dalil Pythagoras

Dalil Pythagoras di Ruang Euclid

Dalil Pythagoras di Rn berbunyi jika u v = 0, maka ||u||2 + ||v||2 = ||u + v||2.

Problem:

  1. Buktikan bahwa kebalikan Dalil Pythagoras berlaku, yaitu jika ||u||2 + ||v||2 = ||u + v||2, maka u v = 0.
  2. Diketahui k vektor di Rn, u1, … , uk, dengan 1 ≤ kn. Buktikan jika ui uj = 0 untuk ij, maka ||u1||2 + … + ||uk||2 = ||u1 + … + uk||2. Apakah kebalikannya juga berlaku?

*

Bandung, 12-12-2016

Advertisements

Hasil Kali Skalar

Dalam buku-buku yang membahas ruang vektor, biasanya ada definisi hasil kali titik (dot product) atau hasil kali skalar (scalar product). Di Rn, hasil kali skalar antara dua vektor x = (x1, …, xn) dan y = (y1, … , yn) didefinisikan dengan rumus

xy = x1y1 + … + xnyn,

namun sering kali si pengarang tidak memberi penjelasan dari mana rumus tersebut diperoleh atau mengapa rumusnya harus seperti itu. Nah, artikel singkat ini akan menjelaskan mengapa hasil kali titik di Rn mempunyai rumus seperti itu.

Misalkan kita mempunyai sebuah garis l di Rn, yang katakanlah (untuk mempermudah pembahasan) melalui titik asal O(0, …, 0) dan A(a1, …, an). Jadi koordinat sebarang titik di l adalah k(a1, …, an) untuk suatu bilangan real k. Misalkan kita juga mempunyai sebuah titik Q(q1, …, qn) di luar garis l, dan kita ingin mencari titik P(p1, …, pn) pada garis l yang paling dekat ke Q.

Jarak antara titik P(p1, …, pn) dan Q(q1, …, qn) di Rn dalam hal ini diberikan oleh rumus

hasil-kali-skalar_1

Rumus jarak ini merupakan perumuman dari Dalil Pythagoras (terkait segitiga siku-siku).

Nah, mengingat P = kA untuk suatu bilangan real k, persoalan di atas sama saja dengan mencari k sedemikian sehingga |kAQ|2 minimum. Tetapi

hasil-kali-skalar_2

yang merupakan fungsi kuadrat dalam k, dan grafiknya berupa suatu parabola yang terbuka ke atas. Dari pengetahuan tentang fungsi kuadrat, kita tahu bahwa |kAQ|2 akan mencapai minimum apabila

hasil-kali-skalar_3

Perhatikan juga bahwa dengan nilai k di atas, kita mempunyai

|kA – O|2 + |kAQ|2 = |Q – O|2.

Dalam hal ini, vektor OB = OQk.OA tegak lurus terhadap vektor k.OA (dan akibatnya OB juga tegak lurus terhadap OA, termasuk ketika k = 0), dan vektor k.OA dikenal sebagai vektor proyeksi dari vektor OQ terhadap vektor OA.

vektor-proyeksi-ortogonal

 

Nah, karena bentuk penjumlahan hasil kali a1q1 + … anqn muncul dalam solusi persoalan yang kita anggap penting, maka kita definisikan hasil kali skalar a1q1 + … anqn = aq. Jadi rumus ini bukan turun dari langit, tetapi diperoleh dari persoalan mencari titik terdekat.

Dengan rumus hasil kali skalar ini, dua vektor OA dan OB saling tegak lurus jika dan hanya jika ab = a1b1 + … + anbn = 0.

Selanjutnya anda dapat mempelajari dari buku sifat-sifat apa saja yang dimiliki oleh hasil kali skalar di Rn.

*

Bandung, 25-11-2016

Dalil Pythagoras dan Buktinya – II

Dalil Pythagoras dapat dibuktikan dengan banyak cara, selain dengan cara Euclid. Bukti versi Bhaskara, matematikawan India abad ke-12, yang disajikan tanpa kata-kata di bawah ini tergolong bukti yang cantik:

pythagoras thm-2a

Selain itu, terdapat pula bukti yang menggunakan konsep kesebangunan, seperti di bawah ini:

pythagoras thm-2b

Sila cari bukti versi lainnya; barangkali Anda menemukan bukti yang tak kalah cantiknya untuk dalil klasik yang menyandang nama Pythagoras itu.

*

Bandung, 16-05-2016

 

Dalil Pythagoras dan Buktinya – I

Berbicara tentang segitiga siku-siku, kita pasti ingat Dalil Pythagoras yang menyatakan bahwa pada segitiga siku-siku ABC dengan alas a, tinggi b, dan sisi miring c berlaku a2 + b2 = c2.

Ada banyak cara membuktikan Dalil Pythagoras. Berikut ini adalah bukti versi Euclid yang tertulis dalam bukunya yang berjudul Elements. Pada ketiga sisi segitiga ABC, kita konstruksi persegi ACGF, BCHK, dan ABDE seperti pada gambar di bawah ini.

pythagoras thm-1

[Sumber: http://www.quora.com]

Nah, kita akan membuktikan bahwa AC2 + BC2 = AB2, yang setara dengan membuktikan bahwa luas □ ACGF + luas □ BCHK = luas □ ABDE. Untuk itu, perhatikan bahwa:

luas □ ACGF

= 2 x luas ∆ ACF

= 2 x luas ∆ ABF (alas dan tinggi ∆ ABF sama dengan alas dan tinggi ∆ ACF)

= 2 x luas ∆ ACE (∆ ACE sama dan sebangun dengan ∆ ABF)

= 2 x luas ∆ AEM (alas dan tinggi ∆ AEM sama dengan alas dan tinggi ∆ ACE)

= luas p.p. AELM.

(Catatan: p.p. = persegi panjang.) Dengan cara yang serupa, kita mempunyai

luas □ BCHK = luas p.p. BDLM.

Jadi, luas □ ACGF + luas □ BCHK = luas p.p. AELM + luas p.p. BDLM = luas □ ABDE.

*

Bandung, 14-05-2016

Persegi Terkecil

Persegi terkecil yang memuat lingkaran berjari-jari R adalah persegi dengan panjang sisi 2R. Nah, berapakah panjang sisi terkecil yang memuat segitiga sama sisi dengan panjang sisi 1? Alas persegi tersebut akan membentuk sudut 15° dengan alas segitiga (lihat gambar). Jadi, panjang sisi persegi ini adalah s = cos 15°. Panjang sisi persegi tersebut dapat pula dihitung dengan cara menyelesaikan dua persamaan yang diperoleh dari Dalil Pythagoras: 2(sa)² = 1 dan s² + a² = 1 (dengan a menyatakan tinggi segitiga siku-siku di bawah segitiga sama sisi).

persegiterkecil

Dari kedua persamaan tersebut, kita peroleh s = ¼(√2 + √6).

Selanjutnya, ini yang lebih seru, hitunglah panjang sisi persegi terkecil yang memuat:

(1) segi lima beraturan dengan panjang sisi 1.

(2) persegi panjang dengan panjang p dan lebar l, dengan p > l. (Ada dua kasus!)

(3) elips dengan panjang sumbu mayor a dan sumbu minor b, dengan a > b.

Michael Gilbert bisa menjawab ketiga soal di atas. Bagaimana dengan Anda?

*

Bandung, 12-04-2016

 

Tripel Pythagoras

Tripel Pythagoras adalah tripel bilangan bulat positif a, b, dan c yang memenuhi persamaan a² + b² = c². Contoh tripel Pythagoras yang paling sederhana adalah 3, 4, dan 5, atau 5, 12, dan 13, sebagaimana sering dibahas di SD dan SLTP. Pythagoras, seorang filsuf dan matematikawan Yunani kuno yang lahir sekitar tahun 580 SM, mempelajari tripel bilangan tersebut bersama para muridnya. Ada berapa banyak sih tripel Pythagoras itu? Baca selengkapnya di sini.
*
Bandung, 11-04-2016