Apa sih Matematika Itu?

[Artikel ini disadur dari artikel dengan judul yang senada, yang pernah saya tulis untuk anakbertanya.com.]

Ada yang bertanya: “Apa sih matematika itu?” Banyak orang yang telah menjawab menjawab pertanyaan ini, saya ngga mau ketinggalan. 🙂

Ada yang menganggap matematika sebagai ilmu, tetapi ada juga yang tidak setuju menggolongkannya sebagai sains. Namun banyak orang sepakat bahwa yang dipelajari dalam matematika adalah hal-hal yang berkaitan dengan kuantitas dan bentuk, sebagaimana dideskripsikan dalam kamus.

Sesungguhnya, bila Anda ingin mengetahui apa matematika itu, Anda perlu mendalaminya — bercengkerama dengannya terlebih dahulu. Kalau Anda hanya baru ‘berjumpa’ dengan satu atau dua soal matematika dan mengerjakannya (dengan mudah atau sebaliknya, dengan susah-payah), barangkali Anda belum bisa menjelaskan apa matematika itu. Paling Anda bilang: matematika itu asik! Atau sebaliknya: “Saya benci matematika!”

Saya yang sudah menekuni matematika sekitar tiga puluh tahun pun masih belum bisa ‘mendefinisikan’ apa matematika itu. Namun, belakangan ini, saya merasakan matematika itu mirip dengan ‘hantu’, dan berpendapat bahwa orang yang bisa menguasai matematika seperti orang yang bisa melihat hantu.

Ya, matematika itu ibarat dunia lain. Seorang ahli matematika seolah bisa masuk ke alam matematika, asik bermain di sana, tetapi ketika kembali ke alam fisis dan menceritakannya kepada orang lain, tidak ada yang memahaminya (duh!). Walau menurutnya ‘hantu’ matematika itu cantik, orang tidak percaya. Bahkan banyak yang bertanya: “apa gunanya mempelajari matematika itu?”

Walau demikian, berbeda dengan hantu yang menghuni rumah angker, matematika berkembang sebagai ‘ilmu’ atau sistem pengetahuan, khususnya sejak era Yunani Kuno. Berawal dari geometri dan aritmetika, cabang-cabang matematika lainnya, seperti aljabar, kalkulus, dan statistika pun lahir. Matematika masih berkembang dengan subur hingga saat ini.

Seperti halnya fisika dan kimia, matematika juga merupakan himpunan pengetahuan dan temuan manusia, yang diperoleh dengan metode yang solid, disepakati oleh para pakar dalam bidangnya masing-masing, dan telah banyak diterapkan dalam kehidupan sehari-hari.

Tetapi, berbeda dengan fisika, kimia, dan ilmu lainnya yang berbasis alam (empiris), materi yang dipelajari dalam matematika tidak terindera (oleh panca indera kita). Matematikawan bercengkerama dengan ide (gagasan) atau konsep di alam pikiran, yang dibahas, dikupas, dan didalami dari waktu ke waktu. Kegiatan bermatematika sarat dengan olah pikir atau bernalar. Matematikawan acap kali mencari pola atau struktur, sebelum akhirnya sampai pada suatu kesimpulan: a-ha!

Anda mungkin tidak bisa melihat hantu di rumah angker, tapi Anda bisa loh bersahabat dengan ‘hantu’ matematika. Kemampuan dan kepekaan matematika bisa diasah. Bukan dengan bertapa atau bersemedi di kuburan, tetapi dengan belajar dan berlatih.

*

Bandung, 08-12-2017

Advertisements

Matematika: Ditemukan atau Diciptakan?

Pertanyaan klasik (dan filosofis): matematika itu ditemukan atau diciptakan? Sila lacak artikel yang membahas tentang isu ini, termasuk artikel dalam bahasa Inggris, di Internet. Bejibun! Jadi buat apa saya ikut membahasnya, ya?

Ceritanya begini, belakangan ini, semakin saya pikirkan, dengan semakin banyak pengalaman bermatematika yang saya alami, pertanyaan itu selalu terbayang dan saya semakin condong berpendapat bahwa matematika itu ditemukan. Sebagai contoh, tengoklah Dalil Pythagoras. Apakah Pythagoras menciptakan dalil tersebut atau menemukannya? Saya cenderung mengatakan bahwa Pythagoras menemukannya. Andai ia tidak menemukannya, akan ada orang lain yang menemukannya.

Mari berandai-andai bahwa dunia kiamat, atau Bumi ini hancur disambar asteroid raksasa. Lalu kehidupan di muka Bumi punah, atau manusia, mamalia, dan ikan deh yang punah.. Lalu tidak ada lagi yang mempelajari ataupun mengingat Dalil Pythagoras, ya kan? Burung-burung yang masih hidup (katakanlah mereka tidak punah) kan tidak tahu apa-apa tentang Dalil Pythagoras — walau ini cuma asumsi saya saja. Apakah Dalil Pythagoras punah?

Menurut saya tidak. Dalil Pythagoras tetap ada, menunggu seekor burung menemukannya. Di ‘bumi’ lain, kalau ada makhluk cerdas di sana, Dalil Pythagoras mungkin telah lama ditemukan — tetapi dengan nama berbeda, Dalil Jonas, misalnya. Pernyataannya ya itu-itu juga: pada segitiga siku-siku dengan alas, tinggi, dan sisi miring a, b, dan c, berlaku a2 + b2 = c2.

Ah, mungkin si Jonas (nama yang saya pilih sesuka hati) menggunakan istilah dan notasi berbeda. Ya, dua hal tersebut ia ciptakan, tetapi fakta tentang segitiga siku-siku tersebut ia temukan. Jadi ada bagian dari matematika yang diciptakan, khususnya istilah dan notasi, tetapi fakta-fakta matematikanya — menurut saya — ditemukan.

*

Bandung, 05-12-2017

 

Ketaksamaan Markov

Dalam teori peluang, tidak semua kejadian dapat ditentukan peluangnya secara persis atau eksak. Ketaksamaan Markov memberikan suatu taksiran untuk peluang suatu kejadian terkait dengan suatu peubah acak. Persisnya, ketaksamaan Markov berbunyi:

dengan U menyatakan suatu peubah acak tak negatif (bayangkan misalnya bilangan yang muncul pada pelemparan dadu), a > 0, dan E(U) menyatakan ekspektasi dari U.

Misal X ruang peluang dengan ukuran peluang P,  U adalah suatu peubah acak tak negatif, dan a > 0. Jika A = { X : U(x) ≥ a}, maka sebagaimana telah dibahas dalam artikel sebelumnya peluang A adalah

Di sini χmenyatakan fungsi karakteristik dari himpunan A, yang kita pandang sebagai suatu peubah acak. Nah, ketika x ∈ A, kita mempunyai χA(x) = 1 ≤ U(x)/a, dan ketika x ∉ A, kita mempunyai χA(x) = 0 ≤ U(x)/a. Jadi,

ketaksamaan Markov - a.png

sebagaimana diharapkan.

*

Bandung, 01-12-2017

Fungsi Karakteristik dan Peluang Suatu Kejadian

Fungsi paling sederhana setelah fungsi konstan adalah fungsi karakteristik, yang juga dikenal sebagai fungsi indikator, dari suatu himpunan bagian dari daerah asal fungsi tersebut.

Misalkan f : X → R dan ⊆ X. Fungsi f disebut fungsi karakteristik dari A apabila f(x) = 1 untuk setiap x ∈ A dan f(x) = 0 untuk setiap x ∉ A. Di kalangan matematikawan, fungsi ini biasanya dituliskan sebagai χA. Jadi

Perhatikan bahwa himpunan semua fungsi karakteristik yang didefinisikan pada X berkorespondensi satu-satu dengan himpunan kuasa 2X, yang beranggotakan semua himpunan bagian dari X.

Fungsi karakteristik merupakan salah satu fungsi penting dalam teori peluang. Jika X menyatakan ruang peluang, P menyatakan ukuran peluang pada X, dan  X adalah suatu himpunan terukur, maka χA merupakan suatu peubah acak dengan nilai ekspektasi sama dengan peluang A. Dalam notasi integral, kita mempunyai:

Fakta ini kelak digunakan dalam pembuktian ketaksamaan Markov. Sila Anda cari terlebih dahulu artikel tentang ketaksamaan Markov deh..

*

Bandung, 28-11-2017

Peluang Bersyarat

Dulu, pada tahun 1990-an, naik kereta api Parahyangan dari Bandung ke Jakarta atau sebaliknya tidak terlalu aman. Bukan karena rel atau keretanya bermasalah, tetapi di perjalanan banyak anak-anak nakal yang melempar batu ke jendela kereta api yang lewat. Banyak kaca jendela yang pecah, dan bila batunya lumayan besar, pecahan kaca dapat terlontar dan melukai kepala atau wajah penumpang.

Terkait dengan peristiwa tersebut, ada rekan dosen bercanda begini. “Peluang jendela kaca kereta api yang kita tumpangi dilempari batu dua kali berturut-turut sangat kecil. Karena itu, bila kita naik kereta api, supaya aman kita lempari saja jendela kaca di sebelah tempat duduk kita dengan batu (berukuran kecil) secara lembut.”

Masuk akal kah argumentasinya?

KA Parahyangan

Sumber gambar: https://id.wikipedia.org

Dalam artikel sebelumnya, kita telah membahas dua kejadian yang saling bebas. Saya kutip lagi: Jika A dan B adalah dua kejadian dalam suatu percobaan, maka A dan B saling bebas apabila P(A ∩ B) = P(A)×P(B). Anda mungkin bertanya, mengapa rumusnya seperti itu?

Bila kita ingin mengetahui peluang terjadinya kejadian B dengan asumsi bahwa kejadian A telah terjadi, maka yang kita hitung adalah P(A ∩ B)/P(A). Peluang ini disebut sebagai peluang bersyarat terjadinya kejadian B bila diketahui kejadian A telah terjadi, dan biasanya dituliskan dengan notasi P(B|A). Nah, jika P(B|A) = P(B), maka A dan B saling bebas.

Jadi A dan B saling bebas jika dan hanya jika P(A ∩ B) = P(A)×P(B).

Kembali ke cerita tentang kereta api Parahyangan di atas, sesungguhnya peluang jendela kaca kereta api dilempari batu lagi (oleh anak-anak nakal) dalam suatu perjalanan tidak berkurang hanya karena kita telah melempari sendiri jendela kaca di sebelah tempat duduk kita.

Jika peluang jendela kaca dilempari batu (oleh siapapun) dalam suatu perjalanan katakanlah sama dengan 1/100, maka peluang jendela kaca dilempari batu dua kali dalam perjalanan yang sama adalah 1/100 × 1/100 = 1/10.000, sebuah bilangan yang memang kecil. Tetapi, peluang jendela kaca dilempari batu untuk kedua kalinya bila jendela kaca tersebut telah dilempari batu sebelumnya adalah 1/10.000 dibagi dengan 1/100, yang sama dengan 1/100. Jadi peluangnya tetap 1/100, tidak menjadi lebih kecil, apalagi menjadi sangat kecil.

*

Bandung, 24-11-2017

Kejadian Saling Lepas dan Kejadian Saling Bebas

Ada guru bertanya: apakah kejadian saling lepas merupakan kejadian saling bebas? Ia juga meminta contoh kejadian saling lepas dan kejadian saling bebas.

Duh, sebetulnya saya hampir lupa konsep-konsep dasar dalam Statistika. Untungnya ada pertanyaan tersebut. Jadi, setelah ngobrol dengan anak saya (yang sudah lulus SMA), saya pun ingat lagi konsep-konsep tersebut.

Dua kejadian dikatakan saling lepas apabila kedua kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan. Sebagai contoh, bila kita melempar sebuah dadu, kita tidak mungkin memperoleh bilangan ganjil dan bilangan genap sekaligus. Kejadian munculnya bilangan ganjil dan kejadian munculnya bilangan genap pada pelemparan sebuah dadu merupakan dua kejadian yang saling lepas.

Menggunakan notasi himpunan dan peluang, jika A dan B adalah dua kejadian dalam suatu percobaan, maka A dan B saling lepas apabila P(A ∩ B) = 0.

Lalu, apa yang dimaksud dengan kejadian saling bebas? Dua kejadian dikatakan saling bebas apabila peluang kejadian pertama tidak dipengaruhi oleh kejadian kedua, dan sebaliknya peluang kejadian kedua juga tidak dipengaruhi oleh kejadian pertama. Jika A dan B adalah dua kejadian dalam suatu percobaan, maka A dan B saling bebas apabila P(A ∩ B) = P(A)×P(B).

Sebagai contoh, bila kita melempar dua buah dadu, maka kejadian munculnya bilangan 1 pada dadu pertama (peluangnya 1/6) dan kejadian munculnya bilangan 6 pada dadu kedua (peluangnya juga 1/6) merupakan dua kejadian saling bebas. Peluang terjadinya dua kejadian tersebut sekaligus adalah 1/36.

Sumber gambar: magictricks.com

Apakah ada kejadian yang tidak saling lepas dan sekaligus tidak saling bebas? Tentu saja ada. Sebagai contoh, bila kita melempar sebuah dadu, maka kejadian munculnya bilangan genap dan kejadian munculnya bilangan prima merupakan dua kejadian yang tidak saling lepas dan sekaligus tidak saling bebas. Untuk memastikan, sila cek kebenarannya dengan menghitung peluangnya!

*

Bandung, 21-11-2017

Logika dalam Kalimat Sehari-hari – IV

Kalimat yang mengandung kata “kalau” dalam kehidupan sehari-hari seringkali dianggap implikasi dua arah (bi-implikasi), bukan sekadar implikasi satu arah. Sebagai contoh, kita sering mendengar percakapan seperti ini.

“Kalau ntar malam ngga hujan, kita jalan-jalan ke Alun-Alun yuk!”

“Kalau hujan, bagaimana?”

“Ya ngga jadi jalan-jalannya!”

“Oh, oke deh…”

Dalam bahasa matematika, kalimat pertama di atas kira-kira setara dengan “Kita jalan-jalan ke Alun-Alun nanti malam jika dan hanya jika nanti malam tidak hujan ya.” Tapi kok ngeri amat ya kalau kita berkata-kata seperti itu di antara sesama teman.

Matematikawan memang punya logika yang berbeda dengan logika sehari-hari. Doni, mahasiswa matematika, berjanji kepada Dona, mahasiswi non-matematika: “Kalau nanti malam hujan, Aku ngga akan main ke rumahmu ya”. Ternyata, malam itu tidak hujan, dan Doni tidak datang ke rumah Dona. Malam itu juga, Dona menelepon Doni: “Kok kamu ngga main ke rumahku? Malam ini kan cerah, ngga ada hujan setetes pun?” Tanpa merasa bersalah, Doni menjawab: “Aku kan tidak berjanji apa-apa kalau malam ini tidak hujan!”

*

Bandung, 17-11-2017

Logika dalam Kalimat Sehari-hari – III

Seorang dosen senior (ketika masih aktif) pernah bercerita begini. Pada suatu hari, beberapa minggu setelah ujian, seorang mahasiswa menghampirinya dan bertanya:

“Pak, berkas ujiannya belum diperiksa semua ya?”

Mendapat pertanyaan tersebut, beliau menjawab:

“Sabar ya.. semua belum diperiksa!”

Kami yang mendengar cerita tersebut tertawa serentak.

Anda tentunya tahu perbedaan antara “belum diperiksa semua” dan “semua belum diperiksa”. Bila saya sudah mulai memeriksa berkas ujian tetapi belum selesai (katakan baru separuhnya yang saya periksa), saya bisa mengatakan bahwa berkas ujiannya “belum diperiksa semua”, baru sebagian saja.

Melalui pertanyaannya, sang mahasiswa berharap bahwa dosennya telah memeriksa berkas ujian, setidaknya sebagian, sehingga nilai ujian tak lama lagi diumumkan. Namun, dari jawaban dosennya, sang mahasiswa harus kecewa karena “semua belum diperiksa”. Belum ada satupun berkas yang diperiksa oleh dosennya. Artinya, nilai ujian tidak akan keluar dalam waktu dekat.

Dosen senior itu tidak bercerita lebih lanjut apakah si mahasiswa tahu perbedaan di antara kedua frase tersebut atau tidak. Maklum, mahasiswa tersebut adalah mahasiswa tahun pertama, dan bukan mahasiswa program studi matematika pula. Jadi baginya “semua belum diperiksa” dan “belum diperiksa semua” mungkin sama saja.

*

Bandung, 14-11-2017

Logika dalam Kalimat Sehari-hari – II

Memahami kalimat yang mengandung kata ‘tidak’, ‘belum’, atau ‘bukan’ seringkali tidak mudah. Apalagi penempatan kata ‘tidak’, ‘belum’, atau ‘bukan’ dalam suatu kalimat dapat mempengaruhi arti kalimat tersebut.

Beberapa tahun silam, saya pernah membaca sebuah spanduk (di dekat sebuah rumah sakit di Bandung) yang bertuliskan: TIDAK MEROKOK ITU SEHAT. Seketika itu juga saya bertanya dalam hati: apa maksud kalimat tersebut? Apa bedanya dengan kalimat MEROKOK ITU TIDAK SEHAT?

Dalam kalimat TIDAK MEROKOK ITU SEHAT, subjeknya adalah TIDAK MEROKOK, dan predikatnya adalah SEHAT. Sementara itu, dalam kalimat MEROKOK ITU TIDAK SEHAT, subjeknya adalah MEROKOK, dan predikatnya adalah TIDAK SEHAT. Jadi, dari anatomi kalimatnya saja, kedua kalimat tersebut berbeda. Arti mereka tentu berbeda juga.

Kalimat dengan susunan S-P (Subjek-Predikat) sebetulnya merupakan kalimat yang sederhana. SAYA LAPAR, misalnya. Bila saya ingin menyangkal kalimat ini, bahwa SAYA LAPAR salah, apa kalimatnya? Apakah BUKAN SAYA (yang) LAPAR atau SAYA TIDAK LAPAR? Tentu saja kalimat yang kedua, ya kan?

Negasi dari kalimat S-P adalah S-P’, dengan P’ menyatakan ‘tidak P’ atau ‘bukan P’. Jadi subjeknya tetap S, sementara predikatnya menjadi P’.

Nah, bila kalimat MEROKOK ITU SEHAT salah, kalimat MEROKOK ITU TIDAK SEHAT mestilah benar. Menurut saya, spanduk tadi seharusnya berbunyi MEROKOK ITU TIDAK SEHAT — karena itu janganlah merokok, kira-kira begitu seruan dari pemasang spanduk tersebut.

no smoking

Sementara itu, kalau kita sangkal kalimat TIDAK MEROKOK ITU SEHAT, kita peroleh kalimat TIDAK MEROKOK ITU TIDAK SEHAT, sebuah kalimat ‘double negative‘.

Memang sih, kalau TIDAK MEROKOK ITU SEHAT dianggap benar, spanduk itu juga menyerukan agar kita tidak merokok. Tetapi benarkah orang yang tidak merokok itu sehat? Bagaimana bila ia mempunyai kebiasaan lain, katakanlah makan makanan berlemak secara berlebihan?

Ah sudahlah… diskusinya nanti ke mana-mana. Kalimat sehari-hari kadang memang tidak logis.

*

Bandung, 10-11-2017

Logika dalam Kalimat Sehari-hari – I

SAYA MENYUKAI MATEMATIKA DAN MUSIK. Barangkali tidak ada yang akan bertanya apa maksud kalimat ini.

Tetapi, baru-baru ini, seorang teman memperlihatkan foto dirinya yang sedang makan di depan sebuah ‘pengumuman’ yang berbunyi: DILARANG MAKAN DAN MIMUM DI RUANGAN INI. Menurutnya, ia tidak melanggar seruan tersebut, karena ia hanya makan di ruangan tersebut, tidak minum. Saya setuju dengan teman saya. Berikut adalah alasannya.

Di banyak negara lain, ada peraturan bagi pengendara: DON’T DRINK AND DRIVE. Yang dimaksud adalah jangan menyetir dalam keadaan mabuk. OK, kita tidak akan membahas apa artinya mabuk — di negara sana sudah ada ketentuannya. Yang hendak saya kemukakan adalah bahwa peraturan tersebut tidak melarang orang (yang sudah mempunyai surat ijin mengemudi) untuk menyetir (mobil), asalkan ia tidak sedang mabuk. Peraturan tersebut juga tidak melarang orang untuk mabuk, asalkan kemudian ia tidak menyetir. Bahkan, dalam satu mobil, boleh ada dua orang, yang seorang menyetir (tetapi tidak dalam keadaan mabuk) dan yang seorang lagi dalam keadaan mabuk (tetapi tidak menyetir).

Nah, dengan analogi di atas, bila peraturannya berbunyi DILARANG MAKAN DAN MINUM DI RUANGAN INI, maka seseorang yang makan tetapi tidak minum di ruangan tersebut sesungguhnya tidak melanggar peraturan tersebut. Demikian juga sesorang yang minum tetapi tidak makan di ruangan tersebut tidak melanggar peraturan tersebut. Seseorang hanya dapat divonis melanggar peraturan tersebut bila ia makan DAN minum di ruangan tersebut. Bila saya hanya makan di ruang tersebut, dan pada saat yang sama teman saya hanya minum di ruangan tersebut, tidak ada pelanggaran yang terjadi.

Tetapi, anda mungkin berpikir, bukan seperti itu yang dikehendaki. OK, saya mengerti. Bila yang dikehendaki adalah tidak ada orang yang makan di ruangan tersebut, juga tidak ada orang yang minum di ruangan tersebut, serta tentunya tidak ada yang makan dan minum di ruangan tersebut, maka pengumumannya seharusnya berbunyi: DILARANG MAKAN ATAU MINUM DI RUANGAN INI.

Anda boleh geleng-geleng kepala, tetapi dua kalimat berikut: DILARANG MAKAN DAN MINUM DI RUANGAN INI dan DILARANG MAKAN ATAU MINUM DI RUANGAN INI mempunyai arti yang berbeda. Demikian juga DON’T DRINK AND DRIVE dan DON’T DRINK OR DRIVE mempunyai makna yang berbeda. Orang (di sana) akan protes bila peraturannya berbunyi DON’T DRINK OR DRIVE. Logika mereka jalan. Bagaimana dengan logika kita?

*

Bandung, 07-11-2017