Teorema Rolle dan Teorema Nilai Rata-Rata untuk Turunan

Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada interval [a, b] dan mempunyai turunan pada interval (a, b). Jika f(a) = f(b), maka terdapat suatu c ∈ (a, b) sedemikian sehingga f‘(c) = 0. Fakta ini dibuktikan pertama kali untuk fungsi polinom oleh Michel Rolle (1652-1719), karena itu diberi nama Teorema Rolle.

Bukti Teorema Rolle untuk fungsi f sembarang diberikan oleh Augustin-Louis Cauchy (1789-1857). Argumentasinya kira-kira sebagai berikut. Ingat jika f kontinu pada interval [a, b] yang kompak, maka menurut sifat kekontinuan f akan mencapai nilai maksimum M di suatu titik c₁ ∈ [a, b] dan f juga mencapai nilai minimum m di suatu titik c₂ ∈ [a, b]. Jika c₁ dan c₂ adalah titik-titik ujung interval [a, b], hipotesis f(a) = f(b) memaksa m = M, dan dalam hal ini f mestilah konstan pada [a, b]. Akibatnya f‘(c) = 0 untuk setiap c ∈ (a, b). Jika c₁ bukan titik ujung [a, b], maka c₁ di (a, b) dan f mencapai nilai maksimum lokal di c₁. Ini hanya dapat terjadi ketika f‘(c₁) = 0. Hal serupa terjadi bila c₂ bukan titik ujung [a, b]. Jadi, dalam kasus manapun, mestilah terdapat c di (a, b) sedemikian sehingga f’(c) = 0. Sebagai ilustrasi, lihat gambar di bawah ini.

Sebagai perumuman dari Teorema Rolle, kita mempunyai Teorema Nilai Rata-Rata, yang berbunyi: Jika f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b), maka terdapat c ∈ (a, b) sedemikian sehingga f‘(c) = [f(b) – f(a)]/(b – a). Nilai [f(b) – f(a)]/(b – a) disebut nilai rata-rata f pada [a, b]. Nilai ini sama dengan gradien ruas garis singgung yang menghubungkan titik (a, f(a)) dan (b, f(b)). Teorema Nilai Rata-rata menyatakan bahwa pada kurva y = f(x) terdapat suatu titik (c, f(c)) dengan gradien garis singgung sama dengan nilai rata-rata f pada [a, b]. Secara fisis, jika y = f(t) menyatakan posisi suatu partikel yang bergerak (sepanjang garis lurus) pada saat t, maka f‘(t) menyatakan kecepatan sesaat partikel pada saat t dan [f(b) – f(a)]/(b – a) menyatakan kecepatan rata-rata partikel tersebut pada interval waktu [a, b]. Teorema Nilai Rata-Rata menyatakan bahwa partikel tersebut akan mencapai kecepatan rata-ratanya pada suatu saat c di (a, b).

Teorema Nilai Rata-Rata dapat dibuktikan dengan meninjau fungsi F yang didefinisikan pada interval [a, b] sebagai F(x) = f(x) – hx dengan h = [f(b) – f(a)]/(b – a). Dalam hal ini, F kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b). Periksa juga bahwa F(a) = F(b), sehingga F memenuhi hipotesis Teorema Rolle. Karena itu, mestilah terdapat suatu titik c ∈ (a, b) sedemikian sehingga F‘(c) = 0. Karena F’(c) = f’(c) – h, kita peroleh f’(c) = h = [f(b) – f(a)]/(b – a).

Sebagaimana telah diungkap dalam artikel sebelumnya, Teorema Nilai Rata-Rata diperlukan dalam pembuktian Teorema Dasar Kalkulus II.

*

Bandung, 02-05-2017