Ketakterhinggaan Himpunan Bilangan Real

Ada berapa banyak bilangan asli? Tak terhingga. Ada berapa banyak bilangan rasional? Tak terhingga juga. Mana yang lebih banyak: bilangan asli atau bilangan rasional? Sama banyak, dalam arti terdapat korespondensi satu-ke-satu di antara kedua himpunan bilangan tersebut. Dengan perkataan lain, bilangan rasional ‘dapat dinomori’ satu-per-satu.

Lalu ada berapa banyak bilangan real? Nah, ini seru! Jawabannya tak terhingga juga, tetapi rupanya tidak sama dengan ketakterhinggaan himpunan bilangan asli. Bilangan real jauuuuh lebih banyak daripada bilangan asli.

Dengan menggunakan notasi bilangan desimal, setiap bilangan real x dapat dituliskan sebagai x := a,b₁b₂b₃b₄b₅b₆… dengan a bilangan bulat dan b_i ∊ {0, 1, 2, 3, … , 9}.

Untuk membuktikan bahwa bilangan real jauh lebih banyak daripada bilangan asli, kita gunakan metode kontradiksi. Andaikan semua bilangan real ‘dapat dinomori’. Dengan perkataan lain, kita dapat mendaftarkannya sebagai {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, … } dengan:

x₁ := a₁,b₁₁b₁₂b₁₃b₁₄b₁₅b₁₆…

x₂ := a₂,b₂₁b₂₂b₂₃b₂₄b₂₅b₂₆…

x₃ := a₃,b₃₁b₃₂b₃₃b₃₄b₃₅b₃₆…

x₄ := a₄,b₄₁b₄₂b₄₃b₄₄b₄₅b₄₆…

x₅ := a₅,b₅₁b₅₂b₅₃b₅₄b₅₅b₅₆…

dan seterusnya. Nah, sekarang kita definisikan bilangan y := 0,c₁c₂c₃c₄c₅c₆… dengan c_i := 7 bila 0 ≤ b_ii ≤ 4, dan c_i := 3 bila 5 ≤ b_ii ≤ 9, untuk setiap i = 1, 2, 3, … , maka bilangan ini tidak terdapat dalam daftar di atas, karena c_i = 3 atau 7 dan pasti berbeda dengan b_ii untuk setiap i. Padahal, y merupakan bilangan real (di antara 0 dan 1). Jadi, bagaimanapun caranya kita berupaya mendaftarkan bilangan real, akan selalu ada bilangan real yang terlewatkan. Himpunan bilangan asli tidak cukup banyak untuk menomori semua bilangan real.

Metode pembuktian di atas dikenal sebagai Metode Diagonalisasi Cantor, yang dicetuskan oleh Georg Cantor (1845-1918). Metode ini dapat dipakai untuk membuktikan secara umum bahwa kardinalitas suatu himpunan selalu lebih kecil daripada kardinalitas himpunan kuasanya.

*

Bandung, 03-10-2016