Problem

Yang ditayangkan di sini merupakan problem-problem yang (menurut saya) menarik, khususnya bagi siswa SMA kelas XI-XII dan mahasiswa tahun pertama atau kedua; sebagian mungkin relatif mudah, sebagian lainnya sulit.

Masih tentang Penaksir ‘Lokasi Pusat’ Data

Anda sudah mengenal rerata dan median dari sejumlah bilangan (atau data) x1, x2, … , xn, yang terurut naik. Lalu ada satu nilai lagi yang sering dipakai sebagai penaksir ‘lokasi pusat’ data selain rerata dan median, yaitu modus – yakni nilai yang paling sering muncul dalam data tersebut. Namun, dari sudut pandang teori ruang bernorma, sebetulnya ada satu nilai yang juga dapat dipakai sebagai penaksir lokasi pusat data, dan nilai ini dapat ditentukan dengan sangat mudah dan cepat, yaitu t = ½·(x1 + xn), yakni rerata aritmetik dari nilai terkecil dan nilai terbesar dari data yang kita miliki. Nilai ini dikenal sebagai ‘nilai tengah’ (mid-range). [Bila selama ini Anda menggunakan istilah ‘nilai tengah’ sebagai padanan untuk median, ke depan Anda perlu meralatnya: median adalah ‘nilai di tengah’, yakni nilai yang dicapai di tengah, bukan ‘nilai tengah’.]

Sebagai contoh, jika di suatu kelompok siswa diketahui tinggi badan terendahnya adalah 154 cm dan tinggi badan tertingginya 178 cm, maka dengan cepat kita dapat memperoleh nilai tengahnya, yaitu 166 cm. Nilai ini dapat kita pakai sebagai penaksir data tinggi badan siswa di kelompok tersebut.

Nah, bila rerata aritmetik meminimumkan galat kuadrat total, nilai tengah meminimumkan apa ya? Sila selidiki!

*

Bandung, 15-08-2017

Rerata Aritmetik Meminimumkan Galat Kuadrat Total

Selain merupakan penaksir tak bias dari n bilangan yang diwakilinya, rerata aritmetik juga meminimumkan galat kuadrat total.

Persisnya, diberikan n bilangan real x1, x2, … , xn, misalkan kita ingin menentukan suatu bilangan x sedemikian sehingga

Perhatikan bahwa

suatu fungsi kuadrat dalam x. Nah, bagi Anda yang sudah akrab dengan fungsi kuadrat, Anda pasti tahu bahwa E akan mencapai nilai minimum ketika

yakni ketika x sama dengan rerata aritmetik dari x1, x2, … , xn. Jadi rerata aritmetik adalah penaksir yang meminimumkan galat kuadrat total.

Problem: Tentukan bilangan x yang meminimumkan

apabila x1 < x2 < … < xn.

*

Bandung, 11-08-2017

Himpunan Berukuran Nol

Ketika membahas fungsi tangga Cantor, saya menyatakan bahwa fungsi ini mempunyai turunan pada [0, 1] kecuali pada suatu ‘himpunan berukuran nol’. Sebetulnya, apa yang dimaksud dengan ‘himpunan berukuran nol’ itu?

Konsep ukuran diperkenalkan oleh Henri Lebesgue pada tahun 1901 (yang kemudian ia gunakan untuk mengembangkan suatu konsep integral yang berbeda dengan integral ala Riemann). Ukuran luar dari suatu himpunan E ⊆ R didefinisikan sebagai

λ*() := inf { ∑|Ik| : E ⊆ ∪k Ik, dengan Ik merupakan interval buka untuk setiap k}.

Di sini |Ik| menyatakan panjang interval Ik: Jika I := (a, b), maka |I| = ba. Himpunan A := { ∑|Ik| : E ⊆ ∪k Ik, dengan Ik merupakan interval buka untuk setiap k} merupakan suatu himpunan bilangan real ‘diperluas’ yang terbatas di bawah oleh 0, dan inf A adalah ‘batas bawah terbesar’ dari A. Dalam hal ini, λ*() = inf A merupakan suatu bilangan tak negatif.

Sebagai contoh, jika E adalah suatu himpunan terhingga, katakanlah E := {a1, …, an}, maka λ*() = 0. (Kita dapat mencari n interval buka I1, …, In sedemikian sehingga E ⊆ I1 ∪ … ∪ In dengan |I1| + … + |In| sekecil-kecilnya.) Catat pula jika I adalah suatu interval (buka, setengah buka, atau tutup), maka λ*() = |I|.

Himpunan E dikatakan terukur apabila untuk setiap ε > 0 terdapat suatu himpunan buka G dan suatu himpunan tutup F sedemikian sehingga F ⊆ E ⊆ G dan λ*(G \ ) < ε. Sebagai contoh, himpunan terhingga {a1, …, an} merupakan himpunan terukur, karena kita dapat memilih

F := Ø dan G := (a1 – δ, a1 + δ) ∪ … ∪ (an – δ, an + δ)

dengan 2nδ < ε, sedemikian sehingga λ*(G \ ) = λ*() ≤ 2nδ < ε. Lebih umum, semua himpunan yang berukuran luar 0 merupakan himpunan terukur.

Jika E terukur, maka ukuran dari E kemudian didefinisikan sebagai λ() := λ*(). Sebagai contoh, jika E merupakan himpunan terhingga, maka λ() = 0. Nah, himpunan E dengan λ() = 0 disebut himpunan berukuran nol.

Selain himpunan terhingga, secara umum himpunan terbilang merupakan himpunan berukuran nol (sila buktikan!). Jadi, sebagai contoh, himpunan semua bilangan rasional Q merupakan himpunan berukuran nol. Tetapi, jangan salah, tidak setiap himpunan berukuran nol merupakan himpunan terbilang. Dalam perkataan lain, terdapat himpunan tak terbilang yang berukuran nol. Dapatkah Anda menemukan contohnya?

*

Bandung, 28-07-2017

Turunan dan Kekontinuan – II

Di sekolah ataupun di perguruan tinggi, guru atau dosen sering memberi contoh fungsi yang kontinu di suatu titik tetapi tidak mempunyai turunan di titik tersebut. Contoh yang biasa diberikan adalah fungsi f(x) = |x| di titik 0.

grafik fungsi nilai mutlak

Nah, terkait dengan artikel sebelumnya, buktikan bahwa masing-masing fungsi di bawah ini kontinu di 0 tetapi tidak mempunyai turunan di 0. Petunjuk: Perhatikan grafik fungsinya.

(a)

 

fungsi akar x ganjil

(b)

rumus fungsi sinc 1 per x

x-sin-1-per-x-o

Catatan. Kedua fungsi di atas mempunyai karakteristik yang berbeda terkait dengan ketiadaan turunannya di 0. Keduanya juga berbeda dengan fungsi nilai mutlak yang tidak mempunyai turunan di 0 karena grafiknya ‘patah’ di 0.

*

Bandung, 14-07-2017

Turunan dan Kekontinuan – I

Bila Anda sudah ‘mencicipi’ Kalkulus, tentunya Anda sudah mengetahui apa yang dimaksud dengan turunan dari suatu fungsi, serta riwayatnya – yang terkait dengan upaya Newton menentukan kecepatan sesaat dari suatu partikel yang bergerak dan upaya Leibniz menentukan gradien garis singgung pada suatu kurva di suatu titik.

Diberikan sebuah fungsi f : I → R, dengan I ⊆ R suatu interval yang memuat titik c, turunan dari f di titik c didefinisikan sebagai

definisi turunan

asalkan limit ini ada. Perhatikan jika f mempunyai turunan di c, maka

turunan dan kekontinuan

dan karena itu

limit fungsi kontinu

yang berarti bahwa f kontinu di c. Jadi, kekontinuan f di c merupakan syarat perlu bagi eksistensi turunan f di c. Tetapi, ada banyak contoh yang memperlihatkan bahwa kekontinuan f di c bukanlah merupakan syarat cukup bagi eksistensi turunan f di c.

Salah satu contoh penyangkalnya adalah f(x) = |x|. Fungsi ini kontinu di 0, tetapi tidak mempunyai turunan di 0 karena

turunan nilai mutlak di 0

tidak ada (limit kirinya sama dengan -1, sedangkan limit kanannya sama dengan 1).

Terkait dengan eksistensi limit, kita mengetahui ada beberapa hal yang dapat menyebabkan limit suatu fungsi di suatu titik tidak ada. Penyebab pertama adalah limit kiri dan limit kanannya ada tetapi tidak sama. Penyebab kedua adalah limit kiri atau limit kanannya tidak ada, entah karena ‘menuju tak terhingga’ atau ‘berosilasi’.

Problem: Temukan fungsi f yang kontinu di suatu titik c tetapi tidak mempunyai turunan di titik itu karena limit kiri dan/atau limit kanan dari [f(x) – f(c)]/(xc) tidak ada, khususnya karena (a) limit kiri dan/atau limit kanannya ‘menuju tak terhingga’ dan (b) limit kiri dan/atau limit kanannya ‘berosilasi’.

*

Bandung, 11-07-2017

Fungsi Monoton Sejati dan Inversnya

Fungsi f dikatakan naik sejati pada I apabila untuk setiap x, y ∈ I dengan x < y berlaku f(x) < f(y). Fungsi f dikatakan turun sejati pada I apabila untuk setiap x, y ∈ I dengan x < y berlaku f(x) > f(y). Fungsi naik sejati atau turun sejati pada I disebut fungsi monoton sejati pada I.

Fungsi monoton sejati merupakan fungsi satu-ke-satu, dan karenanya ia akan mempunyai invers.

Buktikan jika f naik sejati pada I dan J = {f(x) : xI}, maka invers dari f naik sejati pada J. (Serupa dengan itu, jika f turun sejati pada I dan J = {f(x) : xI}, maka invers dari f turun sejati pada J.)

*

Bandung, 06-06-2017

Fungsi Monoton yang Tak Kontinu di Setiap Bilangan Rasional

Misalkan Q = {rk : k ∈ N} menyatakan himpunan semua bilangan rasional. Definisikan fungsi f : R → R dengan rumus

Buktikan bahwa:

(a) f monoton naik.

(b) f tak kontinu di setiap bilangan rasional.

(c) f kontinu di setiap bilangan irasional.

Catatan: Walau f mempunyai rumus yang cukup gamblang, kita tidak dapat menggambar grafik fungsinya.

*

Bandung, 02-06-2017

Ketakkontinuan Fungsi Monoton

Ambil sebuah fungsi f yang monoton pada [a, b], seberapa burukkah fungsi f yang kita ambil tersebut? Fungsi f yang kita ambil tadi mungkin tidak kontinu di sejumlah titik. Pertanyaannya: paling banyak berapa titik? Jawabannya: bisa tak terhingga, tapi pasti terhitung (countable). Begini argumentasinya.

Berdasarkan penjelasan pada artikel sebelumnya, ketakkontinuan yang mungkin terjadi pada f hanya ketakkontinuan loncat. Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan f monoton naik. Nah, sekarang, sambil membayangkan grafik fungsi f, kita dapat menyimpulkan bahwa terdapat paling banyak 1 titik pada [a, b], sebutlah d1, di mana f tidak kontinu dengan loncatan sebesar h1 dengan [f(b) – f(a)]/2 < h1 ≤ f(b) – f(a). Kemudian, terdapat paling banyak 2 titik pada [a, b], sebutlah d21 dan d22, di mana f tidak kontinu dengan loncatan sebesar h2 dengan [f(b) – f(a)]/3 < h2 ≤ [f(b) – f(a)]/2. Secara umum, terdapat paling banyak n titik pada [a, b], sebutlah dn1, …, dnn, di mana f tidak kontinu dengan loncatan sebesar hn dengan [f(b) – f(a)]/(n+1) < hn ≤ [f(b) – f(a)]/n, untuk n = 1, 2, 3, … . Nah, himpunan titik-titik di mana f mungkin tidak kontinu, yaitu {d1, d21, d22, d31, d32, d33, …}, merupakan himpunan terhitung. Begitulah argumentasinya.

Sekarang ada problem untuk Anda: Konstruksilah sebuah fungsi monoton pada [0, 1] yang tidak kontinu pada suatu himpunan terbilang (yakni, terhitung tapi tak terhingga).

*

Bandung, 30-05-2017