Month: December 2017

Apa sih Matematika Itu?

[Artikel ini disadur dari artikel dengan judul yang senada, yang pernah saya tulis untuk anakbertanya.com.]

Ada yang bertanya: “Apa sih matematika itu?” Banyak orang yang telah menjawab menjawab pertanyaan ini, saya ngga mau ketinggalan. 🙂

Ada yang menganggap matematika sebagai ilmu, tetapi ada juga yang tidak setuju menggolongkannya sebagai sains. Namun banyak orang sepakat bahwa yang dipelajari dalam matematika adalah hal-hal yang berkaitan dengan kuantitas dan bentuk, sebagaimana dideskripsikan dalam kamus.

Sesungguhnya, bila Anda ingin mengetahui apa matematika itu, Anda perlu mendalaminya — bercengkerama dengannya terlebih dahulu. Kalau Anda hanya baru ‘berjumpa’ dengan satu atau dua soal matematika dan mengerjakannya (dengan mudah atau sebaliknya, dengan susah-payah), barangkali Anda belum bisa menjelaskan apa matematika itu. Paling Anda bilang: matematika itu asik! Atau sebaliknya: “Saya benci matematika!”

Saya yang sudah menekuni matematika sekitar tiga puluh tahun pun masih belum bisa ‘mendefinisikan’ apa matematika itu. Namun, belakangan ini, saya merasakan matematika itu mirip dengan ‘hantu’, dan berpendapat bahwa orang yang bisa menguasai matematika seperti orang yang bisa melihat hantu.

Ya, matematika itu ibarat dunia lain. Seorang ahli matematika seolah bisa masuk ke alam matematika, asik bermain di sana, tetapi ketika kembali ke alam fisis dan menceritakannya kepada orang lain, tidak ada yang memahaminya (duh!). Walau menurutnya ‘hantu’ matematika itu cantik, orang tidak percaya. Bahkan banyak yang bertanya: “apa gunanya mempelajari matematika itu?”

Walau demikian, berbeda dengan hantu yang menghuni rumah angker, matematika berkembang sebagai ‘ilmu’ atau sistem pengetahuan, khususnya sejak era Yunani Kuno. Berawal dari geometri dan aritmetika, cabang-cabang matematika lainnya, seperti aljabar, kalkulus, dan statistika pun lahir. Matematika masih berkembang dengan subur hingga saat ini.

Seperti halnya fisika dan kimia, matematika juga merupakan himpunan pengetahuan dan temuan manusia, yang diperoleh dengan metode yang solid, disepakati oleh para pakar dalam bidangnya masing-masing, dan telah banyak diterapkan dalam kehidupan sehari-hari.

Tetapi, berbeda dengan fisika, kimia, dan ilmu lainnya yang berbasis alam (empiris), materi yang dipelajari dalam matematika tidak terindera (oleh panca indera kita). Matematikawan bercengkerama dengan ide (gagasan) atau konsep di alam pikiran, yang dibahas, dikupas, dan didalami dari waktu ke waktu. Kegiatan bermatematika sarat dengan olah pikir atau bernalar. Matematikawan acap kali mencari pola atau struktur, sebelum akhirnya sampai pada suatu kesimpulan: a-ha!

Anda mungkin tidak bisa melihat hantu di rumah angker, tapi Anda bisa loh bersahabat dengan ‘hantu’ matematika. Kemampuan dan kepekaan matematika bisa diasah. Bukan dengan bertapa atau bersemedi di kuburan, tetapi dengan belajar dan berlatih.

*

Bandung, 08-12-2017

Advertisements

Matematika: Ditemukan atau Diciptakan?

Pertanyaan klasik (dan filosofis): matematika itu ditemukan atau diciptakan? Sila lacak artikel yang membahas tentang isu ini, termasuk artikel dalam bahasa Inggris, di Internet. Bejibun! Jadi buat apa saya ikut membahasnya, ya?

Ceritanya begini, belakangan ini, semakin saya pikirkan, dengan semakin banyak pengalaman bermatematika yang saya alami, pertanyaan itu selalu terbayang dan saya semakin condong berpendapat bahwa matematika itu ditemukan. Sebagai contoh, tengoklah Dalil Pythagoras. Apakah Pythagoras menciptakan dalil tersebut atau menemukannya? Saya cenderung mengatakan bahwa Pythagoras menemukannya. Andai ia tidak menemukannya, akan ada orang lain yang menemukannya.

Mari berandai-andai bahwa dunia kiamat, atau Bumi ini hancur disambar asteroid raksasa. Lalu kehidupan di muka Bumi punah, atau manusia, mamalia, dan ikan deh yang punah.. Lalu tidak ada lagi yang mempelajari ataupun mengingat Dalil Pythagoras, ya kan? Burung-burung yang masih hidup (katakanlah mereka tidak punah) kan tidak tahu apa-apa tentang Dalil Pythagoras — walau ini cuma asumsi saya saja. Apakah Dalil Pythagoras punah?

Menurut saya tidak. Dalil Pythagoras tetap ada, menunggu seekor burung menemukannya. Di ‘bumi’ lain, kalau ada makhluk cerdas di sana, Dalil Pythagoras mungkin telah lama ditemukan — tetapi dengan nama berbeda, Dalil Jonas, misalnya. Pernyataannya ya itu-itu juga: pada segitiga siku-siku dengan alas, tinggi, dan sisi miring a, b, dan c, berlaku a2 + b2 = c2.

Ah, mungkin si Jonas (nama yang saya pilih sesuka hati) menggunakan istilah dan notasi berbeda. Ya, dua hal tersebut ia ciptakan, tetapi fakta tentang segitiga siku-siku tersebut ia temukan. Jadi ada bagian dari matematika yang diciptakan, khususnya istilah dan notasi, tetapi fakta-fakta matematikanya — menurut saya — ditemukan.

*

Bandung, 05-12-2017

 

Ketaksamaan Markov

Dalam teori peluang, tidak semua kejadian dapat ditentukan peluangnya secara persis atau eksak. Ketaksamaan Markov memberikan suatu taksiran untuk peluang suatu kejadian terkait dengan suatu peubah acak. Persisnya, ketaksamaan Markov berbunyi:

dengan U menyatakan suatu peubah acak tak negatif (bayangkan misalnya bilangan yang muncul pada pelemparan dadu), a > 0, dan E(U) menyatakan ekspektasi dari U.

Misal X ruang peluang dengan ukuran peluang P,  U adalah suatu peubah acak tak negatif, dan a > 0. Jika A = { X : U(x) ≥ a}, maka sebagaimana telah dibahas dalam artikel sebelumnya peluang A adalah

Di sini χmenyatakan fungsi karakteristik dari himpunan A, yang kita pandang sebagai suatu peubah acak. Nah, ketika x ∈ A, kita mempunyai χA(x) = 1 ≤ U(x)/a, dan ketika x ∉ A, kita mempunyai χA(x) = 0 ≤ U(x)/a. Jadi,

ketaksamaan Markov - a.png

sebagaimana diharapkan.

*

Bandung, 01-12-2017