Month: April 2017

Teorema Dasar Kalkulus II

Dari Teorema Dasar Kalkulus I (TDK I) dapat diperoleh Teorema Dasar Kalkulus II (TDK II) yang berbunyi: Jika f kontinu dan mempunyai anti-turunan F [yang memenuhi F’(x) = f(x)] pada interval [a, b], maka

Teorema Dasar Kalkulus II

Buktinya adalah sebagai berikut. TDK I telah memberi tahu kita bahwa

anti-turunan

merupakan anti-turunan dari f(x) pada [a, b], yakni G’(x) = f(x) untuk setiap x ∈ [a, b]. Akibatnya, kita mempunyai G’(x) − F’(x) = 0 untuk setiap x ∈ [a, b]. Menurut Teorema Nilai Rata-Rata (untuk turunan), hal tersebut hanya mungkin terjadi apabila G(x) − F(x) = C (konstan) untuk setiap x ∈ [a, b]. Jadi, kita peroleh

Teorema Dasar Kalkulus II - b

untuk setiap x ∈ [a, b]. Dengan mensubstitusikan x = a, kita mempunyai F(a) + C = 0 (karena integral pada [a, a] mestilah sama dengan 0). Jadi C = −F(a), dan kesamaan di atas menjadi

Terorema Dasar Kalkulus II - c

untuk setiap x ∈ [a, b]. Khususnya, untuk x = b, kita peroleh

Teorema Dasar Kalkulus II

Catatan: Teorema Nilai Rata-Rata untuk turunan menyatakan jika f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b), maka terdapat c ∈ (a, b) sedemikian sehingga f’(c) = [f(b) – f(a)]/(b – a).

*

Bandung, 28-04-2017

Teorema Dasar Kalkulus I

Ada dua Teorema Dasar Kalkulus, yang dinyatakan sebagai Teorema Dasar Kalkulus I (TDK I) dan Teorema Dasar Kalkulus II (TDK II). Kita akan membahas TDK I terlebih dahulu. Secara kasar, TDK I menyatakan jika kita mengintegralkan sebuah fungsi pada interval [a, t] lalu kita turunkan hasilnya terhadap t, maka kita akan memperoleh fungsi semula.

Matematikawan pertama yang membuktikan TDK I adalah Isaac Barrow, tetapi bukti TDK I yang terdapat di buku-buku Kalkulus moderen yang dipakai sebagai rujukan matakuliah matematika tahun pertama di perguruan tinggi dikembangkan dari bukti versi Isaac Newton. Pendekatan yang dipilih oleh Newton, sebagaimana dapat kita terka, adalah melalui konsep fisis kecepatan sesaat dan jarak tempuh (pada gerak lurus dengan kecepatan positif).

Diketahui y = y(t) kontinu untuk t ≥ 0, tinjau luas daerah di bawah kurva y = y(t) untuk 0 ≤ t ≤ x, sebutlah L = L(x). Dalam benak Newton, y(t) menyatakan kecepatan benda pada saat t, dan L(x) merupakan jarak yang ditempuh benda pada interval waktu [0, x]. Nah, diketahui y(t), kita peroleh L(x) melalui pengintegralan. Sebaliknya, Newton menjelaskan bagaimana kita dapat memperoleh y kembali dari L melalui penurunan.

Persisnya, ia meninjau rasio perubahan L terhadap x, sebagai berikut. Selain menggambar daerah di bawah kurva y = y(t), Newton juga menggambar daerah di bawah kurva y = 1 (konstan) sebagai pembanding (lihat gambar).

Teorema Dasar Kalkulus I

Dengan mengasumsikan x berubah terhadap t, pada akhirnya L juga merupakan fungsi dari t. Dari gambar, tampak bahwa rasio laju pertambahan L dan laju pertambahan x dari t = x ke t = x + h kurang lebih sama dengan luas persegi panjang dengan alas h dan tinggi AC (= y) dibagi luas persegi panjang dengan alas h dan tinggi AB (= 1), yang tentu saja sama dengan y. Dengan membayangkan h menuju 0, Newton sampai pada kesimpulan bahwa

Teorema Dasar Kalkulus I - b

Dalam notasi Leibniz (yang diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz) untuk turunan dan integral yang kita kenal sekarang, Newton telah membuktikan bahwa

Teorema Dasar Kalkulus I - c

Jika x(t) = t, maka dx/dt = 1, sehingga persamaan di atas menjadi

Teorema Dasar Kalkulus I - d

yang tidak lain merupakan pernyataan TDK I. (Integral di ruas kiri dikenal sebagai anti-turunan dari y. Nah, TDK I menyatakan bahwa turunan dari integral tersebut sama dengan y.)

Catatan: Artikel ini disadur dari buku Menuju Tak Terhingga, Penerbit ITB, 2016.

*

Bandung, 25-04-2017

Menghampiri Bilangan e

Bilangan e, yang dikenal sebagai bilangan Euler, merupakan salah satu bilangan yang menarik dan juga penting dalam matematika. Bilangan e didefinisikan sebagai bilangan real yang memberikan luas daerah di bawah kurva y = 1/x untuk 1 ≤ x ≤ e tepat sama dengan 1. Dalam notasi integral,

menghampiri e-1

Sebagai bilangan desimal, kita mempunyai e = 2,718281828459045… . Dalam hal ini, bilangan e termasuk bilangan irasional (sila tengok artikel berjudul “Bukti bahwa e Irasional”). Yang ingin dibahas sekarang adalah bagaimana kita dapat menghampiri bilangan e dengan suatu bilangan rasional atau bilangan pecahan.

Ada beberapa cara untuk menghampirinya. Yang pertama adalah dengan menggunakan fakta bahwa

menghampiri e-2

(Bentuk limit ini muncul dalam perhitungan bunga majemuk dengan bunga ‘kontinu’.) Di sini, kita tinggal memilih bilangan asli n yang cukup besar dan menghitung (1 + n-1)n sebagai hampirannya. Namun, bila kita tidak puas dengan ketelitiannya, kita harus mengambil n yang lebih besar dan menghitung lagi bentuk tersebut.

Cara kedua adalah dengan menggunakan fakta bahwa

menghampiri e-3

Dengan memilih suatu bilangan asli n yang cukup besar, kita peroleh hampiran e ≈ 1 + 1/1! + 1/2! + … + 1/n!. Jika kita belum puas dengan ketelitiannya, tinggal kita tambahkan 1/(n+1)! dan seterusnya, sampai ketelitian yang diinginkan.

Lalu ada cara ketiga, yaitu dengan menggunakan bentuk pecahan berlanjut untuk e. Ada beberapa bentuk pecahan berlanjut yang dapat dipakai, tetapi yang paling mudah diingat adalah bentuk pecahan berlanjut di bawah ini:

menghampiri e-4

Sebagai contoh, jika kita menggunakan bentuk pecahan berlanjut ini hingga suku ke-5, maka kita peroleh hampiran e ≈ 144/53. Sayangnya, seperti cara pertama, bila kita belum puas dengan ketelitiannya, kita harus mengulang perhitungan hingga suku ke-n dengan n yang lebih besar.

*

Bandung, 14-04-2017

Menghampiri Bilangan √a

Orang zaman dulu, persisnya orang Mesopotamia pada abad ke-15 SM, sudah mengetahui cara menghampiri bilangan √a dengan bilangan pecahan, dengan ketelitian yang dikehendaki.

Misal a > 0. Untuk memperoleh hampiran untuk nilai √a, konstruksi barisan bilangan (xn) dengan rumus rekursif

barisan hampiran akar-1

dengan x0 = 1 (sebagai hampiran awal). Sebagai contoh, misal a = 2. Maka

barisan hampiran akar-2

Perhatikan bahwa x1 > x2 > x3 > … , yakni barisan (xn) monoton turun. Selain itu, xn > 0 untuk setiap n = 1, 2, 3, … , yakni barisan (xn) terbatas di bawah. Nah, barisan bilangan real yang monoton turun dan terbatas di bawah akan konvergen ke suatu bilangan real L.

Hal serupa terjadi untuk bilangan a > 0 lainnya. Bilangan real L yang dituju tentunya bergantung pada a. Persisnya, L mestilah memenuhi persamaan

barisan hampiran akar-3

yang setara dengan L = a/L atau L2 = a. Karena L > 0, kita peroleh L = √a.

Dengan demikian, bilangan pecahan xn pada barisan di atas merupakan hampiran untuk nilai √a. Semakin besar n, semakin baik hampirannya.

*

Bandung, 11-04-2017