Misalkan Q = {rk : k ∈ N} menyatakan himpunan semua bilangan rasional. Definisikan fungsi f : R → R dengan rumus
Buktikan bahwa:
(a) f monoton naik.
(b) f tak kontinu di setiap bilangan rasional.
(c) f kontinu di setiap bilangan irasional.
Catatan: Walau f mempunyai rumus yang cukup gamblang, kita tidak dapat menggambar grafik fungsinya.
*
Bandung, 02-06-2017
Ada berapa banyak bilangan asli? Tak terhingga. Ada berapa banyak bilangan rasional? Tak terhingga juga. Mana yang lebih banyak: bilangan asli atau bilangan rasional? Sama banyak, dalam arti terdapat korespondensi satu-ke-satu di antara kedua himpunan bilangan tersebut. Dengan perkataan lain, bilangan rasional ‘dapat dinomori’ satu-per-satu.
Sumber gambar: http://whatis.techtarget.com
Lalu ada berapa banyak bilangan real? Nah, ini seru! Jawabannya tak terhingga juga, tetapi rupanya tidak sama dengan ketakterhinggaan himpunan bilangan asli. Bilangan real jauuuuh lebih banyak daripada bilangan asli.
Dengan menggunakan notasi bilangan desimal, setiap bilangan real x dapat dituliskan sebagai x := a,b1b2b3b4b5b6… dengan a bilangan bulat dan bi ∊ {0, 1, 2, 3, … , 9}.
Untuk membuktikan bahwa bilangan real jauh lebih banyak daripada bilangan asli, kita gunakan metode kontradiksi. Andaikan semua bilangan real ‘dapat dinomori’. Dengan perkataan lain, kita dapat mendaftarkannya sebagai {x1, x2, x3, x4, x5, … } dengan:
x1 := a1,b11b12b13b14b15b16…
x2 := a2,b21b22b23b24b25b26…
x3 := a3,b31b32b33b34b35b36…
x4 := a4,b41b42b43b44b45b46…
x5 := a5,b51b52b53b54b55b56…
dan seterusnya. Nah, sekarang kita definisikan bilangan y := 0,c1c2c3c4c5c6… dengan ci := 7 bila 0 ≤ bii ≤ 4, dan ci := 3 bila 5 ≤ bii ≤ 9, untuk setiap i = 1, 2, 3, … , maka bilangan ini tidak terdapat dalam daftar di atas, karena ci = 3 atau 7 dan pasti berbeda dengan bii untuk setiap i. Padahal, y merupakan bilangan real (di antara 0 dan 1). Jadi, bagaimanapun caranya kita berupaya mendaftarkan bilangan real, akan selalu ada bilangan real yang terlewatkan. Himpunan bilangan asli tidak cukup banyak untuk menomori semua bilangan real.
Metode pembuktian di atas dikenal sebagai Metode Diagonalisasi Cantor, yang dicetuskan oleh Georg Cantor (1845-1918). Metode ini dapat dipakai untuk membuktikan secara umum bahwa kardinalitas suatu himpunan selalu lebih kecil daripada kardinalitas himpunan kuasanya.
*
Bandung, 03-10-2016
Bilangan Euler e yang didefinisikan sebagai jumlah deret
merupakan bilangan irasional. Buktinya dapat ditemukan di banyak sumber, termasuk di dunia maya. Bila Anda pernah berkunjung ke blog ariaturns.com yang dikelola oleh Nursatria Vidya Adikrisna, Anda dapat menemukan buktinya di sana.
Sebagai blog matematika, rasanya tak lengkap bila Bermatematika.net tidak membahas irasionalitas bilangan e. So, baiklah, kita akan membahas buktinya di sini. Siapa tahu banyak yang belum pernah mengetahuinya.
Untuk membuktikan bahwa bilangan e irasional, kita gunakan metode reductio ad absurdum, yaitu dengan mengandaikan bahwa e rasional. Dengan pengandaian ini, dan mengingat bahwa e adalah suatu bilangan positif di antara 2 dan 3, bilangan e dapat dituliskan sebagai p/q dengan p dan q bilangan bulat positif, dan q > 1. Jadi, kita mempunyai
Nah, sekarang kalikan masing-masing ruas dengan q!, sehingga kita peroleh
Perhatikan bahwa q!e = p(q – 1)! dan q!(1 + 1/1! + 1/2! + … + 1/q!) merupakan bilangan bulat positif, sehingga selisihnya seharusnya merupakan suatu bilangan bulat. Namun, kita amati bahwa
yang ternyata merupakan bilangan di antara 0 dan 1, bukan suatu bilangan bulat. Jadi kita peroleh suatu kontradiksi, yang bersumber dari pengandaian bahwa e rasional. Karena itu, e mestilah irasional.
*
Bandung, 18-07-2016
Buktikan bahwa log 2, yaitu bilangan real x yang memenuhi 10x = 2, merupakan bilangan irasional.
*
Bandung, 25-04-2016
Bilangan irasional √2 telah dikenal oleh Pythagoras dan para muridnya, sejak abad ke-5 SM. Bukti klasik yang mengesahkan statusnya sebagai bilangan irasional berbunyi sebagai berikut: Andaikan √2 rasional, yakni terdapat bilangan asli m dan n, dengan FPB(m,n) = 1, sedemikian sehingga m/n = √2. Dalam hal ini, kita mempunyai m2 = 2n2, yang berarti bahwa m2 genap. Akibatnya, m juga genap, yakni m = 2k untuk suatu bilangan asli k, dan n mestilah ganjil — karena FPB(m,n) = 1. Selanjutnya, substitusikan m = 2k ke persamaan m2 = 2n2, kita peroleh 4k2 = 2n2 atau 2k2 = n2. Ini berarti bahwa n2 genap, dan akibatnya n juga genap. Jadi n ganjil dan sekaligus genap, sesuatu yang mustahil! Karena itu kita simpulkan bahwa √2 tidak mungkin rasional. [Bukti seperti ini dikenal sebagai Bukti Tidak Langsung atau Bukti dengan Kontradiksi.]
Dalam matematika, sebuah dalil kadang dapat dibuktikan dengan beberapa cara. Nah, selain bukti di atas, terdapat pula bukti geometris yang mengukuhkan irasionalitas √2, sebagai berikut. Andaikan, seperti tadi, terdapat bilangan asli m dan n, dengan FPB(m,n) = 1, sedemikian sehingga m/n = √2. Secara geometris, ini setara dengan eksistensi sebuah segitiga siku-siku sama kaki, ∆ABC, dengan alas dan tinggi sama dengan n dan sisi miring m. Karena FPB(m,n) = 1, segitiga ini merupakan segitiga siku-siku sama kaki TERKECIL yang ketiga panjang sisinya bilangan asli. Sekarang, tarik busur lingkaran BD dengan titik pusat A, dan tarik garis DE yang menyinggung busur lingkaran di D, seperti pada gambar. Kita peroleh segitiga siku-siku sama kaki ∆CDE, dengan CD = DE = m – n, yang merupakan bilangan asli.
Selanjutnya, bila kita tarik garis AE (tidak diperlihatkan pada gambar), kita peroleh ∆ABE sama dan sebangun dengan ∆ADE. Akibatnya, BE = DE = m – n dan CE = n – (m – n) = 2n – m, yang juga merupakan bilangan asli. Jadi ∆CDE merupakan segitiga siku-siku sama kaki yang LEBIH KECIL daripada ∆ABC dan juga memiliki panjang alas, tinggi, dan sisi miring bilangan asli. Ini bertentangan dengan fakta bahwa ∆ABC merupakan segitiga terkecil yang bersifat demikian. Jadi, pengandaian bahwa √2 rasional mestilah salah.
Anda juga dapat membuktikan bahwa √5 irasional secara geometris, seperti di atas. Sila coba!
*
Bandung, 23-04-2016
