Ada dua Teorema Dasar Kalkulus, yang dinyatakan sebagai Teorema Dasar Kalkulus I (TDK I) dan Teorema Dasar Kalkulus II (TDK II). Kita akan membahas TDK I terlebih dahulu. Secara kasar, TDK I menyatakan jika kita mengintegralkan sebuah fungsi pada interval [a, t] lalu kita turunkan hasilnya terhadap t, maka kita akan memperoleh fungsi semula.
Matematikawan pertama yang membuktikan TDK I adalah Isaac Barrow, tetapi bukti TDK I yang terdapat di buku-buku Kalkulus moderen yang dipakai sebagai rujukan matakuliah matematika tahun pertama di perguruan tinggi dikembangkan dari bukti versi Isaac Newton. Pendekatan yang dipilih oleh Newton, sebagaimana dapat kita terka, adalah melalui konsep fisis kecepatan sesaat dan jarak tempuh (pada gerak lurus dengan kecepatan positif).
Diketahui y = y(t) kontinu untuk t ≥ 0, tinjau luas daerah di bawah kurva y = y(t) untuk 0 ≤ t ≤ x, sebutlah L = L(x). Dalam benak Newton, y(t) menyatakan kecepatan benda pada saat t, dan L(x) merupakan jarak yang ditempuh benda pada interval waktu [0, x]. Nah, diketahui y(t), kita peroleh L(x) melalui pengintegralan. Sebaliknya, Newton menjelaskan bagaimana kita dapat memperoleh y kembali dari L melalui penurunan.
Persisnya, ia meninjau rasio perubahan L terhadap x, sebagai berikut. Selain menggambar daerah di bawah kurva y = y(t), Newton juga menggambar daerah di bawah kurva y = 1 (konstan) sebagai pembanding (lihat gambar).
Dengan mengasumsikan x berubah terhadap t, pada akhirnya L juga merupakan fungsi dari t. Dari gambar, tampak bahwa rasio laju pertambahan L dan laju pertambahan x dari t = x ke t = x + h kurang lebih sama dengan luas persegi panjang dengan alas h dan tinggi AC (= y) dibagi luas persegi panjang dengan alas h dan tinggi AB (= 1), yang tentu saja sama dengan y. Dengan membayangkan h menuju 0, Newton sampai pada kesimpulan bahwa
Dalam notasi Leibniz (yang diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz) untuk turunan dan integral yang kita kenal sekarang, Newton telah membuktikan bahwa
Jika x(t) = t, maka dx/dt = 1, sehingga persamaan di atas menjadi
yang tidak lain merupakan pernyataan TDK I. (Integral di ruas kiri dikenal sebagai anti-turunan dari y. Nah, TDK I menyatakan bahwa turunan dari integral tersebut sama dengan y.)
Catatan: Artikel ini disadur dari buku Menuju Tak Terhingga, Penerbit ITB, 2016.
*
Bandung, 25-04-2017
Bermatematika 