Month: April 2016

Rumus Euler untuk Bilangan Pi

Kita tahu bahwa π/4 = arctan 1. Nah, pada tahun 1738, Leonhard Euler menemukan rumus cantik untuk bilangan π, yang saya tampilkan dalam gambar (tanpa kata-kata) di bawah ini:

rumuseuler_pi

Rumus kedua berguna untuk menaksir nilai π, dengan bantuan deret untuk arctan x (yang pada waktu itu telah diketahui oleh Euler). Deret untuk arctan 1/2 dan arctan 1/3 konvergen lebih cepat dibandingkan dengan deret untuk arctan 1 (yang juga dapat dipakai untuk menaksir nilai π). Beberapa rumus semacam untuk bilangan π ditemukan belakangan dan penaksiran nilai π pun dapat dilakukan dengan semakin teliti.

*

Bandung, 30-04-2016

Barisan Fibonacci dan Rasio Emas – I

Salah satu barisan bilangan yang terkenal adalah Barisan Fibonacci, yaitu barisan bilangan

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

Perhatikan bahwa suku ke-3 merupakan jumlah dari suku ke-1 dan suku ke-2; suku ke-4 merupakan jumlah dari suku ke-2 dan suku ke-3; suku ke-5 merupakan jumlah dari suku ke-3 dan ke-4; dan begitu seterusnya. Barisan Fibonacci sering diilustrasikan dengan banyaknya pasangan kelinci yang beranak-pinak setiap bulan (bila umur kelinci telah mencapai 2 bulan atau lebih).

kelinci fibonacci

[Sumber gambar: www.maths.surrey.ac.uk]

Untuk mempelajari barisan Fibonacci lebih mendalam, misalkan Fn menyatakan suku ke-n pada barisan tersebut. Maka Fn memenuhi rumus rekursif

Fn+2 = Fn+1 + Fn,     n = 1, 2, 3, … ,

yang merupakan suatu persamaan beda linear orde 2. Rumus eksplisit untuk Fn dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan tersebut. Caranya adalah dengan memisalkan Fn = rn, sehingga kita peroleh rn(r2r – 1) = 0. Karena rn ≠ 0, maka mestilah r2r – 1 = 0. Akar persamaan kuadrat ini adalah r = (1 ± √5)/2. Jadi solusi persamaan beda di atas adalah

Persamaan Fibonacci_1

Selanjutnya, kita mengetahui bahwa F1 = 1 dan F2 = 1. Dari kedua informasi ini, kita dapatkan (sila lengkapi detilnya): A = 1/√5 dan B = -1/√5, sehingga

Persamaan Fibonacci_2

Catat bahwa (1 + √5)/2 adalah Rasio Emas. Nah, problem untuk Anda sekarang adalah membuktikan bahwa rasio rn := Fn+1/Fn menuju r = (1 + √5)/2 ketika n menuju tak terhingga. Sila coba!

*

Bandung, 29-04-2016

Panjang Kurva

Misalkan r adalah bilangan real positif dan Lr menyatakan panjang kurva |x|r + |y|r = 1. Buktikan bahwa limit Lr untuk r menuju tak terhingga sama dengan limit Lr untuk r menuju 0.

Catatan. Problem ini muncul dalam Mathematical Analysis & Geometry Day (MaG-D) IX, yang diselenggarakan di ITB pada tanggal 23 April 2016, dan diikuti oleh 164 mahasiswa dari berbagai perguruan tinggi di Indonesia (yang terjauh dari Universitas Sumatera Utara, Medan).

Terkait dengan problem ini, buktikan bahwa:

1. jika r < s, maka (|x|r + |y|r)1/r > (|x|s + |y|s)1/s.

2. jika r menuju tak terhingga, maka (|x|r + |y|r)1/r menuju maks{|x|, |y|}, nilai terbesar di antara |x| dan |y|.

*

Bandung, 27-04-2016

Bukti Geometris bahwa √2 Irasional

Bilangan irasional √2 telah dikenal oleh Pythagoras dan para muridnya, sejak abad ke-5 SM. Bukti klasik yang mengesahkan statusnya sebagai bilangan irasional berbunyi sebagai berikut: Andaikan √2 rasional, yakni terdapat bilangan asli m dan n, dengan FPB(m,n) = 1, sedemikian sehingga m/n = √2. Dalam hal ini, kita mempunyai m2 = 2n2, yang berarti bahwa m2 genap. Akibatnya, m juga genap, yakni m = 2k untuk suatu bilangan asli k, dan n mestilah ganjil — karena FPB(m,n) = 1. Selanjutnya, substitusikan m = 2k ke persamaan m2 = 2n2, kita peroleh 4k2 = 2n2 atau 2k2 = n2. Ini berarti bahwa n2 genap, dan akibatnya n juga genap. Jadi n ganjil dan sekaligus genap, sesuatu yang mustahil! Karena itu kita simpulkan bahwa √2 tidak mungkin rasional. [Bukti seperti ini dikenal sebagai Bukti Tidak Langsung atau Bukti dengan Kontradiksi.]

Dalam matematika, sebuah dalil kadang dapat dibuktikan dengan beberapa cara. Nah, selain bukti di atas, terdapat pula bukti geometris yang mengukuhkan irasionalitas √2, sebagai berikut. Andaikan, seperti tadi, terdapat bilangan asli m dan n, dengan FPB(m,n) = 1, sedemikian sehingga m/n = √2. Secara geometris, ini setara dengan eksistensi sebuah segitiga siku-siku sama kaki, ∆ABC, dengan alas dan tinggi sama dengan n dan sisi miring m. Karena FPB(m,n) = 1, segitiga ini merupakan segitiga siku-siku sama kaki TERKECIL yang ketiga panjang sisinya bilangan asli. Sekarang, tarik busur lingkaran BD dengan titik pusat A, dan tarik garis DE yang menyinggung busur lingkaran di D, seperti pada gambar. Kita peroleh segitiga siku-siku sama kaki ∆CDE, dengan CD = DE = mn, yang merupakan bilangan asli.

akar2 irasional

Selanjutnya, bila kita tarik garis AE (tidak diperlihatkan pada gambar), kita peroleh ∆ABE sama dan sebangun dengan ∆ADE. Akibatnya, BE = DE = mn dan CE = n – (mn) = 2nm, yang juga merupakan bilangan asli. Jadi ∆CDE merupakan segitiga siku-siku sama kaki yang LEBIH KECIL daripada ∆ABC dan juga memiliki panjang alas, tinggi, dan sisi miring bilangan asli. Ini bertentangan dengan fakta bahwa ∆ABC merupakan segitiga terkecil yang bersifat demikian. Jadi, pengandaian bahwa √2 rasional mestilah salah.

Anda juga dapat membuktikan bahwa √5 irasional secara geometris, seperti di atas. Sila coba!

*

Bandung, 23-04-2016

Rasio Emas pada Bintang

Dengan terlebih dahulu menghitung besar sudut-sudut pada bintang reguler (bersirip lima), kita dapat menemukan Golden Ratio atau Rasio Emas sebagai berikut:

 

rasio emas bintang

 

Istilah Rasio Emas pertama kali muncul dalam buku “Die reine Elementar-Mathematik” (Matematika Dasar Murni) karangan Martin Ohm (1792–1872) yang diterbitkan pada tahun 1815. Pada abad ke-16 hingga abad ke-18, rasio ini dikenal sebagai Proporsi Ilahi (Divine Proportion). Namun demikian, rasio ini telah dikenal jauh sebelumnya oleh Plato sebagai Pembagian Emas (Golden Section), dan dipelajari oleh Euclid dalam bukunya yang berjudul Elements (diterbitkan ~300 SM). Euclid menyebutnya sebagai “Extreme and Mean Ratio.”

*

Bandung, 22-04-2016

Problem 4/n*

Masih ingat “Teka-Teki Pembagian Warisan“? Dalam teka-teki tersebut ada penguraian pecahan 17/18 = ½ + 1/3 + 1/9. Pecahan 17/18 merupakan pecahan komposit, sedangkan pecahan-pecahan ½, 1/3, dan 1/9 merupakan pecahan satuan — yakni pecahan yang berbentuk 1/n, dengan n merupakan bilangan asli (termasuk 1 = 1/1). Orang Mesir Kuno sudah akrab dengan pecahan satuan, dan cenderung menyatakan pecahan komposit sebagai jumlah dari beberapa pecahan satuan.

Pada tahun 1948, Paul Erdos dan Ernst G. Straus mengemukakan sebuah konjektur (dugaan) bahwa untuk setiap n ≥ 3, bentuk 4/n dapat dinyatakan sebagai jumlah dari tiga pecahan satuan berbeda. Sebagai contoh, untuk n = 3 dan 4, kita mempunyai 4/3 = 1 + ¼ + 1/12 dan 4/4 = 1/2 + 1/3 + 1/6.

Kadang terdapat lebih daripada satu cara untuk menguraikan bentuk 4/n, seperti misalnya untuk n = 5, kita mempunyai 4/5 = ½ + ¼ + 1/20 = ½ + 1/5 + 1/10. Anda dapat mencoba menguraikan 4/6 sebagai jumlah dari tiga pecahan satuan berbeda, dengan dua cara berbeda!

Hingga saat ini, konjektur ini masih merupakan open problem (belum terbukti, apakah benar atau salah). Hasil parsial telah diperoleh, misalnya untuk n = 4k (kelipatan 4), n = 4k + 2, dan n = 4k + 3. Sebagai contoh, untuk n = 4k + 2 (dengan k > 1), kita mempunyai

Problem 4 per n

Nah, yang belum berhasil dibuktikan adalah kasus n = 4k + 1. Untuk k ganjil, tulis k = 2m + 1, bentuk 4/(8m + 5) dapat diuraikan sebagai jumlah dari tiga pecahan satuan berbeda (sila coba!). Jadi, yang tersisa adalah kasus n = 4k + 1 dengan k genap, yang setara dengan kasus n = 8m + 1. Bila Anda dapat membuktikannya, Anda akan terkenal di dunia!

Tentu saja Anda dapat juga berusaha menyangkal konjektur ini. Walau demikian, dengan bantuan komputer, konjektur ini telah diperiksa kebenarannya hingga n = 1014. Jadi, bila Anda hendak mencari contoh penyangkal, Anda harus menjajaki nilai n > 1014.

Sila tengok Erdos-Straus Conjecture bila Anda tertarik untuk menjajal problem 4/n ini. Kabar-kabari saya bila Anda berhasil membuktikan konjektur ini.

*

Bandung, 21-04-2016

Lingkaran-Lingkaran Kecil

Sebagai kelanjutan dari “Lingkaran Besar Lingkaran Kecil“, saya menggambar lingkaran-lingkaran kecil dari pojok kiri atas ke kanan, ad infinitum, seperti diperlihatkan pada gambar di bawah ini:

lingkaran2kecil

Bila jari-jari lingkaran besar sama dengan 1, maka jari-jari lingkaran kecil pertama (yang terletak di pojok kiri atas) sama dengan 3 – 2√2. Selanjutnya, ketika saya dan anak saya yang masih duduk di kelas XI (oh ya, anak saya menyukai matematika seperti ayahnya) berusaha menghitung jari-jari lingkaran-lingkaran kecil di sebelah kanannya, kami menemukan suatu rumus rekursif yang mengaitkan jari-jari lingkaran ke-(n+1) dengan jari-jari lingkaran ke-n. Dengan rumus rekursif tersebut, jari-jari setiap lingkaran kecil itu dapat diperoleh.

Nah, dapatkah Anda juga menemukan rumus rekursif tersebut?

*

Bandung, 20-04-2016

Deret Tak Terhingga – II

Pada artikel sebelumnya (tentang “Deret Tak Terhingga“) telah dibahas bagaimana kita dapat memeriksa kekonvergenan suatu deret yang suku-sukunya bernilai positif dengan menggunakan Uji Banding. Secara umum, Uji Banding berbunyi sebagai berikut: Jika terdapat n0 sedemikian sehingga 0 ≤ anbn untuk setiap nn0 dan deret b1 + b2 + b3 + … konvergen, maka deret a1 + a2 + a3 + … juga konvergen.

Berikut ini diberikan satu lagi contoh penggunaan Uji Banding. Perhatikan deret

deret2-1

Untuk memeriksa kekonvergenannya, kita amati bahwa

deret2-2

untuk setiap n ≥ 1. Karena itu, kita peroleh

deret2-3

Deret di ruas kanan merupakan deret geometri dengan rasio ½, yang konvergen ke 2. Jadi, berdasarkan Uji Banding, kita simpulkan bahwa deret di ruas kiri konvergen.

Untuk mengetahui deret tersebut konvergen ke bilangan apa, kita memerlukan bantuan deret Taylor — yang akan kita bahas kelak. Sebagai bocoran, deret tersebut konvergen ke e – 1, dengan e = 2,718281828459045… menyatakan bilangan Euler.

*

Bandung, 19-04-2016

Teka-Teki Pembagian Warisan

Anda mungkin pernah mendengar cerita atau teka-teki pembagian warisan berikut. Seorang peternak yang baru saja wafat mewariskan 17 ekor kambing kepada 3 anaknya. Dalam surat wasiatnya tertulis bahwa anak pertama mendapat 1/2 bagian, anak kedua mendapat 1/3 bagian, dan anak ketiga mendapat 1/9 bagian. Ketiga anak bingung bagaimana mereka harus membagi 17 ekor kambing tersebut. Akhirnya mereka bertanya kepada pamannya.

kambingwarisan

[Sumber gambar: hanaranch.com]

Sang paman mempunyai solusi cemerlang. Ia meminjamkan seekor kambingnya, sehingga jumlah kambing menjadi 18 ekor. Setelah itu pembagian pun dilakukan: anak pertama mendapat 1/2 bagian atau 9 ekor kambing, anak kedua mendapat 1/3 bagian atau 6 ekor kambing, dan anak ketiga mendapat 1/9 bagian atau 2 ekor kambing. Jumlah kambing yang dibagikan sama dengan 17 ekor kambing, sisanya 1 ekor kambing dikembalikan kepada pamannya. Kok bisa ya?

Bila kita hitung: 1/2 + 1/3 + 1/9 = (9 + 6 + 2)/18 = 17/18, ternyata lebih kecil daripada 1. Ada dua hal penting yang perlu diperhatikan dalam hitung-hitungan ini. Pertama, pemilihan bilangan 18 sebagai jumlah kambing yang mudah dibagi (karena mempunyai banyak faktor). Kedua, menguraikan 18 sebagai jumlah dari beberapa faktornya, termasuk 1, yaitu 18 = 9 + 6 + 2 + 1, yang setara dengan 1 = 1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/18. Selanjutnya, kita dapat menyusun teka-tekinya dengan ‘menyembunyikan’ suku terakhir yang sama dengan 1/18 itu.

Nah, dengan memperhatikan dua hal tersebut, kita dapat membuat cerita serupa dengan bilangan berbeda. Misal kita pilih bilangan 20, lalu kita menguraikannya sebagai 20 = 10 + 5 + 4 + 1, yang setara dengan 1 = 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/20. Selanjutnya kita bisa membuat teka-teki berikut: Seorang peternak yang baru saja wafat mewariskan 19 ekor kambing kepada 3 anaknya. Anak pertama mendapat 1/2 bagian, anak kedua mendapat 1/4 bagian, dan anak ketiga mendapat 1/5 bagian. Bagaimanakah mereka harus membagi habis 19 ekor kambing tersebut, tanpa harus memotong kambingnya?

Bahkan, jumlah anak yang mendapat warisan bisa lebih banyak. Misal kita pilih bilangan 24 = 12 + 6 + 3 + 2 + 1, yang setara dengan 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/12 + 1/24. Selanjutnya kita buat teka-teki berikut: Seorang peternak yang baru saja wafat mewariskan 23 ekor kambing kepada 4 anaknya. Anak pertama mendapat 1/2 bagian, anak kedua mendapat 1/4 bagian, anak ketiga mendapat 1/8 bagian, dan anak keempat mendapat 1/12 bagian. Bagaimanakah mereka harus membagi habis 23 ekor kambing tersebut, tanpa harus memotong kambingnya?

Nah, sekarang Anda dapat menggunakan bilangan lain dan membuat teka-teki pembagian warisan yang berbeda. 🙂

*

Bandung, 18-04-2016