kekontinuan

Turunan dan Kekontinuan – II

Di sekolah ataupun di perguruan tinggi, guru atau dosen sering memberi contoh fungsi yang kontinu di suatu titik tetapi tidak mempunyai turunan di titik tersebut. Contoh yang biasa diberikan adalah fungsi f(x) = |x| di titik 0.

grafik fungsi nilai mutlak

Nah, terkait dengan artikel sebelumnya, buktikan bahwa masing-masing fungsi di bawah ini kontinu di 0 tetapi tidak mempunyai turunan di 0. Petunjuk: Perhatikan grafik fungsinya.

(a)

 

fungsi akar x ganjil

(b)

rumus fungsi sinc 1 per x

x-sin-1-per-x-o

Catatan. Kedua fungsi di atas mempunyai karakteristik yang berbeda terkait dengan ketiadaan turunannya di 0. Keduanya juga berbeda dengan fungsi nilai mutlak yang tidak mempunyai turunan di 0 karena grafiknya ‘patah’ di 0.

*

Bandung, 14-07-2017

Advertisements

Turunan dan Kekontinuan – I

Bila Anda sudah ‘mencicipi’ Kalkulus, tentunya Anda sudah mengetahui apa yang dimaksud dengan turunan dari suatu fungsi, serta riwayatnya – yang terkait dengan upaya Newton menentukan kecepatan sesaat dari suatu partikel yang bergerak dan upaya Leibniz menentukan gradien garis singgung pada suatu kurva di suatu titik.

Diberikan sebuah fungsi f : I → R, dengan I ⊆ R suatu interval yang memuat titik c, turunan dari f di titik c didefinisikan sebagai

definisi turunan

asalkan limit ini ada. Perhatikan jika f mempunyai turunan di c, maka

turunan dan kekontinuan

dan karena itu

limit fungsi kontinu

yang berarti bahwa f kontinu di c. Jadi, kekontinuan f di c merupakan syarat perlu bagi eksistensi turunan f di c. Tetapi, ada banyak contoh yang memperlihatkan bahwa kekontinuan f di c bukanlah merupakan syarat cukup bagi eksistensi turunan f di c.

Salah satu contoh penyangkalnya adalah f(x) = |x|. Fungsi ini kontinu di 0, tetapi tidak mempunyai turunan di 0 karena

turunan nilai mutlak di 0

tidak ada (limit kirinya sama dengan -1, sedangkan limit kanannya sama dengan 1).

Terkait dengan eksistensi limit, kita mengetahui ada beberapa hal yang dapat menyebabkan limit suatu fungsi di suatu titik tidak ada. Penyebab pertama adalah limit kiri dan limit kanannya ada tetapi tidak sama. Penyebab kedua adalah limit kiri atau limit kanannya tidak ada, entah karena ‘menuju tak terhingga’ atau ‘berosilasi’.

Problem: Temukan fungsi f yang kontinu di suatu titik c tetapi tidak mempunyai turunan di titik itu karena limit kiri dan/atau limit kanan dari [f(x) – f(c)]/(xc) tidak ada, khususnya karena (a) limit kiri dan/atau limit kanannya ‘menuju tak terhingga’ dan (b) limit kiri dan/atau limit kanannya ‘berosilasi’.

*

Bandung, 11-07-2017

Fungsi Kontinu – II

Misalkan X = (0, ½) ∪ (½, 1) dan f : X → R mempunyai grafik sebagai berikut:

Di sini, f(x) = ½ jika x ∈ (0, ½) dan f(x) = 1 jika x ∈ (½, 1). Nah, walau grafiknya seperti di atas, f merupakan fungsi yang kontinu pada X. Bila Anda mengatakan bahwa f tidak kontinu di ½, saya ingatkan Anda bahwa ½ bukan anggota X. Fungsi f kontinu di setiap anggota X, jadi f kontinu pada X.

*

Bandung, 23-06-2017

Fungsi Kontinu – I

Di blog ini, saya pernah memperkenalkan fungsi kontinu di ruang metrik. Misalkan (X, d1) dan (Y, d2) ruang metrik, f : X → Y adalah fungsi dari X ke Y, dan c adalah anggota X. Fungsi f dikatakan kontinu di c apabila semakin dekat x ke c, semakin dekat f(x) ke f(c). Persisnya, f kontinu di c apabila untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x ∈ X dengan d1(x, c) < δ berlaku d2(f(x), f(c)) < ε.

Nah, jika X = [a, b] dan Y = R dilengkapi dengan metrik d(x, y) = |x − y|, maka fungsi f : X → Y dikatakan kontinu di c ∈ X apabila untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x ∈ X dengan |x − c| < δ berlaku |f(x) − f(c)| < ε. Setara dengan itu, fungsi f kontinu di c ∈ X apabila untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x ∈ X ∩ (c − δ, c + δ) berlaku f(x) ∈ (f(c) − ε, f(c) + ε).

Perhatikan jika c = a, maka X ∩ (a − δ, a + δ) = [a, a + δ), sehingga definisi di atas menyatakan bahwa f kontinu di a apabila untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 cukup kecil sedemikian sehingga untuk setiap x ∈ [aa + δ) berlaku f(x) ∈ (f(a) − ε, f(a) + ε). Serupa dengan itu, jika c = b, definisi di atas menyatakan bahwa f kontinu di b apabila untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 cukup kecil sedemikian sehingga untuk setiap x ∈ (b − δ, b] berlaku f(x) ∈ (f(b) − ε, f(b) + ε).

Ya, dalam hal X = [a, b], kekontinuan f di a setara dengan kekontinuan kanan di a dan kekontinuan f di b setara dengan kekontinuan kiri di b.

Cerita tentang kekontinuan fungsi di suatu titik akan menjadi seru ketika X merupakan bukan merupakan interval. Salah satu contohnya dapat ditemui dalam artikel sebelumnya. Nah, dalam beberapa artikel yang akan datang, kita akan membahas beberapa contoh fungsi kontinu lainnya, yang mungkin belum pernah Anda jumpai sebelumnya.

*

Bandung, 20-06-2017

Fungsi Monoton Sejati yang Kontinu pada Interval

Fungsi f yang naik sejati pada I mempunyai invers -1 yang naik sejati pada J = {f(x) : x ∈ I}. Nah, jika diketahui bahwa I merupakan interval dan f kontinu pada I, maka daerah nilainya yaitu J juga merupakan suatu interval dan -1 kontinu pada J, sebagaimana dinyatakan dalam teorema berikut.

Teorema. Misalkan f : I → J dengan I = [a, b] dan J = {f(x) : x ∈ I}. Jika f naik sejati dan kontinu pada I, maka -1 : J → I kontinu pada J.

Teorema ini dapat dibuktikan secara tidak langsung alias dengan kontradiksi. Andaikan -1 tidak kontinu di suatu titik d ∈ J. Asumsikan bahwa d bukan titik ujung J. Mengingat -1 naik sejati pada J, maka -1() dan -1(d+) ada, dan -1() < -1(d+). Sekarang misalkan c ∈ I sedemikian sehingga

-1() < c < -1(d+) dan c-1(d).

Akibatnya f(c) tidak terdefinisi (buatlah ilustrasinya!), dan ini bertentangan dengan hipotesis bahwa f terdefinisi pada I. [QED]

*

Bandung, 16-06-2017

Fungsi Monoton Tak Kontinu yang Inversnya Kontinu

Barangkali ada yang penasaran dengan problem terkait kekontinuan invers fungsi monoton yang ditayangkan pada tanggal 09-06-2017. Jawabannya adalah “mungkin”. Contohnya adalah fungsi f yang memiliki grafik sebagai berikut:

Perhatikan bahwa f naik sejati pada [0, 1] dan tidak kontinu di x = ½. Inversnya merupakan fungsi naik sejati yang terdefinisi pada [0, 1) ∪ [2, 3], dengan grafik sebagaimana diperlihatkan di bawah ini:

Nah, f -1 merupakan fungsi yang kontinu pada [0, 1) ∪ [2, 3], ya kan?

*

Bandung, 13-06-2017

Fungsi Sinc 1/x

Terkait dengan fungsi sinc x, ada fungsi sinc (1/x) = sin (1/x) yang mempunyai perilaku menarik di sekitar x = 0. Untuk membuatnya kontinu di 0, kita definisikan

x-sin-1perx

Nah, di bawah ini adalah grafik fungsinya untuk (a) -2 ≤ x ≤ 2, (b) -0.5 ≤ x ≤ 0.5, dan (c) -0.125 ≤ x ≤ 0.125.

 

x-sin-1-per-x-bx-sin-1-per-x-a

x-sin-1-per-x-o

 

Kekontinuan f di 0 tentu saja dibuktikan dengan Prinsip Apit. Selain itu, catat bahwa f(x) menuju 1 ketika |x| menuju ∞.

Anggapan umum bahwa grafik fungsi f yang kontinu pada [a, b] dapat digambar ‘tanpa mengangkat pena’ dari titik (a, f(a)) ke titik (b, f(b)) tidak berlaku untuk fungsi f di atas. Bahkan bila kita diminta menggambar grafiknya ‘dengan tangan’ pada interval [0, 0.5] mulai dari titik (0, 0), kita tidak tahu apakah pena harus kita gerakkan ke atas, ke bawah, atau mendatar ke kanan, karena f tidak mempunyai turunan di 0.

Selain itu, panjang kurva y = f(x) dari (0, 0) ke (0.5, f(0.5)) juga tak terhingga — jadi kalau kita menggambar grafiknya dari kanan ke kiri, maka tangan kita akan pegal dan tidak akan pernah sampai di (0, 0). Grafik yang diperoleh dengan program komputer seperti di atas hanyalah merupakan hampiran.

*

Bandung, 10-02-2017