Month: March 2017

Rumus Volume Bola Berdimensi n

Bola yang berpusat di O(0, 0, … , 0) dan berjari-jari r di ruang Euclid berdimensi n adalah himpunan titik-titik (x1, x2, … , xn) dengan

volume bola-1

Rumus volume bola berjari-jari r di ruang Euclid berdimensi n adalah

volume bola-2

dengan Г(∙) menyatakan fungsi gamma. Periksa bahwa V1(r) = 2r, V2(r) = πr2, dan V3(r) = (4/3)πr3, berturut-turut menyatakan panjang ruas garis (-r, r) pada garis bilangan (berdimensi 1), luas lingkaran berjari-jari r di bidang (berdimensi 2), dan volume bola berjari-jari r di ruang (berdimensi 3), yang telah kita kenal.

Rumus di atas dapat diperoleh melalui rumus rekursif

volume bola-3

Rumus rekursif ini diperoleh pertama-tama dengan mengamati bahwa volume bola berjari-jari r di ruang berdimensi n merupakan jumlah volume irisan berpenampang bola berjari-jari (r2x2)½ di ruang berdimensi n – 1 (untuk –rxr), yakni

volume bola-4

Nah, dengan menggunakan sifat kesebandingan, yakni Vn(r) = rnVn(1), kita peroleh

volume bola-5

Selanjutnya tinggal menerapkan rumus rekursif ini beserta dengan sifat-sifat fungsi gamma, termasuk nilai Г(½) = √π.

*

Bandung, 31-03-2017

Fungsi Beta dan Kaitannya dengan Fungsi Gamma

Kita telah membahas fungsi gamma yang merupakan perluasan dari fungsi faktorial f(n) = n!, yaitu fungi f(z) = Г(z + 1) yang terdefinisi untuk setiap bilangan real z > –1. Ingat jika z = n (suatu bilangan asli), maka Г(z + 1) = Г(n + 1) = n!.

Fungsi gamma dikenal sebagai integral Euler jenis kedua. Bila ada jenis kedua, tentu ada jenis pertama. Integral Euler jenis pertama adalah fungsi beta, yang didefinisikan sebagai

fungsi beta-1

untuk p, q > 0. Nah, fungsi beta dapat dinyatakan dalam fungsi gamma sebagai

fungsi beta-2

Buktinya adalah sebagai berikut. Misal m, n > –1. Maka

fungsi beta-3

Jadi, dengan memisalkan p = m + 1 dan q = n + 1, kita peroleh

fungsi beta-4

sesuai dengan yang diharapkan. O ya, perhatikan bahwa untuk p = q = ½, kita mempunyai

fungsi beta-5

sehingga kita dapatkan Г(½) = √π.

*

Bandung, 28-03-2017

Fungsi Faktorial dan Fungsi Gamma

Anda tentunya mengenal notasi n! (baca: n faktorial), yang merupakan singkatan dari bentuk perkalian n(n – 1)(n – 2) ∙∙∙ (2)(1). Sebagai contoh, 5! = 5∙4∙3∙2∙1 = 120. Nah, adakah fungsi kontinu yang terdefinisi untuk setiap bilangan real, atau setidaknya untuk bilangan real positif, yang merupakan perluasan dari fungsi faktorial f(n) = n! yang hanya terdefinisi untuk bilangan asli?

Fungsi gamma adalah jawabannya, tetapi fungsi ini tidak mempunyai rumus eksplisit. Ia didefinisikan sebagai bentuk integral, yakni

Sebagai integral tak wajar, integral ini konvergen mutlak untuk setiap z > 0. [Sebetulnya, fungsi Г(z) terdefinisi untuk semua bilangan kompleks z dengan Re(z) > 0, tetapi pada kesempatan ini anggaplah z merupakan bilangan real.]

Perhatikan bahwa

Selanjutnya, dengan pengintegralan parsial, kita mempunyai

untuk setiap z > 0. Jadi, dengan induksi, kita peroleh

untuk setiap bilangan asli n. Dengan demikian, f(z) = Г(z + 1) adalah fungsi yang dicari.

Perhatikan pula bahwa

untuk setiap bilangan ganjil k > 1. Jadi, bila kita mengetahui nilai Г(½), maka kita dapat mengetahui nilai fungsi gamma di bilangan-bilangan 3/2, 5/2, 7/2, dan seterusnya.

Nah, sebagai latihan, buktikan bahwa Г(½) = √π dengan mengubah integral yang mendefinisikan nilai Г(½) menjadi integral fungsi Gauss g(x) = exp(-x2) pada interval (0,∞), lalu hitung integral ini dengan trik seperti pada artikel sebelumnya. Sila coba!

*

Bandung, 24-03-2017

Menghitung Integral Fungsi Gauss

Pada artikelnya sebelumnya, kita telah menghitung integral fungsi Gauss dengan menggunakan koordinat polar. Nah, sebetulnya ada cara lain untuk menghitungnya tanpa melalui koordinat polar. Dengan mengingat bahwa fungsi Gauss

merupakan fungsi genap, kita peroleh

Di sini I adalah integral fungsi f(x) pada R yang sedang kita cari nilainya.

Selanjutnya, dengan substitusi peubah y = xu, dy = x du, dan dengan mengubah urutan pengintegralan, kita peroleh

Karena I > 0, mestilah I = 1.

*

Bandung, 21-03-2017

Fungsi Gauss dan Distribusi Normal

Bila Anda pernah belajar Statistika, Anda tentunya akrab dengan distribusi normal. Nah, fungsi densitas peluang dari suatu distribusi normal adalah fungsi Gauss

fungsi gauss-1.png

Khususnya, untuk a = 0 dan b = 1, kita mempunyai

fungsi gauss-2.png

yang merupakan fungsi densitas peluang dari distribusi normal baku (dengan mean 0 dan variansi 1). Grafik fungsi Gauss ini adalah sebagai berikut:

fungsi gauss.png

Untuk memastikan bahwa ia merupakan fungsi densitas peluang, kita harus membuktikan bahwa integralnya pada R sama dengan 1. Misalkan nilai integralnya adalah I. Maka

fungsi gauss-3

Selanjutnya, dengan substitusi koordinat polar x = r cos t, y = r sin t, kita peroleh

fungsi gauss-4.png

Karena I > 0, kita simpulkan bahwa I = 1.

*

Bandung, 17-03-2017

Fungsi Sinc yang Dinormalisasi

Hari ini adalah Hari Pi. Kita akan melihat peran penting bilangan π dalam kaitannya dengan fungsi sinc x. Ingat nilai integral fungsi sinc x pada R, yaitu

integral-sinc-x-1

Nah, jika kita dilasi fungsi sinc x dengan faktor π, maka kita peroleh

normalized sinc-1

Fungsi f(x) := sinc πx dikenal sebagai fungsi sinc yang dinormalisasi. Catat juga bahwa

normalized sinc-2

Fungsi genap yang mempunyai nilai integral 1 dikenal sebagai fungsi kernel, yang aplikasinya dapat dijumpai dalam Statistika dan pemrosesan signal.

*

Bandung, 14-03-2017

Integral Fungsi Sinc^2 x

Pada artikel sebelumnya telah dibahas nilai integral fungsi sinc x pada R. Nah, untuk melengkapi pengetahuan Anda tentang fungsi sinc x, ada satu fakta lagi yang perlu Anda catat terkait nilai integral fungsi sinc2 x pada R, yaitu bahwa

integral-sinc2-x

Di bawah ini adalah grafik fungsi f(x) = sinc2 x.

sinc2-x

Fakta tentang nilai integral di atas dapat dibuktikan dengan menggunakan pengetahuan tentang Transformasi Fourier dan Kesamaan Plancherel, yang kelak akan diperkenalkan di blog ini. (Bila penasaran, sila cari sendiri buktinya dari sumber terpercaya.)

*

Bandung, 07-03-2017