Month: October 2016

Rumus Volume Limas

Dengan mengetahui rumus volume balok, kita kemudian dapat menemukan rumus volume prisma jajar genjang, prisma segitiga, dan prisma segi n sembarang, yang sama dengan luas alas kali tinggi. Dengan metode penghampiran ala Eudoxus (seperti penghampiran luas lingkaran dengan luas segi-n beraturan yang dilakukan oleh Archimedes), kita juga dapat menyimpulkan bahwa volume silinder sama dengan luas alas kali tinggi.

Lalu bagaimana dengan polihedron sembarang? Untuk menghitung volumenya, kita hanya perlu mengetahui volume tetrahedron sembarang, karena setiap polihedron pada dasarnya merupakan gabungan dari sejumlah tetrahedron. Tetapi bagaimana kita menghitung volume sebuah tetrahedron?

tetrahedron

Dengan Kalkulus, atau persisnya konsep integral, kita dapat membuktikan bahwa volume tetrahedron ini sama dengan ⅓ × luas alas × tinggi. Tetapi rumus ini sebetulnya dapat diperoleh melalui pengamatan geometri. Kita sudah mengetahui bahwa volume prisma segitiga sama dengan luas alas kali tingginya. Nah, prisma segitiga ini dapat kita bagi menjadi tiga tetrahedron yang sama volumenya (lihat gambar).

tetrahedron-dlm-prisma

Perhatikan bahwa volume tetrahedron A.DEF sama dengan volume tetrahedron B.DEF. Alasannya: kedua tetrahedron tersebut mempunyai tinggi yang sama, dan penampang pada ketinggian yang sama mempunyai luas yang sama. Menurut Prinsip Cavalieri, dua benda demikian akan mempunyai volume yang sama. Karena alasan itu pula volume tetrahedron F.ABC sama dengan volume tetrahedron A.DEF. Jadi, volume tiap tetrahedron sama dengan ⅓ × volume prisma, yaitu ⅓ × luas alas × tinggi.

Sebagai akibatnya, volume piramida sama dengan ⅓ × luas alas × tinggi. Dengan penghampiran ala Eudoxus dan penggunaan Prinsip Cavalieri, kita peroleh pula rumus yang sama untuk kerucut dan berbagai bentuk limas, yaitu bangun ruang yang mempunyai alas sembarang dan puncak berupa titik, serta penampang mendatar (pada ketinggian berbeda) yang sebangun dan proporsional dengan alasnya.

[Artikel ini disadur dari buku H. Gunawan, Lingkaran, Graha Ilmu, 2005.]

*

Bandung, 31-10-2016

Perkalian Pecahan yang Menarik

Dalam buku “Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities” karangan Ian Stewart, ada perkalian pecahan yang menarik:

perkalian-menarik-1

Eit, jangan terlalu cepat menyimpulkan bahwa hasil perkalian di atas salah! Coba periksa lagi, hasilnya betul kan?

Nah, sekarang tentukan semua bentuk perkalian pecahan

perkalian-menarik-2

yang benar, dengan a, b, c, d ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

*

Bandung, 29-10-2016

Pengubinan Kuadran dengan Persegi

Pengubinan kuadran bidang dengan semua persegi bersisi bilangan asli (tanpa pengulangan) masih merupakan tanda tanya, apakah dapat dilakukan atau tidak.

pengubinan-kuadran

Pengubinan Kuadran dengan Persegi

Namun, pengubinan kuadran bidang dengan persegi bersisi bilangan asli yang berbeda ukuran dapat dilakukan. Dapatkah Anda menemukan salah satu caranya?

Untuk mendapatkan ide, sila baca dua artikel sebelumnya tentang pengubinan persegi dengan persegi dan pengubinan bidang dengan persegi.

*

Bandung, 24-10-2016

Pengubinan Bidang dengan Persegi*

Melanjutkan artikel sebelumnya tentang pengubinan dengan persegi, ada paper menarik karangan Frederick V. Henle dan James M. Henle tentang pengubinan bidang dengan persegi berbeda ukuran, yang dipublikasikan di American Mathematical Monthly edisi Januari 2008. Yang dimaksud dengan bidang di sini adalah bidang R2 yang tak terbatas. Seperti pada pengubinan persegi dengan persegi, di sini kita juga berbicara tentang persegi-persegi yang memiliki panjang sisi bilangan asli.

Andaikan kita boleh menawar sedikit persyaratan ‘berbeda ukuran’, maka kita dapat melakukan pengubinan bidang dengan menggunakan persegi-persegi bersisi bilangan Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …, sebagai berikut:

pengubinan-fibonacci

Pengubinan dengan Persegi Bersisi Bilangan Fibonacci [Sumber gambar: AMM, Jan 2008]

Nah, selanjutnya, bila sisi setiap persegi pada pengubinan di atas kita perbesar 120 kali, lalu kita lakukan pengubinan dengan menggunakan 24 persegi berbeda ukuran pada salah satu persegi bersisi 120 (seperti yang telah dibahas dalam artikel sebelumnya), maka kita telah melakukan pengubinan bidang dengan persegi berbeda ukuran.

Namun, Frederick dan James Henle tidak berhenti di situ. Mereka beranjak lebih jauh, dengan membahas pengubinan bidang dengan menggunakan semua persegi bersisi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, tanpa ada yang terlewat. Bila Anda penasaran, sila baca papernya di sini. Dalam paper ini, ada beberapa problem riset yang kemungkinan besar belum terpecahkan hingga hari ini, misalnya: dapatkah kita melakukan pengubinan satu kuadran bidang dengan persegi?

*

Bandung, 22-10-2016

Pengubinan Persegi dengan Persegi

Dalam beberapa artikel terdahulu di blog ini, saya telah memberi banyak contoh bagaimana kita dapat melakukan pengubinan persegi dengan (tak terhingga banyak) persegi. Nah, dalam literatur, kita sebetulnya dapat menemukan pengubinan persegi dengan sejumlah terhingga persegi yang berbeda ukuran (masing-masing memiliki panjang sisi bilangan asli). Sebagai contoh, gambar berikut memperlihatkan dua cara pengubinan persegi, yang pertama berukuran 120 × 120 dan yang kedua berukuran 175 × 175, dengan 24 persegi yang berbeda ukuran.

persegi-persegi-24-120

persegi-persegi-24-175

Yang kemudian menarik perhatian para matematikawan adalah: berapa persegi (berbeda ukuran) paling sedikit yang dapat disusun menjadi suatu persegi (yang lebih besar)? Hingga tahun 1962, orang berpikir bahwa paling sedikit 24 persegi diperlukan untuk pengubinan suatu persegi, seperti diperlihatkan pada gambar di atas. Namun, pada tahun 1962, Adrianus Duijvestijn – dengan bantuan komputer – menemukan cara pengubinan persegi dengan hanya menggunakan 21 persegi (berbeda ukuran), seperti pada gambar di bawah ini.

persegi-persegi-21-112

Duijvestijn juga membuktikan bahwa 21 merupakan jumlah persegi paling sedikit untuk pengubinan suatu persegi.

Bila Anda tertarik mempelajari pengubinan persegi dengan persegi lebih lanjut, sila berkunjung ke www.squaring.net. Gambar-gambar di atas dicuplik dari laman ini.

*

Bandung, 17-10-2016

1729 and the Sum of Two Cubes

If you have watched the movie The Man Who Knew Infinity, you probably remember the scene when Hardy and Ramanujan were going to take a taxi whose plate number is 1729.

While Hardy commented that the number is dull, Ramanujan told him that the number is actually interesting, as it is the smallest number that can be expressed as the sum of two cubes in two different ways. The scene is an adaptation of the following note by Hardy in [G.H. Hardy (1921), “Srinivasa Ramanujan”, Proc. London Math. Soc., s2-19 (1): xl–lviii]:

“I remember once going to see him when he was ill at Putney. I had ridden in taxi cab number 1729 and remarked that the number seemed to me rather a dull one, and that I hoped it was not an unfavorable omen. “No,” he replied, “it is a very interesting number; it is the smallest number expressible as the sum of two cubes in two different ways.”

The two different ways are 93 + 103 = 13 + 123 = 1729. Ramanujan knew this fact through series expansions of some rational functions [ThatsMaths (2016), “Ramanujan’s Astonishing Knowledge of 1729”].

We could also obtain such numbers through another way. Recall that for the squares, we have the identity

(ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (ac – bd)2 + (ad + bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2).

This gives us ways to express some numbers as sums of two squares in two different ways. For example, by taking a = 1, b = 2, c = 2, and d = 3, we have 82 + 12 = 42 + 72 = 65.

As for the cubes, we have the following theorem [B. Reznick (2016), “Ramanujan Memorial Lecture”]:

Theorem: If 3c2d = a2 + ab + b2, then (a + cd2)3 + (bd + c)3 = (ad + c)3 + (b + cd2)3.

Proof: Exercise 🙂

Now, if we take a = 0, b = 3, c = 1, and d = 3, then we get 93 + 103 = 13 + 123, the smallest possible number 1729 which is expressible as the sum of two cubes in two different ways. Next, we can take a = 1, b = 4, c = 1, and d = 7, and obtain 503 + 293 = 83 + 533. This is too big! How do we get the second smallest number that can be expressed as the sum of two cubes in two different ways?

We notice that if the quadruple (a, b, c, d) satisfies 3c2d = a2 + ab + b2, then so do the quadruples (b, a, c, d), (-a, –b, c, d), and (a, b, –c, d). Upon taking a = 1, b = 4, c = -1, and d = 7, we get (-48)3 + 273 = 63 + (-45)3, which gives 273 + 453 = 63 + 483. But each number is a multiple of 3, thus if we divide all terms by 33, we obtain 93 + 153 = 23 + 163 = 4104, which is known as the second smallest number expressible as the sum of two cubes in two different ways. Hooray!

Problem: Can you get the third smallest number, that is, 13832, through the above theorem?

*

Bandung, 15-10-2016

Persamaan Diophantine – II

Dalam buku “Arithmetica” jilid II karangan Diophantus, terdapat problem yang meminta pembaca menyatakan suatu bilangan yang merupakan jumlah dua bilangan kuadrat sebagai jumlah dua bilangan kuadrat lainnya. Bila bilangan yang kita bicarakan hanya bilangan bulat, maka kita sedang berhadapan dengan Persamaan Diophantine x2 + y2 = u2 + v2 dengan {x,y} ≠ {u,v} dan x, y, u, v ≠ 0.

Sebagai contoh, kita mengetahui bahwa 32 + 42 = 52 = 25. Apakah 25 bisa dinyatakan sebagai jumlah dua bilangan kuadrat yang lainnya? Jawabannya tidak bisa. Lalu adakah bilangan yang dapat dituliskan sebagai jumlah dari dua bilangan kuadrat dalam dua cara berbeda?

Diophantus memberikan contohnya, yaitu 65 = 82 + 12 = 72 + 42. Secara umum, kita mempunyai kesamaan

persamaan-diophantine-ii

Nah, untuk a = 1, b = 2, c = 2, d = 3, kita mempunyai 5∙13 = 82 + (-1)2 = (-4)2 + 72 = 65.

Dari kesamaan di atas, kita peroleh bilangan terkecil yang dapat dinyatakan sebagai jumlah dua bilangan kuadrat dalam dua cara berbeda, yaitu 50. Dengan mensubstitusikan a = 1, b = 2, c = 1, d = 3, kita peroleh 50 = 72 + 12 = 52 + 52.

Namun, bila kita juga mempersyaratkan bahwa x ≠ y dan u ≠ v, maka 65 merupakan bilangan terkecil yang dapat dinyatakan sebagai jumlah dua bilangan kuadrat dalam dua cara berbeda, dengan bilangan-bilangan yang berbeda.

*

Bandung, 10-10-2016

 

Persamaan Diophantine – I

Diophantus, matematikawan Alexandria abad ke-3, terkenal dengan karyanya “Arithmetica” yang terdiri dari 13 jilid. (Namun, beberapa jilid di antaranya musnah terbakar ketika Museum dan Perpustakaan Besar-nya diserbu massa, pada abad ke-4 dan abad ke-7.)

diophantus

Diophantus (~201-~285)

Salah satu warisan Diophantus adalah persamaan yang kita kenal sekarang sebagai Persamaan Diophantine, yaitu persamaan aljabar dengan koefisien bilangan bulat dan solusi yang dikehendaki juga merupakan bilangan bulat.

Contoh Persamaan Diophantine yang paling klasik adalah persamaan ax + by = c, dengan a, b, dan c diketahui, misalnya 15x + 11y = 12. Bagaimana mencari solusi persamaan ini?

Karena 15 dan 11 relatif prima (faktor persekutuan terbesarnya sama dengan 1), kita dapat menemukan bilangan bulat x dan y sedemikian sehingga 15x + 11y = 1 dengan menggunakan Algoritma Euclid:

15 = 1(11) + 4

11 = 2(4) + 3

4 = 1(3) + 1

3 = 3(1) + 0.

Bila kita telusuri dari persamaan kedua terakhir, kita peroleh:

1 = 4 – 1(3)

= 4 – 1[11 – 2(4)] = 3(4) – 1(11)

= 3[15 – 1(11)] – 1(11) = 3(15) – 4(11).

Dengan demikian kita dapatkan solusi persamaan 15x + 11y = 1, yaitu x = 3 dan y = -4. (Tetapi ini bukan satu-satunya solusi. Solusi umum dari persamaan 15x + 11y = 1 adalah x = 3 – 11k dan y = -4 + 15k, dengan k bilangan bulat.)

Nah, solusi dari persamaan 15x + 11y = 12 sekarang dapat kita peroleh dengan mengalikan solusi dari persamaan 15x + 11y = 1 dengan 12. Jadi, solusi yang kita cari adalah x = 36 dan y = -48. Solusi umumnya adalah x = 36 – 11k dan y = -48 + 15k.

Sebagai latihan, sila coba dua problem di bawah ini:

1. Tentukan solusi bilangan bulat dari persamaan 57x – 24y = 12.

2. Untuk bilangan bulat c manakah persamaan 57x – 24y = c mempunyai solusi bilangan bulat?

*

Bandung, 08-10-2016

Ketakterhinggaan Himpunan Bilangan Real

Ada berapa banyak bilangan asli? Tak terhingga. Ada berapa banyak bilangan rasional? Tak terhingga juga. Mana yang lebih banyak: bilangan asli atau bilangan rasional? Sama banyak, dalam arti terdapat korespondensi satu-ke-satu di antara kedua himpunan bilangan tersebut. Dengan perkataan lain, bilangan rasional ‘dapat dinomori’ satu-per-satu.

Lalu ada berapa banyak bilangan real? Nah, ini seru! Jawabannya tak terhingga juga, tetapi rupanya tidak sama dengan ketakterhinggaan himpunan bilangan asli. Bilangan real jauuuuh lebih banyak daripada bilangan asli.

Dengan menggunakan notasi bilangan desimal, setiap bilangan real x dapat dituliskan sebagai x := a,b1b2b3b4b5b6… dengan a bilangan bulat dan bi ∊ {0, 1, 2, 3, … , 9}.

Untuk membuktikan bahwa bilangan real jauh lebih banyak daripada bilangan asli, kita gunakan metode kontradiksi. Andaikan semua bilangan real ‘dapat dinomori’. Dengan perkataan lain, kita dapat mendaftarkannya sebagai {x1, x2, x3, x4, x5, … } dengan:

x1 := a1,b11b12b13b14b15b16…

x2 := a2,b21b22b23b24b25b26…

x3 := a3,b31b32b33b34b35b36…

x4 := a4,b41b42b43b44b45b46…

x5 := a5,b51b52b53b54b55b56…

dan seterusnya. Nah, sekarang kita definisikan bilangan y := 0,c1c2c3c4c5c6… dengan ci := 7 bila 0 ≤ bii ≤ 4, dan ci := 3 bila 5 ≤ bii ≤ 9, untuk setiap i = 1, 2, 3, … , maka bilangan ini tidak terdapat dalam daftar di atas, karena ci = 3 atau 7 dan pasti berbeda dengan bii untuk setiap i. Padahal, y merupakan bilangan real (di antara 0 dan 1). Jadi, bagaimanapun caranya kita berupaya mendaftarkan bilangan real, akan selalu ada bilangan real yang terlewatkan. Himpunan bilangan asli tidak cukup banyak untuk menomori semua bilangan real.

Metode pembuktian di atas dikenal sebagai Metode Diagonalisasi Cantor, yang dicetuskan oleh Georg Cantor (1845-1918). Metode ini dapat dipakai untuk membuktikan secara umum bahwa kardinalitas suatu himpunan selalu lebih kecil daripada kardinalitas himpunan kuasanya.

*

Bandung, 03-10-2016