Jadi tidak mengherankan bila kecekungan kurva y = f(x) tidak berbeda di sekitar 0.

Secara umum, jika ’’(c) = 0 dan ’’’(c) ≠ 0, maka c merupakan titik belok (sebagaimana terjadi pada y = f(x) = x3). Tetapi, sekalipun f mempunyai turunan kedua di c dan sekitarnya, tidak ada jaminan bahwa f mempunyai turunan ketiga di c. Dalam hal ini, kita harus kembali ke definisi, yaitu memeriksa kecekungan di sebelah kiri dan kanan c.

Bila ’’(c) = 0 bukan merupakan syarat cukup, apakah ia merupakan syarat perlu? Jawabannya tidak juga. Sebagai contoh, y = f(x) = x|x| kontinu dan mempunyai turunan pertama di 0, yaitu ’(0) = 0, tetapi tidak mempunyai turunan kedua di 0. Meskipun demikian, ’’(x) < 0 untuk x < 0 dan ’’(x) > 0 untuk x > 0, sehingga c = 0 merupakan titik belok karena kurva y = f(x) cekung ke bawah di sebelah kiri 0 dan cekung ke atas di sebelah kanan 0.

Problem: Diketahui y = f(x) = x2|x|. Selidiki apakah c = 0 merupakan titik belok atau titik riak.

*

Bandung, 07-11-2016

Kubah Setengah Bola

Saya, pura-puranya, sedang membangun sebuah kubah berbentuk setengah bola berdiameter d.

dome-1

Permukaan kubah tersebut saya bagi atas tujuh bagian sejajar sama lebar, sehingga bila dilihat dari depan akan tampak sebagai berikut:

dome-2

Nah, masing-masing bagian akan dicat dengan warna berbeda, katakanlah (dari kiri ke kanan): merah, jingga, kuning, hijau, biru, nila, ungu.

Bila untuk setiap satuan luas yang sama diperlukan volume cat yang sama, tidak tergantung pada warnanya, tentukan perbandingan volume cat yang diperlukan antara bagian yang satu dan lainnya. Jelaskan bagaimana Anda memperoleh perbandingan tersebut!

*

Bandung, 05-11-2016