Fungsi Monoton

Fungsi f dikatakan naik pada [a, b] apabila untuk setiap x, y ∈ [a, b] dengan x < y berlaku f(x) ≤ f(y). Fungsi f dikatakan turun pada [a, b] apabila untuk setiap x, y ∈ [a, b] dengan x < y berlaku f(x) ≥ f(y). Fungsi naik atau turun pada [a, b] disebut fungsi monoton pada [a, b].

Setiap fungsi monoton pada [a, b] mempunyai limit kiri dan limit kanan di setiap titik c ∈ (a, b). Tentunya ia juga akan mempunyai limit kanan di a dan limit kiri di b. Nah, selanjutnya kita gunakan notasi

limit kiri

dan

limit kanan

asalkan kedua limit ini ada. Maka, kita mempunyai fakta berikut:

1. Jika f monoton naik pada [a, b], maka limit kanan di adanlimit kiri di b

Sebagai akibatnya, kita juga mempunyai fakta berikut:

2. Misalkan f monoton naik pada [a, b]. Jika c di (a, b), maka f(c  ̶) dan f(c+) ada, dan

f(x) ≤ f(c  ̶) ≤ f(c) ≤ f(c+) ≤ f(y)

untuk setiap x dan y dengan ax < c < yb.

Fakta terakhir memberi tahu kita bahwa suatu fungsi monoton mungkin tidak kontinu di suatu titik, tetapi ketakkontinuan yang mungkin terjadi hanyalah ketakkontinuan loncat.

Pada artikel berikutnya, kita akan membahas himpunan titik diskontinuitas suatu fungsi monoton.

*

Bandung, 26-05-2017

Sifat-Sifat Fungsi Involusi

Fungsi involusi mempunyai grafik yang simetris terhadap garis y = x. Selain itu, fungsi involusi mempunyai sejumlah sifat yang menarik, antara lain:

(1) Setiap fungsi involusi merupakan fungsi satu-ke-satu.

(2) Jika f merupakan fungsi involusi yang kontinu pada (-∞, ∞), maka f monoton turun dan mempunyai tepat satu titik tetap.

Sifat pertama mudah dibuktikan (sila coba). Untuk pembuktian sifat kedua, lihat artikel Wiener & Watkins. Dalam artikel ini, dibahas pula sifat-sifat lainnya dari fungsi involusi.

*

Bandung, 23-05-2017

Fungsi yang Kontinu Hanya di Satu Titik

Apakah Anda bisa membayangkan sebuah fungsi yang kontinu hanya di satu titik, katakan di c = 0, dan tidak kontinu di titik lainnya?

Sebagai contoh, tinjau fungsi f : R → R yang didefinisikan sebagai f(x) = x jika x rasional dan f(x) = –x jika x irasional. Fungsi ini kontinu hanya di c = 0, tidak di titik lainnya. Sila buat sketsa grafik fungsi ini!

Nah, dengan sedikit modifikasi, Anda juga dapat mengkonstruksi contoh fungsi yang mempunyai turunan hanya di satu titik, dan tidak mempunyai turunan di titik lainnya. Sila coba!

*

Bandung, 12 Mei 2017

 

 

Titik Ekstrim Lokal dan Titik Stasioner

Misalkan f mempunyai turunan pada interval (a, b) dan c ∈ (a, b). Jika f mencapai nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal di c, maka f‘(c) = 0.

Fakta ini dapat dibuktikan melalui kontraposisinya: Jika f’(c) ≠ 0, maka f tidak akan mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c.

Buktinya adalah sebagai berikut. Menurut definisi turunan,

turunan di c

Nah, misalkan f‘(c) > 0. Maka, menurut definisi limit, terdapat suatu δ > 0 sedemikian sehingga

turunan positif

untuk x ∈ (cδ, c + δ), xc.

Sekarang perhatikan bahwa untuk x ∈ (c, c + δ), kita mempunyai xc > 0 dan ketaksamaan di atas memberikan f(x) – f(c) > 0 atau f(x) > f(c). Jadi f tidak mungkin mencapai nilai maksimum lokal di c. Selanjutnya untuk x ∈ (cδ, c), kita mempunyai xc < 0 dan ketaksamaan memberikan f(x) – f(c) < 0 atau f(x) < f(c). Jadi f juga tidak mungkin mencapai nilai minimum lokal di c.

Hal serupa terjadi ketika f‘(c) < 0. Jadi, jika f‘(c) ≠ 0, maka f tidak akan mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c.

Catatan. Kebalikan dari fakta di atas tidak berlaku: Jika f‘(c) = 0, tidak ada jaminan f mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di c. Sebagai contoh, f(x) =x3 mempunyai turunan 0 di c = 0, yakni f’(0) = 0, tetapi f tidak mencapai nilai maksimum ataupun minimum di c = 0. Titik maksimum atau minimum lokal disebut sebagai titik ekstrim lokal, sedangkan titik dengan turunan 0 disebut titik stasioner. Jika f‘(c) ada dan c merupakan titik ekstrim lokal, maka c haruslah merupakan titik stasioner. Tetapi jika c merupakan titik stasioner, c belum tentu merupakan titik esktrim lokal.

*

Bandung, 05-05-2017

Teorema Rolle dan Teorema Nilai Rata-Rata untuk Turunan

Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada interval [a, b] dan mempunyai turunan pada interval (a, b). Jika f(a) = f(b), maka terdapat suatu c ∈ (a, b) sedemikian sehingga f‘(c) = 0. Fakta ini dibuktikan pertama kali untuk fungsi polinom oleh Michel Rolle (1652-1719), karena itu diberi nama Teorema Rolle.

Bukti Teorema Rolle untuk fungsi f sembarang diberikan oleh Augustin-Louis Cauchy (1789-1857). Argumentasinya kira-kira sebagai berikut. Ingat jika f kontinu pada interval [a, b] yang kompak, maka menurut sifat kekontinuan f akan mencapai nilai maksimum M di suatu titik c1 ∈ [a, b] dan f juga mencapai nilai minimum m di suatu titik c2 ∈ [a, b]. Jika c1 dan c2 adalah titik-titik ujung interval [a, b], hipotesis f(a) = f(b) memaksa m = M, dan dalam hal ini f mestilah konstan pada [a, b]. Akibatnya f‘(c) = 0 untuk setiap c ∈ (a, b). Jika c1 bukan titik ujung [a, b], maka cdi (a, b) dan f mencapai nilai maksimum lokal di c1. Ini hanya dapat terjadi ketika f‘(c1) = 0. Hal serupa terjadi bila c2 bukan titik ujung [a, b]. Jadi, dalam kasus manapun, mestilah terdapat c di (a, b) sedemikian sehingga f’(c) = 0. Sebagai ilustrasi, lihat gambar di bawah ini.

teorema_rolle

Sebagai perumuman dari Teorema Rolle, kita mempunyai Teorema Nilai Rata-Rata, yang berbunyi: Jika f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b), maka terdapat c ∈ (a, b) sedemikian sehingga f‘(c) = [f(b) – f(a)]/(ba). Nilai [f(b) – f(a)]/(ba) disebut nilai rata-rata f pada [a, b]. Nilai ini sama dengan gradien ruas garis singgung yang menghubungkan titik (a, f(a)) dan (b, f(b)). Teorema Nilai Rata-rata menyatakan bahwa pada kurva y = f(x) terdapat suatu titik (c, f(c)) dengan gradien garis singgung sama dengan nilai rata-rata f pada [a, b]. Secara fisis, jika y = f(t) menyatakan posisi suatu partikel yang bergerak (sepanjang garis lurus) pada saat t, maka f‘(t) menyatakan kecepatan sesaat partikel pada saat t dan [f(b) – f(a)]/(ba) menyatakan kecepatan rata-rata partikel tersebut pada interval waktu [a, b]. Teorema Nilai Rata-Rata menyatakan bahwa partikel tersebut akan mencapai kecepatan rata-ratanya pada suatu saat c di (a, b).

Teorema Nilai Rata-Rata dapat dibuktikan dengan meninjau fungsi F yang didefinisikan pada interval [a, b] sebagai F(x) = f(x) – hx dengan h = [f(b) – f(a)]/(ba). Dalam hal ini, F kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Periksa juga bahwa F(a) = F(b), sehingga F memenuhi hipotesis Teorema Rolle. Karena itu, mestilah terdapat suatu titik c ∈ (a, b) sedemikian sehingga F‘(c) = 0. Karena F’(c) = f’(c) – h, kita peroleh f’(c) = h = [f(b) – f(a)]/(ba).

Sebagaimana telah diungkap dalam artikel sebelumnya, Teorema Nilai Rata-Rata diperlukan dalam pembuktian Teorema Dasar Kalkulus II.

*

Bandung, 02-05-2017

Teorema Dasar Kalkulus II

Dari Teorema Dasar Kalkulus I (TDK I) dapat diperoleh Teorema Dasar Kalkulus II (TDK II) yang berbunyi: Jika f kontinu dan mempunyai anti-turunan F [yang memenuhi F’(x) = f(x)] pada interval [a, b], maka

Teorema Dasar Kalkulus II

Buktinya adalah sebagai berikut. TDK I telah memberi tahu kita bahwa

anti-turunan

merupakan anti-turunan dari f(x) pada [a, b], yakni G’(x) = f(x) untuk setiap x ∈ [a, b]. Akibatnya, kita mempunyai G’(x) − F’(x) = 0 untuk setiap x ∈ [a, b]. Menurut Teorema Nilai Rata-Rata (untuk turunan), hal tersebut hanya mungkin terjadi apabila G(x) − F(x) = C (konstan) untuk setiap x ∈ [a, b]. Jadi, kita peroleh

Teorema Dasar Kalkulus II - b

untuk setiap x ∈ [a, b]. Dengan mensubstitusikan x = a, kita mempunyai F(a) + C = 0 (karena integral pada [a, a] mestilah sama dengan 0). Jadi C = −F(a), dan kesamaan di atas menjadi

Terorema Dasar Kalkulus II - c

untuk setiap x ∈ [a, b]. Khususnya, untuk x = b, kita peroleh

Teorema Dasar Kalkulus II

Catatan: Teorema Nilai Rata-Rata untuk turunan menyatakan jika f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b), maka terdapat c ∈ (a, b) sedemikian sehingga f’(c) = [f(b) – f(a)]/(ba).

*

Bandung, 28-04-2017

Teorema Dasar Kalkulus I

Ada dua Teorema Dasar Kalkulus, yang dinyatakan sebagai Teorema Dasar Kalkulus I (TDK I) dan Teorema Dasar Kalkulus II (TDK II). Kita akan membahas TDK I terlebih dahulu. Secara kasar, TDK I menyatakan jika kita mengintegralkan sebuah fungsi pada interval [a, t] lalu kita turunkan hasilnya terhadap t, maka kita akan memperoleh fungsi semula.

Matematikawan pertama yang membuktikan TDK I adalah Isaac Barrow, tetapi bukti TDK I yang terdapat di buku-buku Kalkulus moderen yang dipakai sebagai rujukan matakuliah matematika tahun pertama di perguruan tinggi dikembangkan dari bukti versi Isaac Newton. Pendekatan yang dipilih oleh Newton, sebagaimana dapat kita terka, adalah melalui konsep fisis kecepatan sesaat dan jarak tempuh (pada gerak lurus dengan kecepatan positif).

Diketahui y = y(t) kontinu untuk t ≥ 0, tinjau luas daerah di bawah kurva y = y(t) untuk 0 ≤ tx, sebutlah L = L(x). Dalam benak Newton, y(t) menyatakan kecepatan benda pada saat t, dan L(x) merupakan jarak yang ditempuh benda pada interval waktu [0, x]. Nah, diketahui y(t), kita peroleh L(x) melalui pengintegralan. Sebaliknya, Newton menjelaskan bagaimana kita dapat memperoleh y kembali dari L melalui penurunan.

Persisnya, ia meninjau rasio perubahan L terhadap x, sebagai berikut. Selain menggambar daerah di bawah kurva y = y(t), Newton juga menggambar daerah di bawah kurva y = 1 (konstan) sebagai pembanding (lihat gambar).

Teorema Dasar Kalkulus I

Dengan mengasumsikan x berubah terhadap t, pada akhirnya L juga merupakan fungsi dari t. Dari gambar, tampak bahwa rasio laju pertambahan L dan laju pertambahan x dari t = x ke t = x + h kurang lebih sama dengan luas persegi panjang dengan alas h dan tinggi AC (= y) dibagi luas persegi panjang dengan alas h dan tinggi AB (= 1), yang tentu saja sama dengan y. Dengan membayangkan h menuju 0, Newton sampai pada kesimpulan bahwa

Teorema Dasar Kalkulus I - b

Dalam notasi Leibniz (yang diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz) untuk turunan dan integral yang kita kenal sekarang, Newton telah membuktikan bahwa

Teorema Dasar Kalkulus I - c

Jika x(t) = t, maka dx/dt = 1, sehingga persamaan di atas menjadi

Teorema Dasar Kalkulus I - d

yang tidak lain merupakan pernyataan TDK I. (Integral di ruas kiri dikenal sebagai anti-turunan dari y. Nah, TDK I menyatakan bahwa turunan dari integral tersebut sama dengan y.)

Catatan: Artikel ini disadur dari buku Menuju Tak Terhingga, Penerbit ITB, 2016.

*

Bandung, 25-04-2017