bilangan irasional

Fungsi Monoton yang Tak Kontinu di Setiap Bilangan Rasional

Misalkan Q = {rk : k ∈ N} menyatakan himpunan semua bilangan rasional. Definisikan fungsi f : R → R dengan rumus

Buktikan bahwa:

(a) f monoton naik.

(b) f tak kontinu di setiap bilangan rasional.

(c) f kontinu di setiap bilangan irasional.

Catatan: Walau f mempunyai rumus yang cukup gamblang, kita tidak dapat menggambar grafik fungsinya.

*

Bandung, 02-06-2017

Advertisements

Menghampiri Bilangan e

Bilangan e, yang dikenal sebagai bilangan Euler, merupakan salah satu bilangan yang menarik dan juga penting dalam matematika. Bilangan e didefinisikan sebagai bilangan real yang memberikan luas daerah di bawah kurva y = 1/x untuk 1 ≤ xe tepat sama dengan 1. Dalam notasi integral,

menghampiri e-1

Sebagai bilangan desimal, kita mempunyai e = 2,718281828459045… . Dalam hal ini, bilangan e termasuk bilangan irasional (sila tengok artikel berjudul “Bukti bahwa e Irasional”). Yang ingin dibahas sekarang adalah bagaimana kita dapat menghampiri bilangan e dengan suatu bilangan rasional atau bilangan pecahan.

Ada beberapa cara untuk menghampirinya. Yang pertama adalah dengan menggunakan fakta bahwa

menghampiri e-2

(Bentuk limit ini muncul dalam perhitungan bunga majemuk dengan bunga ‘kontinu’.) Di sini, kita tinggal memilih bilangan asli n yang cukup besar dan menghitung (1 + n-1)n sebagai hampirannya. Namun, bila kita tidak puas dengan ketelitiannya, kita harus mengambil n yang lebih besar dan menghitung lagi bentuk tersebut.

Cara kedua adalah dengan menggunakan fakta bahwa

menghampiri e-3

Dengan memilih suatu bilangan asli n yang cukup besar, kita peroleh hampiran e ≈ 1 + 1/1! + 1/2! + … + 1/n!. Jika kita belum puas dengan ketelitiannya, tinggal kita tambahkan 1/(n+1)! dan seterusnya, sampai ketelitian yang diinginkan.

Lalu ada cara ketiga, yaitu dengan menggunakan bentuk pecahan berlanjut untuk e. Ada beberapa bentuk pecahan berlanjut yang dapat dipakai, tetapi yang paling mudah diingat adalah bentuk pecahan berlanjut di bawah ini:

menghampiri e-4

Sebagai contoh, jika kita menggunakan bentuk pecahan berlanjut ini hingga suku ke-5, maka kita peroleh hampiran e ≈ 144/53. Sayangnya, seperti cara pertama, bila kita belum puas dengan ketelitiannya, kita harus mengulang perhitungan hingga suku ke-n dengan n yang lebih besar.

*

Bandung, 14-04-2017

Bukti bahwa e Irasional

Bilangan Euler e yang didefinisikan sebagai jumlah deret

Bukti bahwa e Irasional - 1

merupakan bilangan irasional. Buktinya dapat ditemukan di banyak sumber, termasuk di dunia maya. Bila Anda pernah berkunjung ke blog ariaturns.com yang dikelola oleh Nursatria Vidya Adikrisna, Anda dapat menemukan buktinya di sana.

Sebagai blog matematika, rasanya tak lengkap bila Bermatematika.net tidak membahas irasionalitas bilangan e. So, baiklah, kita akan membahas buktinya di sini. Siapa tahu banyak yang belum pernah mengetahuinya.

Untuk membuktikan bahwa bilangan e irasional, kita gunakan metode reductio ad absurdum, yaitu dengan mengandaikan bahwa e rasional. Dengan pengandaian ini, dan mengingat bahwa e adalah suatu bilangan positif di antara 2 dan 3, bilangan e dapat dituliskan sebagai p/q dengan p dan q bilangan bulat positif, dan q > 1. Jadi, kita mempunyai

Bukti bahwa e Irasional - 2

Nah, sekarang kalikan masing-masing ruas dengan q!, sehingga kita peroleh

Bukti bahwa e Irasional - 3

Perhatikan bahwa q!e = p(q – 1)! dan q!(1 + 1/1! + 1/2! + … + 1/q!) merupakan bilangan bulat positif, sehingga selisihnya seharusnya merupakan suatu bilangan bulat. Namun, kita amati bahwa

Bukti bahwa e Irasional - 4

yang ternyata merupakan bilangan di antara 0 dan 1, bukan suatu bilangan bulat. Jadi kita peroleh suatu kontradiksi, yang bersumber dari pengandaian bahwa e rasional. Karena itu, e mestilah irasional.

*

Bandung, 18-07-2016

Bilangan √2 dalam Bentuk Pecahan Berlanjut

Dalam artikel tentang Barisan Fibonacci dan Rasio Emas – II, Anda sudah diperkenalkan dengan bentuk pecahan berlanjut:

pecahan berlanjut-1

Orang Yunani Kuno menggunakan pecahan berlanjut untuk menghampiri bilangan irasional seperti √2:

pecahan berlanjut-2

Untuk meyakinkan diri kita bahwa bentuk pecahan berlanjut di atas memang menyatakan bilangan √2, misalkan ia sama dengan x. Maka, x memenuhi persamaan

pecahan berlanjut-3

yang setara dengan x – 1 = 1/(1 + x), dan kemudian dapat disederhanakan menjadi x2 = 2. Jadi x mestilah sama dengan √2 (karena x tidak mungkin negatif).

Bentuk pecahan berlanjut untuk bilangan seperti √2 dapat diperoleh via Algoritma Euclid. Bila Anda ingin mengetahui bagaimana caranya, baca “Gara-Gara Hantu Lingkaran, Bab 2”.

*

Bandung, 07-05-2016

Bukti Geometris bahwa √2 Irasional

Bilangan irasional √2 telah dikenal oleh Pythagoras dan para muridnya, sejak abad ke-5 SM. Bukti klasik yang mengesahkan statusnya sebagai bilangan irasional berbunyi sebagai berikut: Andaikan √2 rasional, yakni terdapat bilangan asli m dan n, dengan FPB(m,n) = 1, sedemikian sehingga m/n = √2. Dalam hal ini, kita mempunyai m2 = 2n2, yang berarti bahwa m2 genap. Akibatnya, m juga genap, yakni m = 2k untuk suatu bilangan asli k, dan n mestilah ganjil — karena FPB(m,n) = 1. Selanjutnya, substitusikan m = 2k ke persamaan m2 = 2n2, kita peroleh 4k2 = 2n2 atau 2k2 = n2. Ini berarti bahwa n2 genap, dan akibatnya n juga genap. Jadi n ganjil dan sekaligus genap, sesuatu yang mustahil! Karena itu kita simpulkan bahwa √2 tidak mungkin rasional. [Bukti seperti ini dikenal sebagai Bukti Tidak Langsung atau Bukti dengan Kontradiksi.]

Dalam matematika, sebuah dalil kadang dapat dibuktikan dengan beberapa cara. Nah, selain bukti di atas, terdapat pula bukti geometris yang mengukuhkan irasionalitas √2, sebagai berikut. Andaikan, seperti tadi, terdapat bilangan asli m dan n, dengan FPB(m,n) = 1, sedemikian sehingga m/n = √2. Secara geometris, ini setara dengan eksistensi sebuah segitiga siku-siku sama kaki, ∆ABC, dengan alas dan tinggi sama dengan n dan sisi miring m. Karena FPB(m,n) = 1, segitiga ini merupakan segitiga siku-siku sama kaki TERKECIL yang ketiga panjang sisinya bilangan asli. Sekarang, tarik busur lingkaran BD dengan titik pusat A, dan tarik garis DE yang menyinggung busur lingkaran di D, seperti pada gambar. Kita peroleh segitiga siku-siku sama kaki ∆CDE, dengan CD = DE = mn, yang merupakan bilangan asli.

akar2 irasional

Selanjutnya, bila kita tarik garis AE (tidak diperlihatkan pada gambar), kita peroleh ∆ABE sama dan sebangun dengan ∆ADE. Akibatnya, BE = DE = mn dan CE = n – (mn) = 2nm, yang juga merupakan bilangan asli. Jadi ∆CDE merupakan segitiga siku-siku sama kaki yang LEBIH KECIL daripada ∆ABC dan juga memiliki panjang alas, tinggi, dan sisi miring bilangan asli. Ini bertentangan dengan fakta bahwa ∆ABC merupakan segitiga terkecil yang bersifat demikian. Jadi, pengandaian bahwa √2 rasional mestilah salah.

Anda juga dapat membuktikan bahwa √5 irasional secara geometris, seperti di atas. Sila coba!

*

Bandung, 23-04-2016