Jumlah Deret 1/n^2

Pada problem sebelumnya, Anda diminta membuktikan ketaksamaan terkait dengan jumlah deret 1 + 1/22 + 1/32 + … = π2/6. Fakta ini ‘dibuktikan’ oleh Leonhard Euler pada tahun 1734 dengan menggunakan hasil kali tak terhingga untuk sinc x:

jumlah-deret-1-per-n2-_-2

Berdasarkan hasil kali di atas, koefisien x2 dari sinc x adalah

jumlah-deret-1-per-n2-3

Tetapi kita juga mempunyai uraian deret Maclaurin untuk sinc x, yaitu

jumlah-deret-1-per-n2-4

Dalam uraian deret ini, koefisien x2 dari sinc x adalah -1/3! = -1/6. Jadi mestilah

jumlah-deret-1-per-n2-5

dan dari hubungan ini kita peroleh hasil yang diinginkan, yaitu

jumlah-deret-1-per-n2-1

*

Bandung, 24-02-2017

Menghampiri Jumlah Deret 1/n^2

Minggu lalu (13-17 Februari 2017) saya berkunjung ke La Trobe University di Melbourne. Di pintu ruang kerja Dr. Peter van der Kamp, salah seorang dosen matematika di sana, tertempel secarik kertas bertuliskan ketaksamaan

hampiran-deret-1-per-n2

Kebetulan, materi kuliah Kalkulus minggu lalu di ITB adalah tentang deret. Adakah di antara mahasiswa tahun pertama yang dapat membuktikan ketaksamaan di atas?

Mahasiswa pertama yang dapat membuktikan ketaksamaan di atas dengan benar dalam waktu seminggu sejak problem ini ditayangkan akan saya beri kaos oblong bermatematika.net. 🙂

*

Bandung, 21-02-2017

Hasil Kali Tak Terhingga untuk Sinc x dan Rumus Wallis untuk Pi

Pada tahun 1730-an, Leonhard Euler (1707-1783) ‘membuktikan’ bahwa

infinite-product-1

untuk setiap bilangan real x. Bagaimana caranya Euler mendapatkan rumus ini?

Bila p(x) adalah polinom berderajarat n yang memiliki n akar r1, r2, …, rn, maka p(x) = C(xr1)(xr2) … (xrn). Bila tidak akar yang bernilai 0, maka kita dapat menuliskannya sebagai p(x) = K(1 – x/r1)(1 – x/r2) … (1 – x/rn), dengan K = p(0). Nah, fungsi sinc x mempunyai tak terhingga akar, yaitu x = ±nπ, dengan n = 1, 2, 3, … , dan sinc 0 = 1. Dengan sedikit ‘iman’, Euler menyimpulkan bahwa

infinite-product-2

Fakta ini dikukuhkan kemudian oleh Karl Weierstrass (1815-1897). Secara umum Weierstrass membuktikan bahwa hal serupa berlaku untuk sembarang fungsi bernilai kompleks yang bersifat entire. (Sebagai fungsi bernilai kompleks, sinc z merupakan fungsi entire.) Hasil ini dikenal sebagai Teorema Faktorisasi Weierstrass, yang dapat dianggap sebagai perumuman dari Teorema Dasar Aljabar.

O ya, perhatikan bahwa bila kita pilih x = π/2, maka rumus di atas memberikan

infinite-product-3

yang tak lain merupakan Rumus Wallis untuk bilangan π.

*

Bandung, 14-02-2017

Fungsi Sinc 1/x

Terkait dengan fungsi sinc x, ada fungsi sinc (1/x) = sin (1/x) yang mempunyai perilaku menarik di sekitar x = 0. Untuk membuatnya kontinu di 0, kita definisikan

x-sin-1perx

Nah, di bawah ini adalah grafik fungsinya untuk (a) -2 ≤ x ≤ 2, (b) -0.5 ≤ x ≤ 0.5, dan (c) -0.125 ≤ x ≤ 0.125.

 

x-sin-1-per-x-bx-sin-1-per-x-a

x-sin-1-per-x-o

 

Kekontinuan f di 0 tentu saja dibuktikan dengan Prinsip Apit. Selain itu, catat bahwa f(x) menuju 1 ketika |x| menuju ∞.

Anggapan umum bahwa grafik fungsi f yang kontinu pada [a, b] dapat digambar ‘tanpa mengangkat pena’ dari titik (a, f(a)) ke titik (b, f(b)) tidak berlaku untuk fungsi f di atas. Bahkan bila kita diminta menggambar grafiknya ‘dengan tangan’ pada interval [0, 0.5] mulai dari titik (0, 0), kita tidak tahu apakah pena harus kita gerakkan ke atas, ke bawah, atau mendatar ke kanan, karena f tidak mempunyai turunan di 0.

Selain itu, panjang kurva y = f(x) dari (0, 0) ke (0.5, f(0.5)) juga tak terhingga — jadi kalau kita menggambar grafiknya dari kanan ke kiri, maka tangan kita akan pegal dan tidak akan pernah sampai di (0, 0). Grafik yang diperoleh dengan program komputer seperti di atas hanyalah merupakan hampiran.

*

Bandung, 10-02-2017

Limit Fungsi Sinc x dan Prinsip Apit

Fungsi f(x) = sinc x kontinu di 0 karena ketika x menuju 0, sinc x menuju f(0), yaitu 1. Fakta ini diperoleh dengan bantuan Prinsip Apit, mengingat cos x ≤ sinc x ≤ 1 untuk x di sekitar 0 (lihat gambar), dan cos x menuju 1 bila x menuju 0.

limit-sinc-0

O ya, Prinsip Apit menyatakan jika suatu fungsi diapit oleh dua fungsi lain, dan kedua fungsi pengapitnya memiliki limit yang sama di suatu titik, maka fungsi yang diapit tadi akan memiliki limit yang sama di titik tersebut.

Persisnya, misalkan f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk x di sekitar c. Prinsip Apit berbunyi:

prinsip-apit

Nah, pada kasus di atas, f(x) = cos x, g(x) = sinc x, dan h(x) = 1, dengan c = 0 dan L = 1.

Dengan Prinsip Apit pula, kita dapat membuktikan bahwa sinc x menuju 0 bila x menuju tak terhingga, mengingat untuk setiap x > 0 kita mempunyai

sinc-x-terapit

dan 1/x menuju 0 bila x menuju tak terhingga. (Serupa dengan itu, sinc x menuju 0 bila x menuju minus tak terhingga.)

Jadi, dengan Prinsip Apit, kita telah membuktikan

limit-fungsi-sinc

Pengetahuan tentang limit sinc x di 0 dipakai antara lain untuk membuktikan bahwa turunan dari sin x adalah cos x.

*

Bandung, 07-02-2017

Fungsi Sinc x

Masih ingat problem tentang sin x per x? Fungsi f yang didefinisikan dengan f(0) = 1 dan f(x) = (sin x)/x untuk x ≠ 0 dikenal sebagai fungsi sinc.

Fungsi f(x) = sinc x kontinu di setiap titik dan mempunyai tak terhingga banyak akar, yaitu x = ±nπ dengan n = 1, 2, 3, …, mengingat sin nπ = 0 untuk n = ±1, ±2, ±3, … .

Grafik fungsi y = sinc x berbentuk seperti di bawah ini:

sinc-x

Ada banyak fakta menarik tentang fungsi f(x) = sinc x. Nantikan beberapa artikel (dan problem) berikutnya di blog ini. 😉

*

Bandung, 03-02-2017

Rumus Wallis untuk Bilangan Pi

Perkuliahan Semester II di ITB sudah dimulai sejak pertengahan Januari 2017. Melanjutkan tugas Semester I, saya mengajar Matematika TPB yang isinya sebetulnya ‘hanya’ Kalkulus. Nah, topik pertama yang dibahas pada awal Semester II ini adalah teknik pengintegralan. Dalam pembahasan integral trigonometri, ada rumus rekursif yang dapat diperoleh dengan pengintegralan parsial (sila coba):

wallis_1

Dengan rumus rekursif ini, kita dapat memperoleh Rumus Wallis untuk bilangan π, yaitu

wallis-2

yang ditemukan oleh John Wallis pada tahun 1655 (melalui cara lain). Persisnya, untuk n = 1, 2, 3, … , misalkan

wallis-3

Maka, dengan induksi, kita dapatkan

wallis_4

Sementara itu, untuk x di antara 0 dan π/2, kita mempunyai sin2n+1 x ≤ sin2n x ≤ sin2n–1 x. Bila kita integralkan ketiga ruas pada interval [0, π/2], maka kita peroleh

wallis_5

yang kemudian dapat disederhanakan menjadi f(n) ≤ π/2 ≤ f(n)(2n + 1)/(2n).

Dari sini kita melihat bahwa f(n) → π/2 untuk n → ∞, yang mengukuhkan Rumus Wallis untuk bilangan π.

Pada tahun 2015, fisikawan C.R. Hagen dan T. Friedmann menemukan Rumus Wallis dalam perhitungan mekanika kuantum untuk tingkat energi dari suatu atom hidrogen [T. Friedmann ; C.R. Hagen. “Quantum mechanical derivation of the Wallis formula for pi.” Journal of Mathematical Physics Vol. 56 (2015)].

*

Bandung, 31-01-2017

 

Teorema Titik Tetap Banach

Setelah mengunggah beberapa artikel (dan problem) tentang ruang metrik, ada yang meminta saya menulis tentang Teorema Titik Tetap. Baiklah.. saya pikir teorema ini memang penting untuk dibahas.

Misalkan X suatu himpunan tak kosong, dan f : X –> X suatu fungsi atau pemetaan. Titik c ϵ X disebut titik tetap dari f apabila f(c) = c. Pertanyaannya adalah: kapankah f mempunyai titik tetap? Sebagai contoh, untuk X = R, fungsi f(x) = x + 1 tidak mempunyai titik tetap, sedangkan fungsi f(x) = x2 mempunyai dua titik tetap, yaitu c = 0 dan c = 1. (Bila Anda menggambar grafik fungsi f, titik tetap f merupakan titik potong kurva y = f(x) dan garis y = x.)

Teorema Titik Tetap Banach memberikan suatu syarat cukup untuk eksistensi titik tetap dari suatu pemetaan yang didefinisikan pada ruang metrik. Persisnya, teorema tersebut berbunyi sebagai berikut.

Teorema Titik Tetap Banach. Misalkan (X, d) ruang metrik lengkap dan f : X –> X suatu pemetaan. Jika terdapat bilangan K di antara 0 dan 1 sedemikian sehingga

d(f(x), f(y)) ≤ K d(x, y)

untuk setiap x, y ϵ X, maka f mempunyai tepat satu titik tetap.

Pemetaan f yang memenuhi ketaksamaan di atas disebut pemetaan kontraktif, karena itu teorema ini dikenal pula sebagai Teorema Pemetaan Kontraktif. Buktinya adalah sebagai berikut.

Pertama catat bahwa f mestilah kontinu (secara seragam): untuk setiap ε > 0 terdapat δ = ε/K sedemikian sehingga jika d(x, y) < δ, maka d(f(x), f(y)) < ε. Selanjutnya, ambil titik x0 ϵ X sembarang, lalu definisikan

xn = f(xn–1),    n = 1, 2, 3, … .

fixed_point-iteration

Berdasarkan hipotesis, kita mempunyai d(x2, x1) = d(f(x1), f(x0)) ≤ K d(x1, x0); d(x3, x2) = d(f(x2), f(x1)) ≤ K d(x2, x1) ≤ K2 d(x1, x0), dan secara umum

d(xn+1, xn) ≤ Kn d(x1, x0)

untuk setiap n = 1, 2, 3, … . Nah, sekarang untuk m > n,

d(xm, xn) ≤ d(xm, xm–1) + … + d(xn+1, xn) ≤ [Km–1 + … + Kn] d(x1, x0).

Di sini Km–1 + … + KnKn(1 + K + K2 + K3 + …) = Kn/(1 – K) → 0 bila n → ∞ dan d(x1, x0) merupakan suatu konstanta. Jadi, barisan x0, x1, x2, x3, … merupakan barisan Cauchy di X. Karena (X, d) merupakan ruang metrik lengkap, barisan ini konvergen, katakanlah ke suatu titik c ϵ X. Mengingat f kontinu, kita mempunyai

lim f(xn) = f(c).

Tetapi, pada saat yang sama, kita juga mempunyai lim f(xn) = lim xn+1 = c. Jadi kita peroleh f(c) = c. Dalam perkataan lain, c merupakan titik tetap f.

Selanjutnya jika b juga merupakan titik tetap f, maka d(b, c) = d(f(b), f(c)) ≤ K d(b, c). Karena 0 < K < 1, kita simpulkan bahwa d(b, c) = 0, yang berarti b = c. Jadi titik tetap f mestilah tunggal.

*

Bandung, 27-01-2017