Dimensi Himpunan Cantor Terner

Himpunan Cantor Terner yang telah diperkenalkan sebelumnya merupakan suatu fraktal berdimensi d = ln 2/ln 3 ≈ 0,63. Kok bisa ya dimensinya bukan bilangan bulat? Bagaimana sih menentukan dimensinya?

Sebelum menjawab pertanyaan tersebut, tinjau interval I = [0, 1]. Bila kita dilasi interval I dengan faktor ½, maka kita peroleh interval [0, ½]. Nah, I = [0, ½] ∪ [½, 1]. Jadi I terdiri atas 2 interval bagian, masing-masing interval bagian setara dengan hasil dilasi dari I dengan faktor ½. Serupa dengan itu kita akan peroleh 3 interval bagian yang setara dengan hasil dilasi dari I dengan faktor ⅓. Secara umum, kita akan peroleh n interval bagian yang setara dengan hasil dilasi dari I dengan faktor 1/n. Interval I = [0, 1] dalam hal ini memiliki dimensi 1 = -ln(n)/ln(1/n).

Sekarang tinjau persegi S = [0, 1] × [0, 1] = [0, 1]2. Bila kita dilasi S dengan faktor ½, maka kita peroleh persegi [0, ½]2. Perhatikan bahwa S terdiri atas 4 persegi bagian, masing-masing bagian setara dengan hasil dilasi dari S dengan faktor ½. Secara umum, kita akan peroleh n2 persegi bagian yang setara dengan hasil dilasi dari S dengan faktor 1/n. Persegi S = [0, 1]2 dalam hal ini memiliki dimensi 2 = -ln(n2)/ln(1/n).

Dengan cara yang sama, kita dapat ‘membuktikan’ bahwa balok Q = [0, 1]3 memiliki dimensi 3 = -ln(n3)/ln(1/n).

Ketiga fakta di atas, yaitu bahwa interval berdimensi 1, persegi berdimensi 2, dan balok berdimensi 3, tentu saja bukan sesuatu yang mengejutkan. Informasi baru yang kita dapatkan adalah bahwa dimensinya sama dengan –ln(m)/ln(1/n), dengan m menyatakan banyaknya bentuk yang setara dengan hasil dilasi yang diperoleh ketika kita dilasi bentuk semula dengan faktor 1/n.

Lalu bagaimana dengan dimensi Himpunan Cantor Terner (H) itu? Nah, bila kita tengok kembali bagaimana himpunan tersebut dikonstruksi, maka kita dapatkan bahwa, ketika kita dilasi H dengan faktor ⅓, maka kita peroleh 2 (bukannya 3) himpunan bagian yang setara dengan hasil dilasinya.

Himpunan Cantor Terner_1

Selanjutnya, jika kita dilasi dengan faktor 1/9, maka kita peroleh 4 himpunan bagian yang setara dengan hasil dilasinya. Secara umum, kita akan peroleh 2k himpunan bagian yang setara dengan hasil dilasi dari H dengan faktor 1/3k. Jadi, kita simpulkan bahwa dimensi dari Himpunan Cantor Terner sama dengan d = -ln(2k)/ln(1/3k) = ln 2/ln 3.

Nah, lucu juga kan, ternyata di dunia matematika (dan sesungguhnya di alam nyata juga) ada objek yang memiliki dimensi bilangan real positif sembarang, bukan bilangan bulat positif.

Anda juga dapat menemukan objek matematika yang memiliki dimensi di antara 1 dan 2, atau objek lainnya dengan dimensi di antara 2 dan 3. Have fun with them!

*

Bandung, 29-08-2016

Deret Persegi dalam Persegi Bersisi Rasio Emas

Ada berapa banyak ‘pengubinan’ persegi dalam persegi, yang merupakan visualisasi (atau bukti tanpa kata-kata) dari deret tertentu, yang telah dibahas di blog ini? Lihat kembali (1) Deret Geometri dengan Rasio ¼, (2) Visualisasi Deret 1/4 + 2/8 + 3/16 + …, dan (3) Visualisasi Deret 8/9 + 8/81 + 8/729 + … . Sekarang ada satu lagi visualisasi dari sebuah deret yang mirip dengan deret (2), yang merupakan deret persegi dalam sebuah persegi bersisi Rasio Emas.

Sebelum melanjutkan membaca, Anda dapat mengerjakan problem ini terlebih dahulu: Buktikan jika R menyatakan Rasio Emas dan r := R – 1, maka r memenuhi persamaan

Persegi Bersisi Rasio Emas

Nah, dari sudut pandang geometri, ruas kiri persamaan di atas menyatakan luas persegi dengan sisi R = 1 + r, sementara suku ke-n di ruas kanan menyatakan luas n persegi dengan sisi rn–1 (sebagai contoh, suku ke-3, yaitu 3r4, menyatakan luas 3 persegi dengan sisi r2).

Pertanyaannya kemudian, bagaimana menyusun persegi-persegi kecil yang bersisi 1, r, r2, r3, dan seterusnya itu dalam persegi bersisi R = 1 + r? Erich Friedman telah melakukannya, lihat gambarnya di sini. Perhatikan bahwa susunannya mirip dengan visualisasi deret 1/4 + 2/8 + 3/16 + … .

Anda tentunya tahu bahwa pada Persegi Panjang Emas dengan panjang p + q dan lebar p, kita mempunyai (p + q) : p = p : q.

Golden Rectangle

Dengan fakta ini, kita dapat membuat susunan atau ‘pengubinan’ yang lebih cantik, yang memiliki pola replikasi seperti fraktal. Seperti biasa, saya dibantu oleh anak saya, Rubio Gunawan, untuk membuat gambarnya dengan komputer. Berikut adalah gambar yang dimaksud:

Golden Ratio Squares

Apakah Anda dapat melihat pola replikasinya? Sangat menarik, ya kan?

*

Bandung, 22-08-2016

Himpunan Cantor Terner

Bila Anda merasa sudah cukup akrab dengan bilangan real, tetapi belum berkenalan dengan himpunan Cantor terner, pemahaman Anda tentang bilangan real belum lengkap. Artikel ini memperkenalkan himpunan yang menyandang nama matematikawan Georg Cantor (1845-1918) tersebut, yang disadur dari buku Menuju Tak Terhingga (Penerbit ITB, 2016). Di akhir artikel, ada problem kecil untuk Anda, untuk mengecek apakah Anda sudah memahami himpunan unik ini.

Himpunan Cantor terner dikonstruksi secara iteratif, sebagai berikut. Dimulai dengan interval tutup I0 := [0, 1], kita bagi interval ini menjadi tiga bagian sama panjang, dan kita buang interval buka (⅓, ⅔) yang berada di tengah. Sisanya adalah gabungan dua interval tutup, [0, ⅓] ∪ [⅔, 1] =: I1.

Himpunan Cantor Terner_1

Selanjutnya, kita bagi masing-masing interval pada I1 menjadi tiga bagian sama panjang, dan kita buang kedua interval buka di tengah. Sisanya merupakan gabungan empat interval tutup, yaitu [0, 1/9] ∪ [2/9, 3/9] ∪ [6/9, 7/9] ∪ [8/9, 1] =: I2. Proses ini kita lanjutkan terus ad infinitum: Pada langkah ke-i, kita peroleh himpunan Ii yang merupakan gabungan dari sejumlah interval tutup (2i banyaknya). Perhatikan bahwa

Himpunan Cantor Terner 2

Selanjutnya, misalkan

Himpunan Cantor Terner_3

yaitu irisan dari semua himpunan Ii. Titik-titik ujung interval Ii, seperti 1/3, 7/9, 26/27, dan seterusnya, jelas merupakan anggota H. Jadi, H bukan himpunan kosong. Tetapi, anggota H bukan hanya titik-titik ujung interval tersebut!

Sebagai contoh, ¼ adalah anggota H yang bukan titik ujung salah satu interval tersebut. Dalam sistem bilangan terner (basis 3), anggota H adalah semua bilangan yang tidak mengandung angka 1 di belakang tanda koma. Nah,

Himpunan Cantor Terner_4

sehingga ia merupakan anggota H. (Perhatikan bahwa deret di atas merupakan deret geometri dengan rasio 1/9.) Dari angka-angka di belakang tanda koma, kita bisa mengetahui bahwa pada proses pembuangan interval di tengah yang pertama, ¼ berada di interval bagian paling kiri, yaitu [0, ⅓], karena itu ia ‘selamat’. Lalu, pada proses pembuangan interval di tengah yang kedua, ia berada di interval bagian paling kanan dari [0, ⅓], sehingga ia tetap selamat, dan begitu seterusnya.

Problem: Buktikan bahwa 3/10 merupakan anggota H.

Catatan. Himpunan H, yang dikenal sebagai himpunan Cantor terner, termasuk dalam kategori fraktal. Dari proses pembentukannya, jelas bahwa H tidak memuat interval sekecil apapun. Namun demikian, dapat dibuktikan bahwa H memiliki kardinalitas yang sama dengan R. Ini berarti bahwa anggota H jauh lebih banyak daripada bilangan rasional.

*

Bandung, 18-08-2016

Menguraikan 1 sebagai Jumlah Pecahan Satuan

Bilangan 1 dapat diuraikan sebagai jumlah beberapa pecahan satuan. Terdapat tepat satu cara menguraikan 1 sebagai jumlah dua pecahan satuan, yaitu 1 = ½ + ½. Kemudian, terdapat tepat tiga cara menguraikan 1 sebagai jumlah tiga pecahan satuan: 1 = ⅓ + ⅓ + ⅓, 1 = ½ + ¼ + ¼, dan

Menguraikan 1 sebagai Jumlah Pecahan Satuan

(Di sini, 1 = ½ + ¼ + ¼ dan 1 = ¼ + ¼ + ½ dianggap sebagai satu cara yang sama.)

Nah, sekarang tentukan berapa banyak cara menguraikan 1 sebagai jumlah empat pecahan satuan? (Psst.. Ada lebih daripada 10 cara loh!)

*

Bandung, 11-08-2016

Tripel Pecahan Satuan Dasar

Tripel bilangan (5, 4, 3) dan kelipatannya, seperti (10, 8, 6), (15, 12, 9), dan seterusnya, merupakan contoh Tripel Pythagoras. Dalam hal ini, tripel (5, 4, 3) merupakan Tripel Pythagoras Dasar. Contoh Tripel Pythagoras Dasar lainnya adalah (13, 12, 5). Perhatikan bahwa faktor persekutuan bersama dari suatu Tripel Pythagoras Dasar adalah 1.

Nah, bagaimana dengan Tripel Pecahan Satuan? Saya baru menyadari belakangan (setelah mengunggah artikel tentang Tripel Pecahan Satuan dan Tripel Arcus Tangen seminggu yang lalu) bahwa tripel (k, k + 1, k2 + k) merupakan Tripel Pecahan Satuan Dasar, tetapi banyak tripel lainnya yang juga merupakan Tripel Pecahan Satuan Dasar.

Untuk memperoleh bentuk umum Tripel Pecahan Satuan Dasar, pertama catat bahwa jika kita mempunyai suatu Tripel Pecahan Satuan, maka kelipatannya juga merupakan Tripel Pecahan Satuan. Selanjutnya, misalkan (k, m, n) adalah suatu Tripel Pecahan Satuan, yakni

Tripel Pecahan Satuan Dasar-1

Di sini m, n > k. Misalkan m = k + j. Maka

Tripel Pecahan Satuan Dasar-2

Dari sini kita melihat dua kasus. Kasus pertama, k merupakan kelipatan j, sebutlah k = ij, sehingga

Tripel Pecahan Satuan Dasar-3

Jadi kita peroleh (k, m, n) = (ji, j(i + 1), ji(i + 1)), yang hanya merupakan kelipatan dari tripel (i, i + 1, i(i + 1)).

Kasus kedua, yang lebih umum daripada kasus pertama, k2 merupakan kelipatan j, sebutlah k2 = lj. Dalam hal ini, kita peroleh (k, m, n) = (k, k + j, k + l), yang tidak harus merupakan kelipatan dari suatu tripel (i, i + 1, i(i + 1)). Sebagai contoh, untuk k = 6, j = 4, dan l = 9, kita peroleh tripel (6, 10, 15), dan tripel ini merupakan Tripel Pecahan Satuan Dasar.

Dengan bantuan faktorisasi prima, tripel (k, k + j, k + l) merupakan Tripel Pecahan Satuan Dasar jika dan hanya jika j dan l merupakan bilangan kuadrat, sebutlah j =  adan l = bdengan a dan b relatif prima. Jadi, kita peroleh bentuk umum Tripel Pecahan Satuan Dasar, yaitu  (ab, a(a + b), b(a + b)), dengan a dan b relatif prima. Catat bahwa bentuk ini mencakup tripel (b, b + 1, b(b + 1)) yang telah kita identifikasi sebagai suatu Tripel Pecahan Satuan Dasar sejak awal. [Terima kasih kepada Fajar Yuliawan untuk argumen pamungkas ini.]

*

Bandung, 08-08-2016

 

 

Tripel Pecahan Satuan dan Tripel Arcus Tangen

Tripel bilangan asli (5, 4, 3) merupakan Tripel Pythagoras; ketiga bilangan tersebut memenuhi persamaan 52 = 42 + 32. Secara umum, untuk m > n, tripel bilangan (m2 + n2, 2mnm2n2) merupakan Tripel Pythagoras.

Nah, Anda mungkin masih ingat tentang pecahan satuan dan kebiasaan orang Mesir Kuno terkait dengan pecahan satuan. Sebagai contoh, bila mereka harus menguraikan pecahan 1/2 sebagai jumlah dari dua pecahan satuan lainnya, maka mereka akan menuliskan 1/2 = 1/4 + 1/4 atau 1/2 = 1/3 + 1/6. Tripel bilangan (2, 4, 4) dan (2, 3, 6) dalam hal ini dapat disebut sebagai Tripel Pecahan Satuan. Anda dapat memeriksa bahwa untuk k = 1, 2, 3, …, tripel bilangan (k, k + 1, k2 + k) merupakan Tripel Pecahan Satuan yang memenuhi persamaan

Tripel Pecahan Satuan

Namun demikian, ada banyak Tripel Pecahan Satuan selain (k, k + 1, k2 + k), misalnya tripel (2, 4, 4) dan (4, 6, 12).

Mirip dengan Tripel Pecahan Satuan, ada tripel bilangan (k, k + 1, k2 + k + 1) yang memenuhi persamaan

Tripel Arcus Tangen

Tripel bilangan ini dapat kita namai Tripel Arcus Tangen. (Untuk k = 1, persamaan di atas tak lain merupakan rumus Euler untuk bilangan π.)

Seperti pada pecahan satuan, ada banyak Tripel Arcus Tangen lainnya yang belum tercakup oleh rumus di atas. Sila temukan sendiri!

*

Bandung, 01-08-2016

 

‘Perilaku’ Bilangan pada Problem 5n + 1 Versi Kedua

Pada Problem 3n + 1 dan Problem 5n + 1 versi pertama, kita telah menaksir besar perubahan dari xk := ln nk ke xk+1 := ln nk+1:

prob collatz

Untuk L = 5, besar perubahannya positif. Dari bilangan ganjil nk, kita cenderung mendapatkan bilangan ganjil nk+1 yang lebih besar. Karena itu tidak heran bila pada Problem 5n + 1 versi pertama kita peroleh suatu barisan bilangan yang divergen menuju tak terhingga.

Nah, problem untuk Anda sekarang adalah, taksirlah besar perubahan dari xk := ln nk ke xk+1 := ln nk+1, dengan nk menyatakan bilangan asli ke-k yang tak habis dibagi 2 atau 3 dalam barisan bilangan yang diperoleh pada Problem 5n + 1 versi kedua.

*

Bandung, 30-07-2016

Problem 5n + 1 Versi Kedua

Problem 5n + 1 yang telah diperkenalkan sebelumnya mungkin memang bukan problem yang sekelas dengan Problem 3n + 1. Sebagaimana telah diungkap dalam artikel sebelumnya, Problem 5n + 1 memiliki karakteristik yang berbeda dari Problem 3n + 1. Namun, kita mungkin telah melewatkan sesuatu yang penting: mengapa kita hanya memeriksa apakah n genap (atau habis dibagi 2), sebelum kita menghitung 5n + 1.

Kita semua tahu bahwa 2, 3, dan 5, merupakan tiga bilangan prima pertama. Terkait dengan fakta ini, bagaimana bila kita menghitung 5n + 1 setelah kita memastikan bahwa n tidak habis 2 ataupun 3. Persisnya, mulai dengan suatu bilangan asli n, kita lakukan langkah-langkah berikut secara iteratif:

  • Jika n = 1, hentikan iterasi;
  • Jika n habis dibagi 2, bagilah n dengan 2;
  • Jika n kabis dibagi 3, bagilah n dengan 3;
  • Jika n tidak habis dibagi 2 ataupun 3, kalikan n dengan 5 dan tambahkan 1.

diagram-alir 5n+1

Diagram alir 5n + 1 versi kedua

Berikut adalah beberapa contoh barisan bilangan yang diperoleh untuk beberapa bilangan n berbeda yang dipilih pada iterasi pertama. (Bilangan yang dicetak tebal merupakan bilangan prima, yang penting untuk diperhatikan.)

a. 5, 26, 13, 66, 33, 11, 56, 28, 14, 7, 36, 18, 9, 3, 1.

b. 17, 86, 43, 216, 108, 54, 27, 9, 3, 1.

c. 19, 96, 48, 24, 12, 6, 3, 1.

d. 23, 116, 58, 29, 146, 73, 366, 183, 61, 306, 153, 51, 17, …, 1 (seperti pada b).

e. 25, 126, 63, 21, 7, …, 1 (seperti pada a).

f. 31, 156, 78, 39, 13, …, 1 (seperti pada a).

g. 35, 176, 88, 44, 22, 11, …, 1 (seperti pada a).

h. 37, 186, 93, 31, …, 1 (seperti pada f).

i. 41, 206, 103, 516, 258, 129, 43, …, 1 (seperti pada b).

j. 47, 236, 118, 59, 296, 148, 74, 37, …, 1 (seperti pada h).

Saya belum tahu apakah setiap barisan bilangan yang diperoleh pada “Problem 5n + 1 versi kedua” ini akan berhenti di bilangan 1, seperti pada Problem 3n + 1, atau ada barisan bilangan yang siklik atau divergen, seperti pada Problem 5n + 1 versi pertama. Barangkali ada yang tertarik untuk menelitinya?

*

Bandung, 28-07-2016