Month: February 2017

Jumlah Deret 1/n^2

Pada problem sebelumnya, Anda diminta membuktikan ketaksamaan terkait dengan jumlah deret 1 + 1/22 + 1/32 + … = π2/6. Fakta ini ‘dibuktikan’ oleh Leonhard Euler pada tahun 1734 dengan menggunakan hasil kali tak terhingga untuk sinc x:

jumlah-deret-1-per-n2-_-2

Berdasarkan hasil kali di atas, koefisien x2 dari sinc x adalah

jumlah-deret-1-per-n2-3

Tetapi kita juga mempunyai uraian deret Maclaurin untuk sinc x, yaitu

jumlah-deret-1-per-n2-4

Dalam uraian deret ini, koefisien x2 dari sinc x adalah -1/3! = -1/6. Jadi mestilah

jumlah-deret-1-per-n2-5

dan dari hubungan ini kita peroleh hasil yang diinginkan, yaitu

jumlah-deret-1-per-n2-1

*

Bandung, 24-02-2017

Menghampiri Jumlah Deret 1/n^2

Minggu lalu (13-17 Februari 2017) saya berkunjung ke La Trobe University di Melbourne. Di pintu ruang kerja Dr. Peter van der Kamp, salah seorang dosen matematika di sana, tertempel secarik kertas bertuliskan ketaksamaan

hampiran-deret-1-per-n2

Kebetulan, materi kuliah Kalkulus minggu lalu di ITB adalah tentang deret. Adakah di antara mahasiswa tahun pertama yang dapat membuktikan ketaksamaan di atas?

Mahasiswa pertama yang dapat membuktikan ketaksamaan di atas dengan benar dalam waktu seminggu sejak problem ini ditayangkan akan saya beri kaos oblong bermatematika.net. 🙂

*

Bandung, 21-02-2017

Hasil Kali Tak Terhingga untuk Sinc x dan Rumus Wallis untuk Pi

Pada tahun 1730-an, Leonhard Euler (1707-1783) ‘membuktikan’ bahwa

infinite-product-1

untuk setiap bilangan real x. Bagaimana caranya Euler mendapatkan rumus ini?

Bila p(x) adalah polinom berderajarat n yang memiliki n akar r1, r2, …, rn, maka p(x) = C(xr1)(xr2) … (xrn). Bila tidak akar yang bernilai 0, maka kita dapat menuliskannya sebagai p(x) = K(1 – x/r1)(1 – x/r2) … (1 – x/rn), dengan K = p(0). Nah, fungsi sinc x mempunyai tak terhingga akar, yaitu x = ±nπ, dengan n = 1, 2, 3, … , dan sinc 0 = 1. Dengan sedikit ‘iman’, Euler menyimpulkan bahwa

infinite-product-2

Fakta ini dikukuhkan kemudian oleh Karl Weierstrass (1815-1897). Secara umum Weierstrass membuktikan bahwa hal serupa berlaku untuk sembarang fungsi bernilai kompleks yang bersifat entire. (Sebagai fungsi bernilai kompleks, sinc z merupakan fungsi entire.) Hasil ini dikenal sebagai Teorema Faktorisasi Weierstrass, yang dapat dianggap sebagai perumuman dari Teorema Dasar Aljabar.

O ya, perhatikan bahwa bila kita pilih x = π/2, maka rumus di atas memberikan

infinite-product-3

yang tak lain merupakan Rumus Wallis untuk bilangan π.

*

Bandung, 14-02-2017

Fungsi Sinc 1/x

Terkait dengan fungsi sinc x, ada fungsi sinc (1/x) = sin (1/x) yang mempunyai perilaku menarik di sekitar x = 0. Untuk membuatnya kontinu di 0, kita definisikan

x-sin-1perx

Nah, di bawah ini adalah grafik fungsinya untuk (a) -2 ≤ x ≤ 2, (b) -0.5 ≤ x ≤ 0.5, dan (c) -0.125 ≤ x ≤ 0.125.

 

x-sin-1-per-x-bx-sin-1-per-x-a

x-sin-1-per-x-o

 

Kekontinuan f di 0 tentu saja dibuktikan dengan Prinsip Apit. Selain itu, catat bahwa f(x) menuju 1 ketika |x| menuju ∞.

Anggapan umum bahwa grafik fungsi f yang kontinu pada [a, b] dapat digambar ‘tanpa mengangkat pena’ dari titik (a, f(a)) ke titik (b, f(b)) tidak berlaku untuk fungsi f di atas. Bahkan bila kita diminta menggambar grafiknya ‘dengan tangan’ pada interval [0, 0.5] mulai dari titik (0, 0), kita tidak tahu apakah pena harus kita gerakkan ke atas, ke bawah, atau mendatar ke kanan, karena f tidak mempunyai turunan di 0.

Selain itu, panjang kurva y = f(x) dari (0, 0) ke (0.5, f(0.5)) juga tak terhingga — jadi kalau kita menggambar grafiknya dari kanan ke kiri, maka tangan kita akan pegal dan tidak akan pernah sampai di (0, 0). Grafik yang diperoleh dengan program komputer seperti di atas hanyalah merupakan hampiran.

*

Bandung, 10-02-2017

Limit Fungsi Sinc x dan Prinsip Apit

Fungsi f(x) = sinc x kontinu di 0 karena ketika x menuju 0, sinc x menuju f(0), yaitu 1. Fakta ini diperoleh dengan bantuan Prinsip Apit, mengingat cos x ≤ sinc x ≤ 1 untuk x di sekitar 0 (lihat gambar), dan cos x menuju 1 bila x menuju 0.

limit-sinc-0

O ya, Prinsip Apit menyatakan jika suatu fungsi diapit oleh dua fungsi lain, dan kedua fungsi pengapitnya memiliki limit yang sama di suatu titik, maka fungsi yang diapit tadi akan memiliki limit yang sama di titik tersebut.

Persisnya, misalkan f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk x di sekitar c. Prinsip Apit berbunyi:

prinsip-apit

Nah, pada kasus di atas, f(x) = cos x, g(x) = sinc x, dan h(x) = 1, dengan c = 0 dan L = 1.

Dengan Prinsip Apit pula, kita dapat membuktikan bahwa sinc x menuju 0 bila x menuju tak terhingga, mengingat untuk setiap x > 0 kita mempunyai

sinc-x-terapit

dan 1/x menuju 0 bila x menuju tak terhingga. (Serupa dengan itu, sinc x menuju 0 bila x menuju minus tak terhingga.)

Jadi, dengan Prinsip Apit, kita telah membuktikan

limit-fungsi-sinc

Pengetahuan tentang limit sinc x di 0 dipakai antara lain untuk membuktikan bahwa turunan dari sin x adalah cos x.

*

Bandung, 07-02-2017

Fungsi Sinc x

Masih ingat problem tentang sin x per x? Fungsi f yang didefinisikan dengan f(0) = 1 dan f(x) = (sin x)/x untuk x ≠ 0 dikenal sebagai fungsi sinc.

Fungsi f(x) = sinc x kontinu di setiap titik dan mempunyai tak terhingga banyak akar, yaitu x = ±nπ dengan n = 1, 2, 3, …, mengingat sin nπ = 0 untuk n = ±1, ±2, ±3, … .

Grafik fungsi y = sinc x berbentuk seperti di bawah ini:

sinc-x

Ada banyak fakta menarik tentang fungsi f(x) = sinc x. Nantikan beberapa artikel (dan problem) berikutnya di blog ini. 😉

*

Bandung, 03-02-2017