Problem

Yang ditayangkan di sini merupakan problem-problem yang (menurut saya) menarik, khususnya bagi siswa SMA kelas XI-XII dan mahasiswa tahun pertama atau kedua; sebagian mungkin relatif mudah, sebagian lainnya sulit.

Lebih Jauh tentang Fungsi Logistik

Fungsi logistik yang kita bahas sebelumnya merupakan suatu model matematika untuk pertumbuhan populasi pada suatu area yang terbatas. Tanpa memperhitungkan adanya batas tersebut, biasanya populasi bertumbuh secara eksponensial, dengan laju pertumbuhan pada setiap saat sebanding dengan besarnya populasi pada saat itu:

y ‘ = ky.

Dengan mengasumsikan bahwa area yang dapat ditinggali terbatas (sebutlah area maksimumnya A), laju pertumbuhan juga berbanding lurus dengan sisa area yang tersedia:

y ‘ = ky(A – y).

Nah, jika k = 1 dan A = 1, dan y(0) = 0,5, maka solusi persamaan diferensial di atas adalah y = ex/(1 + ex), sebagaimana telah dibahas dalam postingan sebelumnya.

Problem: Jika f(x) = ex/(1 + ex), tentukan f ‘(x), dan periksa bahwa f ‘(x) = f ‘(-x).

*

Bandung, 13-10-2017

Advertisements

Ketaksamaan Pangkat + Eksponen

Buktikan ketaksamaan ini: jika x, y > 0, maka

xy + yx > 1.

(Terus terang, saya sudah mencobanya tetapi belum berhasil, hiks!)

Kalau ada yang bisa membuktikannya, submit buktinya di blog ini yaaa… Kalau buktinya benar, saya beri hadiah t-shirt bermatematika deh! O ya, hadiah hanya diberikan kepada orang pertama yang berhasil membuktikan ketaksamaan di atas dengan benar dan menayangkan buktinya di blog ini.

*

Bandung, 26-09-2017

Perbandingan ‘Bunga Majemuk’

Anda tahu kan apa yang dimaksud dengan ‘bunga majemuk’. Jika Anda menabung di bank dengan bunga r% per tahun yang dibayarkan tiap akhir bulan, dan Anda biarkan uang Anda berbunga selama 1 tahun, maka — dengan asumsi pajak diabaikan — uang Anda yang semula x pada akhir tahun akan bertumbuh menjadi x(1 + r/12)12. Dalam perkataan lain, uang Anda melipat dengan faktor (1 + r/12)12.

Bila ada bank lain yang menawarkan bunga r% per tahun juga tetapi dibayarkan tiap akhir minggu, apakah Anda akan memilih untuk menabung uang di bank ini, daripada di bank tadi? Bila kedua bank sama-sama terpercaya, jawabannya tentu saja ya, karena

(1 + r/52)52 > (1 + r/12)12.

Sila cek kebenaran ketaksamaan ini.

Nah, problem untuk Anda selanjutnya adalah: buktikan bahwa

(1 + r/p)p < (1 + r/q)q 

untuk r > 0 dan 0 < p < q.

Sumber gambar: http://byjus.com/maths/compound-interest/

*

Bandung, 15-09-2017

Masih tentang Penaksir ‘Lokasi Pusat’ Data

Anda sudah mengenal rerata dan median dari sejumlah bilangan (atau data) x1, x2, … , xn, yang terurut naik. Lalu ada satu nilai lagi yang sering dipakai sebagai penaksir ‘lokasi pusat’ data selain rerata dan median, yaitu modus – yakni nilai yang paling sering muncul dalam data tersebut. Namun, dari sudut pandang teori ruang bernorma, sebetulnya ada satu nilai yang juga dapat dipakai sebagai penaksir lokasi pusat data, dan nilai ini dapat ditentukan dengan sangat mudah dan cepat, yaitu t = ½·(x1 + xn), yakni rerata aritmetik dari nilai terkecil dan nilai terbesar dari data yang kita miliki. Nilai ini dikenal sebagai ‘nilai tengah’ (mid-range). [Bila selama ini Anda menggunakan istilah ‘nilai tengah’ sebagai padanan untuk median, ke depan Anda perlu meralatnya: median adalah ‘nilai di tengah’, yakni nilai yang dicapai di tengah, bukan ‘nilai tengah’.]

Sebagai contoh, jika di suatu kelompok siswa diketahui tinggi badan terendahnya adalah 154 cm dan tinggi badan tertingginya 178 cm, maka dengan cepat kita dapat memperoleh nilai tengahnya, yaitu 166 cm. Nilai ini dapat kita pakai sebagai penaksir data tinggi badan siswa di kelompok tersebut.

Nah, bila rerata aritmetik meminimumkan galat kuadrat total, nilai tengah meminimumkan apa ya? Sila selidiki!

*

Bandung, 15-08-2017

Rerata Aritmetik Meminimumkan Galat Kuadrat Total

Selain merupakan penaksir tak bias dari n bilangan yang diwakilinya, rerata aritmetik juga meminimumkan galat kuadrat total.

Persisnya, diberikan n bilangan real x1, x2, … , xn, misalkan kita ingin menentukan suatu bilangan x sedemikian sehingga

Perhatikan bahwa

suatu fungsi kuadrat dalam x. Nah, bagi Anda yang sudah akrab dengan fungsi kuadrat, Anda pasti tahu bahwa E akan mencapai nilai minimum ketika

yakni ketika x sama dengan rerata aritmetik dari x1, x2, … , xn. Jadi rerata aritmetik adalah penaksir yang meminimumkan galat kuadrat total.

Problem: Tentukan bilangan x yang meminimumkan

apabila x1 < x2 < … < xn.

*

Bandung, 11-08-2017