Sistem bilangan rasional dengan operasi penjumlahan dan perkalian padanya merupakan suatu lapangan, yang memenuhi sifat komutatif dan asosiatif terhadap penjumlahan dan perkalian, eksistensi unsur identitas 0 terhadap penjumlahan dan unsur identitas 1 terhadap perkalian, eksistensi unsur lawan terhadap penjumlahan bagi setiap bilangan rasional, dan eksistensi unsur kebalikan terhadap perkalian bagi setiap bilangan rasional tak nol. Selain itu, berlaku pula sifat distributif: a(b + c) = ab + ac, untuk setiap bilangan rasional a, b, dan c.
Sistem bilangan rasional juga memenuhi sifat urutan: ada bilangan rasional positif dan bilangan rasional negatif, dan jika a dan b adalah dua bilangan rasional positif, maka a + b dan ab juga merupakan bilangan real positif. Selain itu, ada Hukum Trikotomi: jika a adalah suatu bilangan rasional, maka hanya satu di antara tiga kemungkinan berikut yang terjadi, yaitu atau a adalah bilangan rasional positif, atau –a adalah bilangan rasional positif, atau a = 0.
Satu kekurangan sistem bilangan rasional adalah bahwa kita dapat mempunyai sebuah himpunan bilangan rasional yang terbatas di atas, tetapi himpunan tersebut tidak memiliki batas atas terkecil. Setara dengan itu, kita dapat mempunyai sebuah barisan yang sepertinya konvergen, tetapi ternyata kita tidak dapat menemukan limitnya! Sebagai contoh, ambil barisan 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213, … . Bila kita kuadratkan suku-suku pada barisan ini, kita akan peroleh bilangan yang nilainya semakin mendekati 2. Bila barisan ini mempunyai limit, sebutlah x, maka x haruslah memenuhi persamaan x2 = 2. Tetapi, sial, tidak ada bilangan rasional x yang memenuhi persamaan tersebut.
Sistem bilangan real kemudian dikonstruksi untuk menutupi kekurangan ini. Setiap himpunan bilangan real yang terbatas di atas dijamin atau tepatnya ‘dipaksa’ untuk mempunyai batas atas terkecil.
Bila seluruh bilangan rasional ditebar pada sebuah garis berdasarkan nilainya, terdapat banyak titik yang tidak tertutupi oleh bilangan rasional. Berbeda dengan bilangan rasional, setiap bilangan real tidak hanya akan menempati suatu titik pada garis tersebut, tetapi juga sebaliknya setiap titik pada garis tersebut akan ditempati oleh tepat sebuah bilangan real. Garis bilangan real merupakan suatu model geometri untuk sistem bilangan real yang paling mudah dibayangkan.
Namun, bila Anda renungkan kembali, konstruksi bilangan real secara rigorous tidaklah sesederhana itu. Selain menggunakan representasi bilangan desimal, saya telah menyinggung ‘definisi’ bilangan real sebagai barisan bilangan rasional. Ada satu lagi yang dapat dipakai untuk mengkonstruksi bilangan real, yaitu Dedekind cuts. Bila Anda tertarik untuk mempelajarinya, sila google frase tersebut.
*
Bandung, 16-01-2018
Bermatematika 