Misalkan X = (0, ½) ∪ (½, 1) dan f : X → R mempunyai grafik sebagai berikut:
Di sini, f(x) = ½ jika x ∈ (0, ½) dan f(x) = 1 jika x ∈ (½, 1). Nah, walau grafiknya seperti di atas, f merupakan fungsi yang kontinu pada X. Bila Anda mengatakan bahwa f tidak kontinu di ½, saya ingatkan Anda bahwa ½ bukan anggota X. Fungsi f kontinu di setiap anggota X, jadi f kontinu pada X.
*
Bandung, 23-06-2017
Di blog ini, saya pernah memperkenalkan fungsi kontinu di ruang metrik. Misalkan (X, d1) dan (Y, d2) ruang metrik, f : X → Y adalah fungsi dari X ke Y, dan c adalah anggota X. Fungsi f dikatakan kontinu di c apabila semakin dekat x ke c, semakin dekat f(x) ke f(c). Persisnya, f kontinu di c apabila untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x ∈ X dengan d1(x, c) < δ berlaku d2(f(x), f(c)) < ε.
Nah, jika X = [a, b] dan Y = R dilengkapi dengan metrik d(x, y) = |x − y|, maka fungsi f : X → Y dikatakan kontinu di c ∈ X apabila untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x ∈ X dengan |x − c| < δ berlaku |f(x) − f(c)| < ε. Setara dengan itu, fungsi f kontinu di c ∈ X apabila untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x ∈ X ∩ (c − δ, c + δ) berlaku f(x) ∈ (f(c) − ε, f(c) + ε).
Perhatikan jika c = a, maka X ∩ (a − δ, a + δ) = [a, a + δ), sehingga definisi di atas menyatakan bahwa f kontinu di a apabila untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 cukup kecil sedemikian sehingga untuk setiap x ∈ [a, a + δ) berlaku f(x) ∈ (f(a) − ε, f(a) + ε). Serupa dengan itu, jika c = b, definisi di atas menyatakan bahwa f kontinu di b apabila untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 cukup kecil sedemikian sehingga untuk setiap x ∈ (b − δ, b] berlaku f(x) ∈ (f(b) − ε, f(b) + ε).
Ya, dalam hal X = [a, b], kekontinuan f di a setara dengan kekontinuan kanan di a dan kekontinuan f di b setara dengan kekontinuan kiri di b.
Cerita tentang kekontinuan fungsi di suatu titik akan menjadi seru ketika X merupakan bukan merupakan interval. Salah satu contohnya dapat ditemui dalam artikel sebelumnya. Nah, dalam beberapa artikel yang akan datang, kita akan membahas beberapa contoh fungsi kontinu lainnya, yang mungkin belum pernah Anda jumpai sebelumnya.
*
Bandung, 20-06-2017
Fungsi f yang naik sejati pada I mempunyai invers f -1 yang naik sejati pada J = {f(x) : x ∈ I}. Nah, jika diketahui bahwa I merupakan interval dan f kontinu pada I, maka daerah nilainya yaitu J juga merupakan suatu interval dan f -1 kontinu pada J, sebagaimana dinyatakan dalam teorema berikut.
Teorema. Misalkan f : I → J dengan I = [a, b] dan J = {f(x) : x ∈ I}. Jika f naik sejati dan kontinu pada I, maka f -1 : J → I kontinu pada J.
Teorema ini dapat dibuktikan secara tidak langsung alias dengan kontradiksi. Andaikan f -1 tidak kontinu di suatu titik d ∈ J. Asumsikan bahwa d bukan titik ujung J. Mengingat f -1 naik sejati pada J, maka f -1(d –) dan f -1(d+) ada, dan f -1(d –) < f -1(d+). Sekarang misalkan c ∈ I sedemikian sehingga
f -1(d –) < c < f -1(d+) dan c ≠ f -1(d).
Akibatnya f(c) tidak terdefinisi (buatlah ilustrasinya!), dan ini bertentangan dengan hipotesis bahwa f terdefinisi pada I. [QED]
*
Bandung, 16-06-2017
Barangkali ada yang penasaran dengan problem terkait kekontinuan invers fungsi monoton yang ditayangkan pada tanggal 09-06-2017. Jawabannya adalah “mungkin”. Contohnya adalah fungsi f yang memiliki grafik sebagai berikut:
Perhatikan bahwa f naik sejati pada [0, 1] dan tidak kontinu di x = ½. Inversnya merupakan fungsi naik sejati yang terdefinisi pada [0, 1) ∪ [2, 3], dengan grafik sebagaimana diperlihatkan di bawah ini:
Nah, f -1 merupakan fungsi yang kontinu pada [0, 1) ∪ [2, 3], ya kan?
*
Bandung, 13-06-2017
Fungsi f dikatakan naik sejati pada I apabila untuk setiap x, y ∈ I dengan x < y berlaku f(x) < f(y). Fungsi f dikatakan turun sejati pada I apabila untuk setiap x, y ∈ I dengan x < y berlaku f(x) > f(y). Fungsi naik sejati atau turun sejati pada I disebut fungsi monoton sejati pada I.
Fungsi monoton sejati merupakan fungsi satu-ke-satu, dan karenanya ia akan mempunyai invers.
Buktikan jika f naik sejati pada I dan J = {f(x) : x ∈ I}, maka invers dari f naik sejati pada J. (Serupa dengan itu, jika f turun sejati pada I dan J = {f(x) : x ∈ I}, maka invers dari f turun sejati pada J.)
*
Bandung, 06-06-2017
Ambil sebuah fungsi f yang monoton pada [a, b], seberapa burukkah fungsi f yang kita ambil tersebut? Fungsi f yang kita ambil tadi mungkin tidak kontinu di sejumlah titik. Pertanyaannya: paling banyak berapa titik? Jawabannya: bisa tak terhingga, tapi pasti terhitung (countable). Begini argumentasinya.
Berdasarkan penjelasan pada artikel sebelumnya, ketakkontinuan yang mungkin terjadi pada f hanya ketakkontinuan loncat. Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan f monoton naik. Nah, sekarang, sambil membayangkan grafik fungsi f, kita dapat menyimpulkan bahwa terdapat paling banyak 1 titik pada [a, b], sebutlah d1, di mana f tidak kontinu dengan loncatan sebesar h1 dengan [f(b) – f(a)]/2 < h1 ≤ f(b) – f(a). Kemudian, terdapat paling banyak 2 titik pada [a, b], sebutlah d21 dan d22, di mana f tidak kontinu dengan loncatan sebesar h2 dengan [f(b) – f(a)]/3 < h2 ≤ [f(b) – f(a)]/2. Secara umum, terdapat paling banyak n titik pada [a, b], sebutlah dn1, …, dnn, di mana f tidak kontinu dengan loncatan sebesar hn dengan [f(b) – f(a)]/(n+1) < hn ≤ [f(b) – f(a)]/n, untuk n = 1, 2, 3, … . Nah, himpunan titik-titik di mana f mungkin tidak kontinu, yaitu {d1, d21, d22, d31, d32, d33, …}, merupakan himpunan terhitung. Begitulah argumentasinya.
Sekarang ada problem untuk Anda: Konstruksilah sebuah fungsi monoton pada [0, 1] yang tidak kontinu pada suatu himpunan terbilang (yakni, terhitung tapi tak terhingga).
*
Bandung, 30-05-2017
Fungsi f dikatakan naik pada [a, b] apabila untuk setiap x, y ∈ [a, b] dengan x < y berlaku f(x) ≤ f(y). Fungsi f dikatakan turun pada [a, b] apabila untuk setiap x, y ∈ [a, b] dengan x < y berlaku f(x) ≥ f(y). Fungsi naik atau turun pada [a, b] disebut fungsi monoton pada [a, b].
Setiap fungsi monoton pada [a, b] mempunyai limit kiri dan limit kanan di setiap titik c ∈ (a, b). Tentunya ia juga akan mempunyai limit kanan di a dan limit kiri di b. Nah, selanjutnya kita gunakan notasi
dan
asalkan kedua limit ini ada. Maka, kita mempunyai fakta berikut:
1. Jika f monoton naik pada [a, b], maka 
dan
Sebagai akibatnya, kita juga mempunyai fakta berikut:
2. Misalkan f monoton naik pada [a, b]. Jika c di (a, b), maka f(c ̶) dan f(c+) ada, dan
f(x) ≤ f(c ̶) ≤ f(c) ≤ f(c+) ≤ f(y)
untuk setiap x dan y dengan a ≤ x < c < y ≤ b.
Fakta terakhir memberi tahu kita bahwa suatu fungsi monoton mungkin tidak kontinu di suatu titik, tetapi ketakkontinuan yang mungkin terjadi hanyalah ketakkontinuan loncat.
Pada artikel berikutnya, kita akan membahas himpunan titik diskontinuitas suatu fungsi monoton.
*
Bandung, 26-05-2017
Fungsi involusi mempunyai grafik yang simetris terhadap garis y = x. Selain itu, fungsi involusi mempunyai sejumlah sifat yang menarik, antara lain:
(1) Setiap fungsi involusi merupakan fungsi satu-ke-satu.
(2) Jika f merupakan fungsi involusi yang kontinu pada (-∞, ∞), maka f monoton turun dan mempunyai tepat satu titik tetap.
Sifat pertama mudah dibuktikan (sila coba). Untuk pembuktian sifat kedua, lihat artikel Wiener & Watkins. Dalam artikel ini, dibahas pula sifat-sifat lainnya dari fungsi involusi.
*
Bandung, 23-05-2017
Fungsi f(x) = 1 – x mempunyai invers f -1(x) = 1 – x yang sama dengan dirinya sendiri. Nah, fungsi dengan sifat ini disebut sebagai involusi. Contoh involusi lainnya adalah f(x) = 1/x. Tugas untuk Anda sekarang adalah: tentukan sebanyak-banyaknya fungsi yang merupakan involusi.
*
Bandung, 16-05-2017
Apakah Anda bisa membayangkan sebuah fungsi yang kontinu hanya di satu titik, katakan di c = 0, dan tidak kontinu di titik lainnya?
Sebagai contoh, tinjau fungsi f : R → R yang didefinisikan sebagai f(x) = x jika x rasional dan f(x) = –x jika x irasional. Fungsi ini kontinu hanya di c = 0, tidak di titik lainnya. Sila buat sketsa grafik fungsi ini!
Nah, dengan sedikit modifikasi, Anda juga dapat mengkonstruksi contoh fungsi yang mempunyai turunan hanya di satu titik, dan tidak mempunyai turunan di titik lainnya. Sila coba!
*
Bandung, 12 Mei 2017
