korespondensi satu-ke-satu

Sifat-Sifat Fungsi Involusi

Fungsi involusi mempunyai grafik yang simetris terhadap garis y = x. Selain itu, fungsi involusi mempunyai sejumlah sifat yang menarik, antara lain:

(1) Setiap fungsi involusi merupakan fungsi satu-ke-satu.

(2) Jika f merupakan fungsi involusi yang kontinu pada (-∞, ∞), maka f monoton turun dan mempunyai tepat satu titik tetap.

Sifat pertama mudah dibuktikan (sila coba). Untuk pembuktian sifat kedua, lihat artikel Wiener & Watkins. Dalam artikel ini, dibahas pula sifat-sifat lainnya dari fungsi involusi.

*

Bandung, 23-05-2017

Ketakterhinggaan Himpunan Bilangan Real

Ada berapa banyak bilangan asli? Tak terhingga. Ada berapa banyak bilangan rasional? Tak terhingga juga. Mana yang lebih banyak: bilangan asli atau bilangan rasional? Sama banyak, dalam arti terdapat korespondensi satu-ke-satu di antara kedua himpunan bilangan tersebut. Dengan perkataan lain, bilangan rasional ‘dapat dinomori’ satu-per-satu.

Lalu ada berapa banyak bilangan real? Nah, ini seru! Jawabannya tak terhingga juga, tetapi rupanya tidak sama dengan ketakterhinggaan himpunan bilangan asli. Bilangan real jauuuuh lebih banyak daripada bilangan asli.

Dengan menggunakan notasi bilangan desimal, setiap bilangan real x dapat dituliskan sebagai x := a,b1b2b3b4b5b6… dengan a bilangan bulat dan bi ∊ {0, 1, 2, 3, … , 9}.

Untuk membuktikan bahwa bilangan real jauh lebih banyak daripada bilangan asli, kita gunakan metode kontradiksi. Andaikan semua bilangan real ‘dapat dinomori’. Dengan perkataan lain, kita dapat mendaftarkannya sebagai {x1, x2, x3, x4, x5, … } dengan:

x1 := a1,b11b12b13b14b15b16

x2 := a2,b21b22b23b24b25b26

x3 := a3,b31b32b33b34b35b36

x4 := a4,b41b42b43b44b45b46

x5 := a5,b51b52b53b54b55b56

dan seterusnya. Nah, sekarang kita definisikan bilangan y := 0,c1c2c3c4c5c6… dengan ci := 7 bila 0 ≤ bii ≤ 4, dan ci := 3 bila 5 ≤ bii ≤ 9, untuk setiap i = 1, 2, 3, … , maka bilangan ini tidak terdapat dalam daftar di atas, karena ci = 3 atau 7 dan pasti berbeda dengan bii untuk setiap i. Padahal, y merupakan bilangan real (di antara 0 dan 1). Jadi, bagaimanapun caranya kita berupaya mendaftarkan bilangan real, akan selalu ada bilangan real yang terlewatkan. Himpunan bilangan asli tidak cukup banyak untuk menomori semua bilangan real.

Metode pembuktian di atas dikenal sebagai Metode Diagonalisasi Cantor, yang dicetuskan oleh Georg Cantor (1845-1918). Metode ini dapat dipakai untuk membuktikan secara umum bahwa kardinalitas suatu himpunan selalu lebih kecil daripada kardinalitas himpunan kuasanya.

*

Bandung, 03-10-2016