Dari Teorema Dasar Kalkulus I (TDK I) dapat diperoleh Teorema Dasar Kalkulus II (TDK II) yang berbunyi: Jika f kontinu dan mempunyai anti-turunan F [yang memenuhi F’(x) = f(x)] pada interval [a, b], maka
Buktinya adalah sebagai berikut. TDK I telah memberi tahu kita bahwa
merupakan anti-turunan dari f(x) pada [a, b], yakni G’(x) = f(x) untuk setiap x ∈ [a, b]. Akibatnya, kita mempunyai G’(x) − F’(x) = 0 untuk setiap x ∈ [a, b]. Menurut Teorema Nilai Rata-Rata (untuk turunan), hal tersebut hanya mungkin terjadi apabila G(x) − F(x) = C (konstan) untuk setiap x ∈ [a, b]. Jadi, kita peroleh
untuk setiap x ∈ [a, b]. Dengan mensubstitusikan x = a, kita mempunyai F(a) + C = 0 (karena integral pada [a, a] mestilah sama dengan 0). Jadi C = −F(a), dan kesamaan di atas menjadi
untuk setiap x ∈ [a, b]. Khususnya, untuk x = b, kita peroleh
Catatan: Teorema Nilai Rata-Rata untuk turunan menyatakan jika f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b), maka terdapat c ∈ (a, b) sedemikian sehingga f’(c) = [f(b) – f(a)]/(b – a).
*
Bandung, 28-04-2017
Bermatematika 