Diketahui f : [0, 1] → R naik sejati, sehingga f mempunyai invers.
Misalkan I = [0, 1] dan J = {f(x) : x ∈ I}, yaitu peta dari I di bawah f.
Mungkinkah f –1 kontinu pada J, sementara f tidak kontinu pada I?
Bila mungkin, berikan contohnya. Bila tidak mungkin, buktikan.
*
Bandung, 09-06-2017
Fungsi f dikatakan naik sejati pada I apabila untuk setiap x, y ∈ I dengan x < y berlaku f(x) < f(y). Fungsi f dikatakan turun sejati pada I apabila untuk setiap x, y ∈ I dengan x < y berlaku f(x) > f(y). Fungsi naik sejati atau turun sejati pada I disebut fungsi monoton sejati pada I.
Fungsi monoton sejati merupakan fungsi satu-ke-satu, dan karenanya ia akan mempunyai invers.
Buktikan jika f naik sejati pada I dan J = {f(x) : x ∈ I}, maka invers dari f naik sejati pada J. (Serupa dengan itu, jika f turun sejati pada I dan J = {f(x) : x ∈ I}, maka invers dari f turun sejati pada J.)
*
Bandung, 06-06-2017
Misalkan Q = {rk : k ∈ N} menyatakan himpunan semua bilangan rasional. Definisikan fungsi f : R → R dengan rumus
Buktikan bahwa:
(a) f monoton naik.
(b) f tak kontinu di setiap bilangan rasional.
(c) f kontinu di setiap bilangan irasional.
Catatan: Walau f mempunyai rumus yang cukup gamblang, kita tidak dapat menggambar grafik fungsinya.
*
Bandung, 02-06-2017
Ambil sebuah fungsi f yang monoton pada [a, b], seberapa burukkah fungsi f yang kita ambil tersebut? Fungsi f yang kita ambil tadi mungkin tidak kontinu di sejumlah titik. Pertanyaannya: paling banyak berapa titik? Jawabannya: bisa tak terhingga, tapi pasti terhitung (countable). Begini argumentasinya.
Berdasarkan penjelasan pada artikel sebelumnya, ketakkontinuan yang mungkin terjadi pada f hanya ketakkontinuan loncat. Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan f monoton naik. Nah, sekarang, sambil membayangkan grafik fungsi f, kita dapat menyimpulkan bahwa terdapat paling banyak 1 titik pada [a, b], sebutlah d1, di mana f tidak kontinu dengan loncatan sebesar h1 dengan [f(b) – f(a)]/2 < h1 ≤ f(b) – f(a). Kemudian, terdapat paling banyak 2 titik pada [a, b], sebutlah d21 dan d22, di mana f tidak kontinu dengan loncatan sebesar h2 dengan [f(b) – f(a)]/3 < h2 ≤ [f(b) – f(a)]/2. Secara umum, terdapat paling banyak n titik pada [a, b], sebutlah dn1, …, dnn, di mana f tidak kontinu dengan loncatan sebesar hn dengan [f(b) – f(a)]/(n+1) < hn ≤ [f(b) – f(a)]/n, untuk n = 1, 2, 3, … . Nah, himpunan titik-titik di mana f mungkin tidak kontinu, yaitu {d1, d21, d22, d31, d32, d33, …}, merupakan himpunan terhitung. Begitulah argumentasinya.
Sekarang ada problem untuk Anda: Konstruksilah sebuah fungsi monoton pada [0, 1] yang tidak kontinu pada suatu himpunan terbilang (yakni, terhitung tapi tak terhingga).
*
Bandung, 30-05-2017
Buktikan bahwa fungsi berikut merupakan involusi:
Catatan. Di bawah ini adalah grafik fungsi f(x) = –ln[tanh(x/2)].
*
Bandung, 19-05-2017
Fungsi f(x) = 1 – x mempunyai invers f -1(x) = 1 – x yang sama dengan dirinya sendiri. Nah, fungsi dengan sifat ini disebut sebagai involusi. Contoh involusi lainnya adalah f(x) = 1/x. Tugas untuk Anda sekarang adalah: tentukan sebanyak-banyaknya fungsi yang merupakan involusi.
*
Bandung, 16-05-2017
Apakah Anda bisa membayangkan sebuah fungsi yang kontinu hanya di satu titik, katakan di c = 0, dan tidak kontinu di titik lainnya?
Sebagai contoh, tinjau fungsi f : R → R yang didefinisikan sebagai f(x) = x jika x rasional dan f(x) = –x jika x irasional. Fungsi ini kontinu hanya di c = 0, tidak di titik lainnya. Sila buat sketsa grafik fungsi ini!
Nah, dengan sedikit modifikasi, Anda juga dapat mengkonstruksi contoh fungsi yang mempunyai turunan hanya di satu titik, dan tidak mempunyai turunan di titik lainnya. Sila coba!
*
Bandung, 12 Mei 2017
Diketahui fungsi f(x) = x2 – x2cos(1/x) untuk x ≠ 0 dan f(0) = 0. Buktikan bahwa f‘(0) = 0 dan f mencapai nilai minimum global di c = 0.
Catatan. Uji Turunan Pertama ataupun Uji Turunan Kedua tidak akan membantu.
*
Bandung, 08-05-2017
Adakah yang bisa membuktikan uraian deret berikut untuk bilangan π?
Catatan. Deret ini ‘ditemukan’ oleh Simon Plouffe pada tahun 1995. Ia menggunakannya untuk menentukan angka ke-n dalam uraian heksadesimal untuk bilangan π.
*
Bandung, 21-04-2017
Dengan telah diketahuinya rumus volume bola berdimensi n, tentukan rumus luas permukaan bola berjari-jari r di ruang Euclid berdimensi n.
*
Bandung, 07-04-2017
