Fungsi Beta dan Kaitannya dengan Fungsi Gamma

Kita telah membahas fungsi gamma yang merupakan perluasan dari fungsi faktorial f(n) = n!, yaitu fungi f(z) = Г(z + 1) yang terdefinisi untuk setiap bilangan real z > –1. Ingat jika z = n (suatu bilangan asli), maka Г(z + 1) = Г(n + 1) = n!.

Fungsi gamma dikenal sebagai integral Euler jenis kedua. Bila ada jenis kedua, tentu ada jenis pertama. Integral Euler jenis pertama adalah fungsi beta, yang didefinisikan sebagai

fungsi beta-1

untuk p, q > 0. Nah, fungsi beta dapat dinyatakan dalam fungsi gamma sebagai

fungsi beta-2

Buktinya adalah sebagai berikut. Misal m, n > –1. Maka

fungsi beta-3

Jadi, dengan memisalkan p = m + 1 dan q = n + 1, kita peroleh

fungsi beta-4

sesuai dengan yang diharapkan. O ya, perhatikan bahwa untuk p = q = ½, kita mempunyai

fungsi beta-5

sehingga kita dapatkan Г(½) = √π.

*

Bandung, 28-03-2017

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s