Artikel

Yang ditayangkan di sini merupakan artikel lepas, ditulis secara populer. Antara satu artikel dan artikel lainnya tidak selalu berkaitan, mungkin tidak berurutan pula.

Masih tentang Penaksir ‘Lokasi Pusat’ Data

Anda sudah mengenal rerata dan median dari sejumlah bilangan (atau data) x1, x2, … , xn, yang terurut naik. Lalu ada satu nilai lagi yang sering dipakai sebagai penaksir ‘lokasi pusat’ data selain rerata dan median, yaitu modus – yakni nilai yang paling sering muncul dalam data tersebut. Namun, dari sudut pandang teori ruang bernorma, sebetulnya ada satu nilai yang juga dapat dipakai sebagai penaksir lokasi pusat data, dan nilai ini dapat ditentukan dengan sangat mudah dan cepat, yaitu t = ½·(x1 + xn), yakni rerata aritmetik dari nilai terkecil dan nilai terbesar dari data yang kita miliki. Nilai ini dikenal sebagai ‘nilai tengah’ (mid-range). [Bila selama ini Anda menggunakan istilah ‘nilai tengah’ sebagai padanan untuk median, ke depan Anda perlu meralatnya: median adalah ‘nilai di tengah’, yakni nilai yang dicapai di tengah, bukan ‘nilai tengah’.]

Sebagai contoh, jika di suatu kelompok siswa diketahui tinggi badan terendahnya adalah 154 cm dan tinggi badan tertingginya 178 cm, maka dengan cepat kita dapat memperoleh nilai tengahnya, yaitu 166 cm. Nilai ini dapat kita pakai sebagai penaksir data tinggi badan siswa di kelompok tersebut.

Nah, bila rerata aritmetik meminimumkan galat kuadrat total, nilai tengah meminimumkan apa ya? Sila selidiki!

*

Bandung, 15-08-2017

Rerata Aritmetik Meminimumkan Galat Kuadrat Total

Selain merupakan penaksir tak bias dari n bilangan yang diwakilinya, rerata aritmetik juga meminimumkan galat kuadrat total.

Persisnya, diberikan n bilangan real x1, x2, … , xn, misalkan kita ingin menentukan suatu bilangan x sedemikian sehingga

Perhatikan bahwa

suatu fungsi kuadrat dalam x. Nah, bagi Anda yang sudah akrab dengan fungsi kuadrat, Anda pasti tahu bahwa E akan mencapai nilai minimum ketika

yakni ketika x sama dengan rerata aritmetik dari x1, x2, … , xn. Jadi rerata aritmetik adalah penaksir yang meminimumkan galat kuadrat total.

Problem: Tentukan bilangan x yang meminimumkan

apabila x1 < x2 < … < xn.

*

Bandung, 11-08-2017

Rerata Aritmetik: Penaksir Tak Bias

Siswa SD pun tahu bagaimana caranya menghitung nilai rata-rata (atau rerata) dari sejumlah bilangan. Diberikan n bilangan real x1, x2, … , xn, reratanya adalah r = (x1 + x2 + … + xn)/n.

Rerata ini adalah rerata aritmetik, yang dapat dipakai sebagai penaksir dari n bilangan tadi. Jadi, daripada mengingat n bilangan, kita cukup mengingat rerata aritmetiknya. Rerata usia siswa kelas XII di SMA Z adalah 17 tahun 2 bulan, misalnya.

Nah, sebagai penaksir, rerata aritmetik merupakan suatu penaksir tak bias. Maksudnya, bila kita hitung galat tiap bilangan terhadap rerata artimetiknya dan kemudian kita jumlahkan, maka hasilnya akan sama dengan nol. Menggunakan notasi sigma, rerata artimetik memenuhi persamaan

Adakah sifat istimewa lainnya dari rerata aritmetik? Tunggu artikel berikutnya ya… 🙂

*

Bandung, 08-08-2017

Ukuran Himpunan Cantor Terner

Himpunan Cantor terner yang pernah dibahas di blog ini merupakan contoh himpunan berukuran nol yang bukan himpunan terbilang.

Dari mana kita tahu bahwa himpunan Cantor terner berukuran nol? Ingat bagaimana kita mengonstruksi himpunan tersebut, yaitu dengan membuang interval-interval (⅓, ⅔), (1/9, 2/9), (7/9, 8/9), dan seterusnya, dari interval [0, 1].

Ukuran himpunan yang dibuang dalam hal ini sama dengan 1/3 + 2/9 + 4/27 + … = 1. Jadi, mengingat ukuran interval [0, 1] sama dengan 1, himpunan yang tersisa mestilah berukuran nol.

Sementara itu ketakterbilangan himpunan Cantor terner dapat dijelaskan sebagai berikut. Dari konstruksinya, jelas bahwa himpunan Cantor terner beranggotakan semua bilangan yang tidak mengandung angka 1 di belakang tanda koma dalam sistem bilangan terner (berbasis 3). Sebagai contoh, ⅓ = [0,022222…]3 dan ¼ = [0,020202…]3 merupakan anggota himpunan Cantor terner. Selanjutnya perhatikan bahwa pemetaan

[0,c1c2c3c4c5…]3 → [0,b1b2b3b4b5…]2

dengan bi = ci/2, i = 1, 2, 3, …, merupakan korespondensi 1-1 antara himpunan Cantor terner dan himpunan semua bilangan biner di [0, 1]. Nah, karena [0, 1] tak terbilang, maka mestilah himpunan Cantor terner juga tak terbilang.

*

Bandung, 01-08-2017

Himpunan Berukuran Nol

Ketika membahas fungsi tangga Cantor, saya menyatakan bahwa fungsi ini mempunyai turunan pada [0, 1] kecuali pada suatu ‘himpunan berukuran nol’. Sebetulnya, apa yang dimaksud dengan ‘himpunan berukuran nol’ itu?

Konsep ukuran diperkenalkan oleh Henri Lebesgue pada tahun 1901 (yang kemudian ia gunakan untuk mengembangkan suatu konsep integral yang berbeda dengan integral ala Riemann). Ukuran luar dari suatu himpunan E ⊆ R didefinisikan sebagai

λ*(E ) := inf { ∑k |Ik| : E ⊆ ∪k Ik, dengan Ik merupakan interval buka untuk setiap k}.

Di sini |Ik| menyatakan panjang interval Ik: Jika I := (a, b), maka |I| = b − a. Himpunan A := { ∑k |Ik| : E ⊆ ∪k Ik, dengan Ik merupakan interval buka untuk setiap k} merupakan suatu himpunan bilangan real ‘diperluas’ yang terbatas di bawah oleh 0, dan inf A adalah ‘batas bawah terbesar’ dari A. Dalam hal ini, λ*(E ) = inf A merupakan suatu bilangan tak negatif.

Sebagai contoh, jika E adalah suatu himpunan terhingga, katakanlah E := {a1, …, an}, maka λ*(E ) = 0. (Kita dapat mencari n interval buka I1, …, In sedemikian sehingga E ⊆ I1 ∪ … ∪ In dengan |I1| + … + |In| sekecil-kecilnya.) Catat pula jika I adalah suatu interval (buka, setengah buka, atau tutup), maka λ*(I ) = |I|.

Himpunan E dikatakan terukur apabila untuk setiap ε > 0 terdapat suatu himpunan buka G dan suatu himpunan tutup F sedemikian sehingga F ⊆ E ⊆ G dan λ*(G \ F ) < ε. Sebagai contoh, himpunan terhingga {a1, …, an} merupakan himpunan terukur, karena kita dapat memilih

F := Ø dan G := (a1 – δ, a1 + δ) ∪ … ∪ (an – δ, an + δ)

dengan 2nδ < ε, sedemikian sehingga λ*(G \ F ) = λ*(G ) ≤ 2nδ < ε. Lebih umum, semua himpunan yang berukuran luar 0 merupakan himpunan terukur.

Jika E terukur, maka ukuran dari E kemudian didefinisikan sebagai λ(E ) := λ*(E ). Sebagai contoh, jika E merupakan himpunan terhingga, maka λ(E ) = 0. Nah, himpunan E dengan λ(E ) = 0 disebut himpunan berukuran nol.

Selain himpunan terhingga, secara umum himpunan terbilang merupakan himpunan berukuran nol (sila buktikan!). Jadi, sebagai contoh, himpunan semua bilangan rasional Q merupakan himpunan berukuran nol. Tetapi, jangan salah, tidak setiap himpunan berukuran nol merupakan himpunan terbilang. Dalam perkataan lain, terdapat himpunan tak terbilang yang berukuran nol. Dapatkah Anda menemukan contohnya?

*

Bandung, 28-07-2017

Turunan dan Kekontinuan – V

Fungsi Weierstrass yang diperkenalkan pada artikel sebelumnya merupakan satu di antara banyak contoh fungsi yang kontinu tetapi tidak mempunyai turunan di titik manapun. Bila Anda lacak fungsi Weierstrass di Internet, Anda akan menemukan banyak artikel yang membahas fungsi tersebut. Salah satu di antaranya adalah tesis master karangan Johan Thim yang berjudul Continuous Nowhere Differentiable Functions (unduh deh). Dalam tesis ini, Thim tidak hanya mengulas fungsi Weierstrass, tetapi juga fungsi Bolzano, fungsi Riemann, fungsi Orlicz, dan lain-lain, yang memiliki sifat serupa dengan fungsi Weierstrass — yaitu kontinu tetapi tidak mempunyai turunan di mana-mana. Sila baca dan pelajari tesis Thim.

*

Bandung, 25-07-2017

Turunan dan Kekontinuan – IV

Eksistensi turunan di suatu titik hanya menjamin kekontinuan di titik tersebut, tidak pada suatu interval buka yang memuat titik tersebut. Sekarang bagaimana dengan kebalikannya: jika f kontinu pada suatu interval dengan panjang positif, apakah f akan mempunyai turunan kecuali di sejumlah titik dalam interval tersebut? Sebagai contoh, fungsi tangga Cantor yang grafiknya seperti pada gambar di bawah ini merupakan fungsi yang kontinu pada [0, 1]. Fungsi ini tidak mempunyai turunan di tak terhingga banyak titik, tetapi di titik-titik lainnya ia mempunyai turunan nol. Secara keseluruhan, fungsi tangga Cantor mempunyai turunan ‘hampir di mana-mana’ (yakni, mempunyai turunan kecuali pada suatu himpunan ‘berukuran nol’).

cantor-function

Namun, jangan salah, ada banyak fungsi yang kontinu pada suatu interval buka tetapi tidak mempunyai turunan di satu titik pun dalam interval tersebut. Salah satu contohnya adalah fungsi Weierstrass,

rumus fungsi weierstrass

yang grafiknya seperti di bawah ini:

fungsi weierstrass

Fungsi Weierstrass kontinu di setiap titik tetapi tidak mempunyai turunan di titik manapun. Fungsi ini ‘ditemukan’ dan dipublikasikan oleh Karl Weierstrass pada 18 Juli 1872.

*

Bandung, 21-07-2017

 

Turunan dan Kekontinuan – III

Kita telah mengetahui bahwa eksistensi turunan sebuah fungsi di suatu titik mengakibatkan kekontinuan fungsi di titik tersebut. Nah, apakah kita bisa menyimpulkan lebih daripada itu? Persisnya: apakah eksistensi turunan sebuah fungsi di suatu titik juga mengakibatkan kekontinuan fungsi di sekitar titik tersebut? Jawabannya negatif. Sebagai contoh, fungsi f yang didefinisikan sebagai

merupakan fungsi yang mempunyai turunan di 0 (dengan f ‘(0) = 0), tetapi f hanya kontinu di 0, tidak di titik lainnya.

*

Bandung, 18-07-2017

Turunan dan Kekontinuan – I

Bila Anda sudah ‘mencicipi’ Kalkulus, tentunya Anda sudah mengetahui apa yang dimaksud dengan turunan dari suatu fungsi, serta riwayatnya – yang terkait dengan upaya Newton menentukan kecepatan sesaat dari suatu partikel yang bergerak dan upaya Leibniz menentukan gradien garis singgung pada suatu kurva di suatu titik.

Diberikan sebuah fungsi f : I → R, dengan I ⊆ R suatu interval yang memuat titik c, turunan dari f di titik c didefinisikan sebagai

definisi turunan

asalkan limit ini ada. Perhatikan jika f mempunyai turunan di c, maka

turunan dan kekontinuan

dan karena itu

limit fungsi kontinu

yang berarti bahwa f kontinu di c. Jadi, kekontinuan f di c merupakan syarat perlu bagi eksistensi turunan f di c. Tetapi, ada banyak contoh yang memperlihatkan bahwa kekontinuan f di c bukanlah merupakan syarat cukup bagi eksistensi turunan f di c.

Salah satu contoh penyangkalnya adalah f(x) = |x|. Fungsi ini kontinu di 0, tetapi tidak mempunyai turunan di 0 karena

turunan nilai mutlak di 0

tidak ada (limit kirinya sama dengan -1, sedangkan limit kanannya sama dengan 1).

Terkait dengan eksistensi limit, kita mengetahui ada beberapa hal yang dapat menyebabkan limit suatu fungsi di suatu titik tidak ada. Penyebab pertama adalah limit kiri dan limit kanannya ada tetapi tidak sama. Penyebab kedua adalah limit kiri atau limit kanannya tidak ada, entah karena ‘menuju tak terhingga’ atau ‘berosilasi’.

Problem: Temukan fungsi f yang kontinu di suatu titik c tetapi tidak mempunyai turunan di titik itu karena limit kiri dan/atau limit kanan dari [f(x) – f(c)]/(x – c) tidak ada, khususnya karena (a) limit kiri dan/atau limit kanannya ‘menuju tak terhingga’ dan (b) limit kiri dan/atau limit kanannya ‘berosilasi’.

*

Bandung, 11-07-2017