kontinu

Turunan dan Kekontinuan – III

Kita telah mengetahui bahwa eksistensi turunan sebuah fungsi di suatu titik mengakibatkan kekontinuan fungsi di titik tersebut. Nah, apakah kita bisa menyimpulkan lebih daripada itu? Persisnya: apakah eksistensi turunan sebuah fungsi di suatu titik juga mengakibatkan kekontinuan fungsi di sekitar titik tersebut? Jawabannya negatif. Sebagai contoh, fungsi f yang didefinisikan sebagai

merupakan fungsi yang mempunyai turunan di 0 (dengan f ‘(0) = 0), tetapi f hanya kontinu di 0, tidak di titik lainnya.

*

Bandung, 18-07-2017

Turunan dan Kekontinuan – II

Di sekolah ataupun di perguruan tinggi, guru atau dosen sering memberi contoh fungsi yang kontinu di suatu titik tetapi tidak mempunyai turunan di titik tersebut. Contoh yang biasa diberikan adalah fungsi f(x) = |x| di titik 0.

grafik fungsi nilai mutlak

Nah, terkait dengan artikel sebelumnya, buktikan bahwa masing-masing fungsi di bawah ini kontinu di 0 tetapi tidak mempunyai turunan di 0. Petunjuk: Perhatikan grafik fungsinya.

(a)

 

fungsi akar x ganjil

(b)

rumus fungsi sinc 1 per x

x-sin-1-per-x-o

Catatan. Kedua fungsi di atas mempunyai karakteristik yang berbeda terkait dengan ketiadaan turunannya di 0. Keduanya juga berbeda dengan fungsi nilai mutlak yang tidak mempunyai turunan di 0 karena grafiknya ‘patah’ di 0.

*

Bandung, 14-07-2017

Fungsi Kontinu Seragam – II

Terkait dengan ke(tak)kontinuan seragam, perhatikan kembali daerah asal dan grafik kedua fungsi di bawah ini.

fungsi kontinu pada domainnya          fungsi kontinu-iii

Pada fungsi pertama, x = ½ bukan anggota daerah asal, tetapi ia ‘menempel’ pada daerah asal f. Jika kita kemudian ingin memperluas daerah asal f sehingga mencakup x = ½, maka berapa pun nilai f(½) yang kita pilih, fungsi yang dihasilkan tidak mungkin kontinu di ½. Dalam hal ini, fungsi f tidak mempunyai perluasan yang kontinu pada (0, 1). Ini terjadi karena f tidak kontinu seragam pada (0, ½) ∪ (½, 1).

Pada fungsi kedua, x = 0 bukan anggota daerah asal, tetapi ia ‘menempel’ pada daerah asal f. Nah, berbeda dengan fungsi sebelumnya, kita dapat mendefinisikan f(0) = 0 sehingga kita peroleh fungsi perluasan dari f yang kontinu pada {1/n : n ∈ N} ∪ {0}. Ini dimungkinkan karena f kontinu seragam pada {1/n : n ∈ N}.

*

Bandung, 07-07-2017

Fungsi Kontinu – I

Di blog ini, saya pernah memperkenalkan fungsi kontinu di ruang metrik. Misalkan (X, d1) dan (Y, d2) ruang metrik, f : X → Y adalah fungsi dari X ke Y, dan c adalah anggota X. Fungsi f dikatakan kontinu di c apabila semakin dekat x ke c, semakin dekat f(x) ke f(c). Persisnya, f kontinu di c apabila untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x ∈ X dengan d1(x, c) < δ berlaku d2(f(x), f(c)) < ε.

Nah, jika X = [a, b] dan Y = R dilengkapi dengan metrik d(x, y) = |x − y|, maka fungsi f : X → Y dikatakan kontinu di c ∈ X apabila untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x ∈ X dengan |x − c| < δ berlaku |f(x) − f(c)| < ε. Setara dengan itu, fungsi f kontinu di c ∈ X apabila untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x ∈ X ∩ (c − δ, c + δ) berlaku f(x) ∈ (f(c) − ε, f(c) + ε).

Perhatikan jika c = a, maka X ∩ (a − δ, a + δ) = [a, a + δ), sehingga definisi di atas menyatakan bahwa f kontinu di a apabila untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 cukup kecil sedemikian sehingga untuk setiap x ∈ [a, a + δ) berlaku f(x) ∈ (f(a) − ε, f(a) + ε). Serupa dengan itu, jika c = b, definisi di atas menyatakan bahwa f kontinu di b apabila untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 cukup kecil sedemikian sehingga untuk setiap x ∈ (b − δ, b] berlaku f(x) ∈ (f(b) − ε, f(b) + ε).

Ya, dalam hal X = [a, b], kekontinuan f di a setara dengan kekontinuan kanan di a dan kekontinuan f di b setara dengan kekontinuan kiri di b.

Cerita tentang kekontinuan fungsi di suatu titik akan menjadi seru ketika X merupakan bukan merupakan interval. Salah satu contohnya dapat ditemui dalam artikel sebelumnya. Nah, dalam beberapa artikel yang akan datang, kita akan membahas beberapa contoh fungsi kontinu lainnya, yang mungkin belum pernah Anda jumpai sebelumnya.

*

Bandung, 20-06-2017

Fungsi Tangga Cantor

Masih ingat himpunan Cantor terner? Nah, terkait dengan himpunan Cantor terner, ada fungsi tangga Cantor yang grafiknya seperti diperlihatkan di bawah ini.

cantor-function

Fungsi ini kontinu dan monoton naik pada [0, 1], tetapi tidak mempunyai turunan di titik-titik ujung interval Ii.

Problem (mudah): Berapa luas daerah di bawah kurva fungsi tangga Cantor ini?

*

Bandung, 14-11-2016

Titik Belok dan Titik Riak

Ketika memeriksa berkas ujian Kalkulus semester ini, saya menemukan kesalahan yang acap kali dilakukan oleh sejumlah mahasiswa dari tahun ke tahun. Salah satu kesalahan tersebut terkait dengan konsep titik belok (Ing. “inflection point”). Beberapa mahasiswa menulis bahwa titik belok dari y = f(x) adalah titik c dengan f ’’(c) = 0. Padahal, dalam kuliah, telah didefinisikan bahwa titik belok dari y = f(x) adalah titik c sedemikian sehingga f kontinu di c dan kecekungan kurva di sebelah kiri c berbeda dengan kecekungan kurva di sebelah kanan c.

Sebagai contoh, c = 0 merupakan titik belok dari y = f(x) = x3, karena f kontinu di 0, f cekung ke bawah di sebelah kiri 0 (f ’’(x) = 6x < 0 untuk x < 0), dan f cekung ke atas di sebelah kanan 0 (f ’’(x) = 6x > 0 untuk x > 0). Memang, untuk contoh ini, kita mempunyai f ’’(0) = 0, tetapi ini bukan merupakan syarat cukup untuk menjadikan c = 0 titik belok.

Untuk melihat bahwa secara umum f ’’(c) = 0 bukan syarat cukup untuk menjadikan c titik belok, tinjau contoh lainnya, yaitu y = f(x) = x4. Di sini, f’(x) = 4x3 dan f ’’(x) = 12x2. Jadi f ’’(0) = 0, tetapi f ’’(x) > 0 baik untuk x > 0 maupun x < 0. Jadi kurva y = f(x) memiliki kecekungan yang sama di sebelah kiri dan kanan 0. Titik c = 0 dalam hal ini bukan merupakan titik belok.

Titik c dengan f ’’(c) = 0 tetapi f ’’(x) bertanda sama di sebelah kiri dan kanan c disebut titik riak (Ing. “undulation point”). Selain pada kurva y = f(x) = x4, titik c = 0 juga merupakan titik riak pada kurva y = f(x) = x4 + x, yang grafiknya diperlihatkan pada gambar di bawah ini.

Masih terkait dengan kurva y = f(x) = x4 dan y = f(x) = x4 + x, bila kita hitung turunan ketiganya, kita peroleh f ’’’(x) = 24x, sehingga f ’’’(0) = 0. Jadi tidak mengherankan bila kecekungan kurva y = f(x) tidak berbeda di sekitar 0.

Secara umum, jika f ’’(c) = 0 dan f ’’’(c) ≠ 0, maka c merupakan titik belok (sebagaimana terjadi pada y = f(x) = x3). Tetapi, sekalipun f mempunyai turunan kedua di c dan sekitarnya, tidak ada jaminan bahwa f mempunyai turunan ketiga di c. Dalam hal ini, kita harus kembali ke definisi, yaitu memeriksa kecekungan di sebelah kiri dan kanan c.

Bila f ’’(c) = 0 bukan merupakan syarat cukup, apakah ia merupakan syarat perlu? Jawabannya tidak juga. Sebagai contoh, y = f(x) = x|x| kontinu dan mempunyai turunan pertama di 0, yaitu f ’(0) = 0, tetapi tidak mempunyai turunan kedua di 0. Meskipun demikian, f ’’(x) < 0 untuk x < 0 dan f ’’(x) > 0 untuk x > 0, sehingga c = 0 merupakan titik belok karena kurva y = f(x) cekung ke bawah di sebelah kiri 0 dan cekung ke atas di sebelah kanan 0.

Problem: Diketahui y = f(x) = x2|x|. Selidiki apakah c = 0 merupakan titik belok atau titik riak.

*

Bandung, 07-11-2016