Peluang Bersyarat

Dulu, pada tahun 1990-an, naik kereta api Parahyangan dari Bandung ke Jakarta atau sebaliknya tidak terlalu aman. Bukan karena rel atau keretanya bermasalah, tetapi di perjalanan banyak anak-anak nakal yang melempar batu ke jendela kereta api yang lewat. Banyak kaca jendela yang pecah, dan bila batunya lumayan besar, pecahan kaca dapat terlontar dan melukai kepala atau wajah penumpang.

Terkait dengan peristiwa tersebut, ada rekan dosen bercanda begini. “Peluang jendela kaca kereta api yang kita tumpangi dilempari batu dua kali berturut-turut sangat kecil. Karena itu, bila kita naik kereta api, supaya aman kita lempari saja jendela kaca di sebelah tempat duduk kita dengan batu (berukuran kecil) secara lembut.”

Masuk akal kah argumentasinya?

KA Parahyangan

Sumber gambar: https://id.wikipedia.org

Dalam artikel sebelumnya, kita telah membahas dua kejadian yang saling bebas. Saya kutip lagi: Jika A dan B adalah dua kejadian dalam suatu percobaan, maka A dan B saling bebas apabila P(A ∩ B) = P(A)×P(B). Anda mungkin bertanya, mengapa rumusnya seperti itu?

Bila kita ingin mengetahui peluang terjadinya kejadian B dengan asumsi bahwa kejadian A telah terjadi, maka yang kita hitung adalah P(A ∩ B)/P(A). Peluang ini disebut sebagai peluang bersyarat terjadinya kejadian B bila diketahui kejadian A telah terjadi, dan biasanya dituliskan dengan notasi P(B|A). Nah, jika P(B|A) = P(B), maka A dan B saling bebas.

Jadi A dan B saling bebas jika dan hanya jika P(A ∩ B) = P(A)×P(B).

Kembali ke cerita tentang kereta api Parahyangan di atas, sesungguhnya peluang jendela kaca kereta api dilempari batu lagi (oleh anak-anak nakal) dalam suatu perjalanan tidak berkurang hanya karena kita telah melempari sendiri jendela kaca di sebelah tempat duduk kita.

Jika peluang jendela kaca dilempari batu (oleh siapapun) dalam suatu perjalanan katakanlah sama dengan 1/100, maka peluang jendela kaca dilempari batu dua kali dalam perjalanan yang sama adalah 1/100 × 1/100 = 1/10.000, sebuah bilangan yang memang kecil. Tetapi, peluang jendela kaca dilempari batu untuk kedua kalinya bila jendela kaca tersebut telah dilempari batu sebelumnya adalah 1/10.000 dibagi dengan 1/100, yang sama dengan 1/100. Jadi peluangnya tetap 1/100, tidak menjadi lebih kecil, apalagi menjadi sangat kecil.

*

Bandung, 24-11-2017

Advertisements

Kejadian Saling Lepas dan Kejadian Saling Bebas

Ada guru bertanya: apakah kejadian saling lepas merupakan kejadian saling bebas? Ia juga meminta contoh kejadian saling lepas dan kejadian saling bebas.

Duh, sebetulnya saya hampir lupa konsep-konsep dasar dalam Statistika. Untungnya ada pertanyaan tersebut. Jadi, setelah ngobrol dengan anak saya (yang sudah lulus SMA), saya pun ingat lagi konsep-konsep tersebut.

Dua kejadian dikatakan saling lepas apabila kedua kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan. Sebagai contoh, bila kita melempar sebuah dadu, kita tidak mungkin memperoleh bilangan ganjil dan bilangan genap sekaligus. Kejadian munculnya bilangan ganjil dan kejadian munculnya bilangan genap pada pelemparan sebuah dadu merupakan dua kejadian yang saling lepas.

Menggunakan notasi himpunan dan peluang, jika A dan B adalah dua kejadian dalam suatu percobaan, maka A dan B saling lepas apabila P(A ∩ B) = 0.

Lalu, apa yang dimaksud dengan kejadian saling bebas? Dua kejadian dikatakan saling bebas apabila peluang kejadian pertama tidak dipengaruhi oleh kejadian kedua, dan sebaliknya peluang kejadian kedua juga tidak dipengaruhi oleh kejadian pertama. Jika A dan B adalah dua kejadian dalam suatu percobaan, maka A dan B saling bebas apabila P(A ∩ B) = P(A)×P(B).

Sebagai contoh, bila kita melempar dua buah dadu, maka kejadian munculnya bilangan 1 pada dadu pertama (peluangnya 1/6) dan kejadian munculnya bilangan 6 pada dadu kedua (peluangnya juga 1/6) merupakan dua kejadian saling bebas. Peluang terjadinya dua kejadian tersebut sekaligus adalah 1/36.

Sumber gambar: magictricks.com

Apakah ada kejadian yang tidak saling lepas dan sekaligus tidak saling bebas? Tentu saja ada. Sebagai contoh, bila kita melempar sebuah dadu, maka kejadian munculnya bilangan genap dan kejadian munculnya bilangan prima merupakan dua kejadian yang tidak saling lepas dan sekaligus tidak saling bebas. Untuk memastikan, sila cek kebenarannya dengan menghitung peluangnya!

*

Bandung, 21-11-2017

Logika dalam Kalimat Sehari-hari – IV

Kalimat yang mengandung kata “kalau” dalam kehidupan sehari-hari seringkali dianggap implikasi dua arah (bi-implikasi), bukan sekadar implikasi satu arah. Sebagai contoh, kita sering mendengar percakapan seperti ini.

“Kalau ntar malam ngga hujan, kita jalan-jalan ke Alun-Alun yuk!”

“Kalau hujan, bagaimana?”

“Ya ngga jadi jalan-jalannya!”

“Oh, oke deh…”

Dalam bahasa matematika, kalimat pertama di atas kira-kira setara dengan “Kita jalan-jalan ke Alun-Alun nanti malam jika dan hanya jika nanti malam tidak hujan ya.” Tapi kok ngeri amat ya kalau kita berkata-kata seperti itu di antara sesama teman.

Matematikawan memang punya logika yang berbeda dengan logika sehari-hari. Doni, mahasiswa matematika, berjanji kepada Dona, mahasiswi non-matematika: “Kalau nanti malam hujan, Aku ngga akan main ke rumahmu ya”. Ternyata, malam itu tidak hujan, dan Doni tidak datang ke rumah Dona. Malam itu juga, Dona menelepon Doni: “Kok kamu ngga main ke rumahku? Malam ini kan cerah, ngga ada hujan setetes pun?” Tanpa merasa bersalah, Doni menjawab: “Aku kan tidak berjanji apa-apa kalau malam ini tidak hujan!”

*

Bandung, 17-11-2017

Logika dalam Kalimat Sehari-hari – III

Seorang dosen senior (ketika masih aktif) pernah bercerita begini. Pada suatu hari, beberapa minggu setelah ujian, seorang mahasiswa menghampirinya dan bertanya:

“Pak, berkas ujiannya belum diperiksa semua ya?”

Mendapat pertanyaan tersebut, beliau menjawab:

“Sabar ya.. semua belum diperiksa!”

Kami yang mendengar cerita tersebut tertawa serentak.

Anda tentunya tahu perbedaan antara “belum diperiksa semua” dan “semua belum diperiksa”. Bila saya sudah mulai memeriksa berkas ujian tetapi belum selesai (katakan baru separuhnya yang saya periksa), saya bisa mengatakan bahwa berkas ujiannya “belum diperiksa semua”, baru sebagian saja.

Melalui pertanyaannya, sang mahasiswa berharap bahwa dosennya telah memeriksa berkas ujian, setidaknya sebagian, sehingga nilai ujian tak lama lagi diumumkan. Namun, dari jawaban dosennya, sang mahasiswa harus kecewa karena “semua belum diperiksa”. Belum ada satupun berkas yang diperiksa oleh dosennya. Artinya, nilai ujian tidak akan keluar dalam waktu dekat.

Dosen senior itu tidak bercerita lebih lanjut apakah si mahasiswa tahu perbedaan di antara kedua frase tersebut atau tidak. Maklum, mahasiswa tersebut adalah mahasiswa tahun pertama, dan bukan mahasiswa program studi matematika pula. Jadi baginya “semua belum diperiksa” dan “belum diperiksa semua” mungkin sama saja.

*

Bandung, 14-11-2017

Logika dalam Kalimat Sehari-hari – II

Memahami kalimat yang mengandung kata ‘tidak’, ‘belum’, atau ‘bukan’ seringkali tidak mudah. Apalagi penempatan kata ‘tidak’, ‘belum’, atau ‘bukan’ dalam suatu kalimat dapat mempengaruhi arti kalimat tersebut.

Beberapa tahun silam, saya pernah membaca sebuah spanduk (di dekat sebuah rumah sakit di Bandung) yang bertuliskan: TIDAK MEROKOK ITU SEHAT. Seketika itu juga saya bertanya dalam hati: apa maksud kalimat tersebut? Apa bedanya dengan kalimat MEROKOK ITU TIDAK SEHAT?

Dalam kalimat TIDAK MEROKOK ITU SEHAT, subjeknya adalah TIDAK MEROKOK, dan predikatnya adalah SEHAT. Sementara itu, dalam kalimat MEROKOK ITU TIDAK SEHAT, subjeknya adalah MEROKOK, dan predikatnya adalah TIDAK SEHAT. Jadi, dari anatomi kalimatnya saja, kedua kalimat tersebut berbeda. Arti mereka tentu berbeda juga.

Kalimat dengan susunan S-P (Subjek-Predikat) sebetulnya merupakan kalimat yang sederhana. SAYA LAPAR, misalnya. Bila saya ingin menyangkal kalimat ini, bahwa SAYA LAPAR salah, apa kalimatnya? Apakah BUKAN SAYA (yang) LAPAR atau SAYA TIDAK LAPAR? Tentu saja kalimat yang kedua, ya kan?

Negasi dari kalimat S-P adalah S-P’, dengan P’ menyatakan ‘tidak P’ atau ‘bukan P’. Jadi subjeknya tetap S, sementara predikatnya menjadi P’.

Nah, bila kalimat MEROKOK ITU SEHAT salah, kalimat MEROKOK ITU TIDAK SEHAT mestilah benar. Menurut saya, spanduk tadi seharusnya berbunyi MEROKOK ITU TIDAK SEHAT — karena itu janganlah merokok, kira-kira begitu seruan dari pemasang spanduk tersebut.

no smoking

Sementara itu, kalau kita sangkal kalimat TIDAK MEROKOK ITU SEHAT, kita peroleh kalimat TIDAK MEROKOK ITU TIDAK SEHAT, sebuah kalimat ‘double negative‘.

Memang sih, kalau TIDAK MEROKOK ITU SEHAT dianggap benar, spanduk itu juga menyerukan agar kita tidak merokok. Tetapi benarkah orang yang tidak merokok itu sehat? Bagaimana bila ia mempunyai kebiasaan lain, katakanlah makan makanan berlemak secara berlebihan?

Ah sudahlah… diskusinya nanti ke mana-mana. Kalimat sehari-hari kadang memang tidak logis.

*

Bandung, 10-11-2017

Logika dalam Kalimat Sehari-hari – I

SAYA MENYUKAI MATEMATIKA DAN MUSIK. Barangkali tidak ada yang akan bertanya apa maksud kalimat ini.

Tetapi, baru-baru ini, seorang teman memperlihatkan foto dirinya yang sedang makan di depan sebuah ‘pengumuman’ yang berbunyi: DILARANG MAKAN DAN MIMUM DI RUANGAN INI. Menurutnya, ia tidak melanggar seruan tersebut, karena ia hanya makan di ruangan tersebut, tidak minum. Saya setuju dengan teman saya. Berikut adalah alasannya.

Di banyak negara lain, ada peraturan bagi pengendara: DON’T DRINK AND DRIVE. Yang dimaksud adalah jangan menyetir dalam keadaan mabuk. OK, kita tidak akan membahas apa artinya mabuk — di negara sana sudah ada ketentuannya. Yang hendak saya kemukakan adalah bahwa peraturan tersebut tidak melarang orang (yang sudah mempunyai surat ijin mengemudi) untuk menyetir (mobil), asalkan ia tidak sedang mabuk. Peraturan tersebut juga tidak melarang orang untuk mabuk, asalkan kemudian ia tidak menyetir. Bahkan, dalam satu mobil, boleh ada dua orang, yang seorang menyetir (tetapi tidak dalam keadaan mabuk) dan yang seorang lagi dalam keadaan mabuk (tetapi tidak menyetir).

Nah, dengan analogi di atas, bila peraturannya berbunyi DILARANG MAKAN DAN MINUM DI RUANGAN INI, maka seseorang yang makan tetapi tidak minum di ruangan tersebut sesungguhnya tidak melanggar peraturan tersebut. Demikian juga sesorang yang minum tetapi tidak makan di ruangan tersebut tidak melanggar peraturan tersebut. Seseorang hanya dapat divonis melanggar peraturan tersebut bila ia makan DAN minum di ruangan tersebut. Bila saya hanya makan di ruang tersebut, dan pada saat yang sama teman saya hanya minum di ruangan tersebut, tidak ada pelanggaran yang terjadi.

Tetapi, anda mungkin berpikir, bukan seperti itu yang dikehendaki. OK, saya mengerti. Bila yang dikehendaki adalah tidak ada orang yang makan di ruangan tersebut, juga tidak ada orang yang minum di ruangan tersebut, serta tentunya tidak ada yang makan dan minum di ruangan tersebut, maka pengumumannya seharusnya berbunyi: DILARANG MAKAN ATAU MINUM DI RUANGAN INI.

Anda boleh geleng-geleng kepala, tetapi dua kalimat berikut: DILARANG MAKAN DAN MINUM DI RUANGAN INI dan DILARANG MAKAN ATAU MINUM DI RUANGAN INI mempunyai arti yang berbeda. Demikian juga DON’T DRINK AND DRIVE dan DON’T DRINK OR DRIVE mempunyai makna yang berbeda. Orang (di sana) akan protes bila peraturannya berbunyi DON’T DRINK OR DRIVE. Logika mereka jalan. Bagaimana dengan logika kita?

*

Bandung, 07-11-2017

Sepeda Beroda Persegi

Pernahkah anda melihat sepeda beroda persegi? Bagaimana sepeda tersebut bergerak di atas jalan yang rata? Ia akan bergerak naik-turun, ya kan? Nah, bila kita menghendaki sepeda tersebut bergerak mendatar tidak naik-turun, maka jalannya harus dibuat khusus, seperti pada gambar di bawah ini.

sepeda beroda persegi - 0

[Sumber: http://mathtourist.blogspot.co.id]

Hmm.. dapatkah kita menemukan persamaan kurva untuk sepeda beroda persegi tersebut?

sepeda beroda persegi - 2

Fungsinya jelas merupakan fungsi periodik. Karena itu, kita cukup meninjau satu penggal kurva tersebut.

sepeda beroda persegi - 3

Dengan asumsi bahwa panjang sisi roda sama dengan 2, kita harus mencari nilai y sebagai fungsi dari x. Jika x = 0, maka y = 1. Nah, ketika roda bergerak ke kanan (x > 0), nilai y membesar. Perhatikan gambar di sebelah kanan yang telah diperbesar. Sisi roda yang bersentuhan dengan jalan merupakan garis singgung pada kurva di titik x. Gradien garis singgung di titik tersebut sama dengan nilai tan t, yang juga sama dengan turunan dari y terhadap x. Jadi

sepeda beroda persegi - 4

Integralkan kedua ruas persamaan terakhir, kita peroleh

cosh-1 y = x + C.

Tetapi y = 1 ketika x = 0, sehingga C = 0. Jadi cosh-1 y = x atau y = cosh x.

A-ha, jadi penggalan kurva tersebut merupakan penggalan kurva cosinus hiperbolik yang telah kita bahas sebelumnya!

*

Bandung, 03-11-2017

Fungsi Trigonometri Hiperbolik – II

Seperti halnya kita mendefinisikan fungsi trigonometri tan x, cot x, sec x, dan csc x dari sin x dan cos x, kita juga dapat mendefinisikan fungsi trigonometri hiperbolik tanh x, coth x, sech x, dan csch x dari sinh x dan cosh x, sebagai berikut:

Kemudian, dengan membatasi daerah definisinya bila diperlukan, kita dapat mendefinisikan pula invers fungsi trigonometri hiperbolik. Sebagai contoh,

Nah, dari cosh y = ½(ey + e-y) = x, kita peroleh ey + e-y = 2x, dan akhirnya

Kemudian, dari rumus terakhir kita peroleh turunan dari y = cosh-1 x, yaitu

[Turunan dari y = cosh-1 x dapat pula diperoleh dari x = cosh y dengan Aturan Rantai dan kesamaan cosh2 x – sinh2 x = 1. Sila coba!]

Dalam artikel yang akan datang, saya akan memberikan contoh aplikasi menarik dari fungsi trginometri hiperbolik.

*

Bandung, 31-10-2017

Deret Maclaurin untuk cosh x dan sinh x

Tahun lalu, saya pernah menayangkan sepuluh deret pangkat istimewa, termasuk deret pangkat untuk ex, yakni

Nah, mengingat cosh x dan sinh x merupakan kombinasi sederhana dari ex dan e-x, kita dapat memperoleh deret pangkat untuk kedua fungsi trigonometri hiperbolik tersebut, yaitu

dan

Perhatikan bahwa cosh x + sinh x = ex, sesuai dengan definisi kedua fungsi trigonometri hiperbolik tersebut. Bandingkan kedua deret pangkat di atas dengan deret pangkat untuk cos x dan sin x. Apa persamaan dan perbedaannya?

*

Bandung, 27-10-2017

Fungsi Trigonometri Hiperbolik – I

Fungsi y = ex mempunyai turunan sama dengan dirinya sendiri, yakni ’ = y.  Dengan Aturan Rantai, fungsi y = ex mempunyai turunan ’ = –y. Nah, sekarang tinjau dua fungsi berikut:

y = ½ (ex + ex) = c(x)

dan

y = ½ (ex – ex) = s(x).

Faktor ½ sengaja ditambahkan secara khusus agar c(0) = 1. Lalu apa yang menarik dengan kedua fungsi ini?

Yang menarik adalah bahwa ’(x) = s(x) dan ’(x) = c(x). Fakta ini mirip dengan fakta tentang fungsi cos x dan sin x. (Bedanya, turunan dari cos x adalah –sin x). Selain itu, kita dapat memeriksa bahwa c(x)2s(x)2 = 1. Ini mirip dengan cos2 x + sin2 x = 1. Kemiripan lainnya: c(x) merupakan fungsi genap [c(-x) = c(x)] dan s(x) merupakan fungsi ganjil [yakni s(-x) = –s(x)].

Karena kemiripannya dengan fungsi cosinus dan sinus, kedua fungsi di atas dinamai fungsi cosinus hiperbolik dan sinus hiperbolik, dan dilambangkan dengan cosh x dan sinh x.

Bila (cos t, sin t) merupakan suatu titik pada lingkaran berjari-jari 1 yang berpusat di titik (0, 0), maka (cosh t, sinh t) merupakan suatu titik pada bagian hiperbola u2v2 = 1 yang berada di sebelah kanan sumbu vertikal (u > 0). Istilah ‘hiperbolik’ muncul semata-mata karena alasan ini. Berbeda dengan cos x dan sin x, baik cosh x maupun sinh x bukan fungsi periodik.

O ya, fungsi trigonometri hiperbolik diperkenalkan pada tahun 1760-an oleh Vincenzo Riccati (1707-1775) dan oleh Johann Heinrich Lambert (1728-1777). Notasi yang kita pakai sekarang adalah notasi yang diusulkan oleh Lambert.

*

Bandung, 24-10-2017