Ketakterhinggaan dan Tantangan dalam Matematika

Baru-baru ini, Lisa Piccirillo dan Nina Holden, dua matematikawan muda dari Massachusetts Institute of Technology (MIT), Amerika Serikat, dikabarkan akan mendapat anugerah dari The Breakthrough Prize Foundation. Lisa Piccirillo, seorang asisten professor di MIT, akan mendapat 2021 Maryam Mirzakhani New Frontiers Prize atas keberhasilannya memecahkan masalah klasik dalam teori knot terkait dengan ‘teka-teki’ apakah knot Conway merupakan suatu keping dari sebuah knot berorde tinggi yang lebih rumit. Sementara itu, Nina Holden, doktor matematika lulusan MIT yang saat ini bekerja di ETH Zurich, akan mendapat anugerah yang sama atas hasil penelitiannya dalam geometri random pada Gravitasi Kuantum Liouville, yang mempunyai kemiripan dengan random walk dalam teori peluang.

Dalam matematika, ada banyak masalah yang belum terpecahkan dan membuat para matematikawan penasaran. Beberapa masalah tersebut bahkan ada yang telah ‘berusia’ puluhan hingga ratusan tahun. Anda mungkin pernah mendengar tentang Teorema Terakhir Fermat yang berhasil dibuktikan oleh Andrew Wiles pada tahun 1995. Teorema ini pertama dicetuskan oleh Pierre de Fermat pada tahun 1637. Ketika itu, Fermat menulis pada tepi halaman buku Arithmetica karya Diophantus, matematikawan Yunani Kuno, bahwa untuk bilangan asli , tidak terdapat bilangan bulat a, b dan c sedemikian sehingga . Ia menyatakan bahwa ia telah menemukan buktinya, tetapi tepi halaman tersebut terlalu kecil untuk memuat buktinya. Sejumlah matematikawan kemudian mencoba membukti-kannya dan tidak berhasil. Baru 358 tahun kemudian, Andrew Wiles, matematikawan Inggris, mempublikasikan buktinya di Annals of Mathematics.

Di antara sekian banyak masalah matematika yang hingga saat ini belum terpecahkan, ada sebuah masalah yang terkait dengan bilangan, objek paling mendasar dalam matematika. Namun, masalahnya menjadi sulit karena yang dihadapi bukan sekadar sebuah bilangan, melainkan himpunan bilangan dan konsep ketakterhinggaan serta kardinalitas himpunan. Masalah itu menyangkut kebenaran Hipotesis Kontinum, yang menyatakan bahwa tidak ada himpunan yang memiliki kardinalitas di antara kardinalitas himpunan bilangan asli dan kardinalitas himpunan bilangan real. Hipotesis ini dicetuskan oleh Georg Cantor pada tahun 1878, dan pembuktiannya dinyatakan sebagai salah satu masalah terbuka oleh David Hilbert pada tahun 1900. Hingga saat ini, belum ada yang berhasil membuktikan (atau menyangkal) kebenaran Hipotesis Kontinum.

Baca selengkapnya: Ketakterhinggaan dan Tantangan dalam Matematika.

*

Bandung, 14-09-2020

1 Comment

  1. Salam Prof.Hendra…
    Saya Sandy dari Kalimantan Selatan.
    Saya ingin bertanya, yang diawali dengan cerita singkat, semoga berkenan menjawab.

    Saya baru saja terlibat diskusi dengan beberapa kawan mengenai himpunan. Waktu itu saya berpendapat, bahwa jika saya mengambil sembarang objek katakanlah x, y, dan z, maka saya selalu dapat membuat himpunan A = {x, y, z}. Taruhlah A = {kambing, lingkaran, 14}.

    Sedangkan beberapa kawan saya menganggap itu hanyalah kumpulan dan bukan himpunan. Sebab menurut mereka, harus ada kriteria tertentu untuk himpunan A dimaksud yang menjelaskan kenapa kambing, lingkaran, dan 14 dapat menjadi elemen dari A.

    Sebenarnya kami sepakat, bahwa himpunan haruslah “well defined”, tapi ada perbedaan pandangan mengenai “well defined”. Bagi saya, himpunan yang dinyatakan dengan mendaftar anggotanya satu per satu sangatlah well defined walau tanpa menyertakan kriteria atau kesamaan sifat elemennya, argumen saya adalah axiom of pairing dan axiom of union dari zfc-set theory. Yang tidak well defined adalah jika kita punya x, tapi kita tidak dapat menetapkan apakah x elemen A atau bukan, misalnya “kumpulan mahasiswa profesor yang baik hati” tanpa ada dedinisi pasti mengenai “baik hati” tsb (walaupun saya yakin Prof.Hendra termasuk disini 😁). Sedangkan yang saya tangkap dari penuturan kawan-kawan saya, “well defined” tsb harus jelas mengenai ciri apa yang sama pada tiap elemen sehingga dapat tergabung dalam himpunan tsb.

    Sebenarnya saya sudah sangat yakin dengan pandangan saya. Tapi mengingat kawan diskusi saya adalah para sarjana sementara saya hanya belajar matematika secara formal hingga SMA (selebihnya gak formal), maka mungkin saya patut mempertanyakan keyakinan saya tsb.

    Nah, disini saya ingin bertanya pandangan Prof.Hendra mengenai hal ini, apakah {kambing, lingkaran, 14} adalah suatu himpunan? Dan apa maksud dari “well defined” pada suatu himpunan? Terimakasih…

    Like

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s