Month: December 2016

Ruang Metrik Diskrit

Misalkan X ≠ Ø dan d : X × X → R adalah fungsi yang didefinisikan dengan rumus

metrik-diskrit

1. Buktikan bahwa d merupakan metrik pada X, yakni d memenuhi keempat sifat berikut:

  • d(x, y) ≥ 0 untuk setiap x dan y (di X);
  • d(x, y) = 0 jika dan hanya jika x = y;
  • d(x, y) = d(y, x) untuk setiap x dan y;
  • d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) untuk setiap x, y, dan z.

Catatan. Pasangan (X, d) dikenal sebagai ruang metrik diskrit.

2. Bila X = R2 dilengkapi dengan metrik diskrit, bagaimanakah bentuk lingkaran satuannya?

*

Bandung, 27-12-2016

Lingkaran Satuan di Ruang Metrik

Di Rn, rumus jarak antara dua titik x = (x1, …, xn) dan y = (y1, …, yn) adalah

ruang-metrik-1

Sifat-sifat dasar fungsi jarak ini adalah:

  • ||x – y|| ≥ 0 untuk setiap x dan y (di Rn);
  • ||x – y|| = 0 jika dan hanya x = y;
  • ||x – y|| = ||y – x|| untuk setiap x dan y;
  • ||x – z|| ≤ ||x – y|| + ||y – z|| untuk setiap x, y, dan z.

Secara umum, jika X ≠ Ø, maka fungsi d : X × X → R yang memiliki sifat:

  • d(x, y) ≥ 0 untuk setiap x dan y (di X);
  • d(x, y) = 0 jika dan hanya jika x = y;
  • d(x, y) = d(y, x) untuk setiap x dan y;
  • d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) untuk setiap x, y, dan z,

disebut metrik pada X, dan pasangan (X, d) disebut ruang metrik. Ketaksamaan pada butir keempat di atas dikenal sebagai ketaksamaan segitiga.

Nah, pada Rn, dapat diperiksa bahwa fungsi

ruang-metrik-2

merupakan metrik. Tetapi kita juga dapat mendefinisikan metrik lain pada Rn. Sebagai contoh, dapat diperiksa bahwa kedua fungsi berikut

ruang-metrik-3

dan

ruang-metrik-4

merupakan metrik pada Rn.

Di ruang metrik (Rn, d), himpunan S(O, 1) := {x ϵ Rn : d(x, O) = 1} dikenal sebagai permukaan bola satuan (yang berpusat di O(0, …, 0)). Di (R2, d2), permukaan bola satuan tak lain adalah lingkaran satuan yang berpusat di O(0,0), yang bentuknya bundar.

lingkaran-satuan

Tetapi, lingkaran satuan di (R2, d1), yaitu S(O, 1) = {(x1, x2) ϵ R2 : |x1| + |x2| = 1}, berbentuk persegi:

ruang-metrik-5

Jadi, di ruang metrik, lingkaran tidak selalu bundar ya! 🙂

Problem: Gambarlah lingkaran satuan di (R2, d∞).

*

Bandung, 23-12-2016

Hukum Jajaran Genjang di Ruang Euclid

Hukum Jajaran Genjang di Rn menyatakan bahwa jumlah kuadrat panjang diagonal suatu jajaran genjang sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi-sisinya.

hukum-jajaran-genjang-1

Hukum Jajaran Genjang

Jika jajaran genjang tersebut direntang oleh vektor u dan v, maka menurut Hukum Jajaran Genjang kita mempunyai kesamaan:

hukum-jajaran-genjang-2

Buktinya mudah. Perhatikan bahwa

hukum-jajaran-genjang-3

sehingga, bila kita jumlahkan, kita peroleh kesamaan yang diinginkan.

*

Bandung, 12-12-2016

Dalil Pythagoras di Ruang Euclid

Dalil Pythagoras di Rn berbunyi jika u ∙ v = 0, maka ||u||2 + ||v||2 = ||u + v||2.

Problem:

  1. Buktikan bahwa kebalikan Dalil Pythagoras berlaku, yaitu jika ||u||2 + ||v||2 = ||u + v||2, maka u ∙ v = 0.
  2. Diketahui k vektor di Rn, u1, … , uk, dengan 1 ≤ k ≤ n. Buktikan jika ui ∙ uj = 0 untuk i ≠ j, maka ||u1||2 + … + ||uk||2 = ||u1 + … + uk||2. Apakah kebalikannya juga berlaku?

*

Bandung, 12-12-2016

Ketaksamaan Segitiga di Ruang Euclid

Dengan menggunakan Ketaksamaan Cauchy-Schwarz dan sifat-sifat hasil kali skalar, kita dapat memperoleh ketaksamaan segitiga:

ketaksamaan-segitiga-1

Ketiga vektor u, v, dan u + v dalam hal ini membentuk suatu segitiga. Ketaksamaan segitiga menyatakan bahwa panjang vektor u + v senantiasa lebih kecil daripada atau sama dengan jumlah panjang vektor u dan panjang vektor v.

ketaksamaan-segitiga

Buktinya relatif mudah. Perhatikan bahwa

ketaksamaan-segitiga-2

sehingga kita peroleh ketaksamaan yang diinginkan.

*

Bandung, 10-12-2016

Ketaksamaan Cauchy-Schwarz di Ruang Euclid

Ketaksamaan Cauchy-Schwarz di Rn berbunyi |u ∙ v| ≤ ||u||.||v||. Ketaksamaan ini dapat dinyatakan dalam bentuk ketaksamaan determinan

ketaksamaan-cs-2

Secara geometris, determinan tersebut menyatakan kuadrat luas jajaran genjang yang direntang oleh u dan v. Jadi tidak heran bila nilainya tak negatif.

Ketaksamaan determinan di atas dapat diperumum menjadi ketaksamaan

ketaksamaan-cs-3

yang melibatkan k vektor di Rn. Determinan ini dikenal sebagai determinan Gram, yang menyatakan kuadrat volume paralelpipedium berdimensi k, yang direntang oleh u1, u2, …, uk.

Problem: Buktikan ketaksamaan di atas. Kapankah diperoleh kesamaan?

*

Bandung, 05-12-2016

Luas Jajaran Genjang di Ruang Euclid

Kita tahu bahwa luas jajaran genjang sama dengan panjang alas kali tingginya. Nah, di Rn, luas jajaran genjang yang direntang oleh vektor u = (u1, …, un) dan v = (v1, …, vn) adalah

L = ||u||.||v|| sin θ,

dengan θ menyatakan sudut antara u dan v. Di sini ||u|| menyatakan panjang alas dan ||v|| sin θ menyatakan tingginya.

luas-jajaran-genjang-0

Tetapi cos2 θ + sin2 θ = 1 dan u ∙ v = ||u||.||v|| cos θ, sehingga kita peroleh

luas-jajaran-genjang-1

Di R2, dapat diperiksa bahwa

luas jajaran genjang - 2.png

sehingga kita dapatkan

luas-jajaran-genjang-3

Di R3, luas jajaran genjang yang direntang oleh vektor u dan v adalah L = ||u × v||.

*

Bandung, 03-12-2016