Month: July 2017

Himpunan Berukuran Nol

Ketika membahas fungsi tangga Cantor, saya menyatakan bahwa fungsi ini mempunyai turunan pada [0, 1] kecuali pada suatu ‘himpunan berukuran nol’. Sebetulnya, apa yang dimaksud dengan ‘himpunan berukuran nol’ itu?

Konsep ukuran diperkenalkan oleh Henri Lebesgue pada tahun 1901 (yang kemudian ia gunakan untuk mengembangkan suatu konsep integral yang berbeda dengan integral ala Riemann). Ukuran luar dari suatu himpunan E ⊆ R didefinisikan sebagai

λ*(E ) := inf { ∑k |Ik| : E ⊆ ∪k Ik, dengan Ik merupakan interval buka untuk setiap k}.

Di sini |Ik| menyatakan panjang interval Ik: Jika I := (a, b), maka |I| = b − a. Himpunan A := { ∑k |Ik| : E ⊆ ∪k Ik, dengan Ik merupakan interval buka untuk setiap k} merupakan suatu himpunan bilangan real ‘diperluas’ yang terbatas di bawah oleh 0, dan inf A adalah ‘batas bawah terbesar’ dari A. Dalam hal ini, λ*(E ) = inf A merupakan suatu bilangan tak negatif.

Sebagai contoh, jika E adalah suatu himpunan terhingga, katakanlah E := {a1, …, an}, maka λ*(E ) = 0. (Kita dapat mencari n interval buka I1, …, In sedemikian sehingga E ⊆ I1 ∪ … ∪ In dengan |I1| + … + |In| sekecil-kecilnya.) Catat pula jika I adalah suatu interval (buka, setengah buka, atau tutup), maka λ*(I ) = |I|.

Himpunan E dikatakan terukur apabila untuk setiap ε > 0 terdapat suatu himpunan buka G dan suatu himpunan tutup F sedemikian sehingga F ⊆ E ⊆ G dan λ*(G \ F ) < ε. Sebagai contoh, himpunan terhingga {a1, …, an} merupakan himpunan terukur, karena kita dapat memilih

F := Ø dan G := (a1 – δ, a1 + δ) ∪ … ∪ (an – δ, an + δ)

dengan 2nδ < ε, sedemikian sehingga λ*(G \ F ) = λ*(G ) ≤ 2nδ < ε. Lebih umum, semua himpunan yang berukuran luar 0 merupakan himpunan terukur.

Jika E terukur, maka ukuran dari E kemudian didefinisikan sebagai λ(E ) := λ*(E ). Sebagai contoh, jika E merupakan himpunan terhingga, maka λ(E ) = 0. Nah, himpunan E dengan λ(E ) = 0 disebut himpunan berukuran nol.

Selain himpunan terhingga, secara umum himpunan terbilang merupakan himpunan berukuran nol (sila buktikan!). Jadi, sebagai contoh, himpunan semua bilangan rasional Q merupakan himpunan berukuran nol. Tetapi, jangan salah, tidak setiap himpunan berukuran nol merupakan himpunan terbilang. Dalam perkataan lain, terdapat himpunan tak terbilang yang berukuran nol. Dapatkah Anda menemukan contohnya?

*

Bandung, 28-07-2017

Turunan dan Kekontinuan – V

Fungsi Weierstrass yang diperkenalkan pada artikel sebelumnya merupakan satu di antara banyak contoh fungsi yang kontinu tetapi tidak mempunyai turunan di titik manapun. Bila Anda lacak fungsi Weierstrass di Internet, Anda akan menemukan banyak artikel yang membahas fungsi tersebut. Salah satu di antaranya adalah tesis master karangan Johan Thim yang berjudul Continuous Nowhere Differentiable Functions (unduh deh). Dalam tesis ini, Thim tidak hanya mengulas fungsi Weierstrass, tetapi juga fungsi Bolzano, fungsi Riemann, fungsi Orlicz, dan lain-lain, yang memiliki sifat serupa dengan fungsi Weierstrass — yaitu kontinu tetapi tidak mempunyai turunan di mana-mana. Sila baca dan pelajari tesis Thim.

*

Bandung, 25-07-2017

Turunan dan Kekontinuan – IV

Eksistensi turunan di suatu titik hanya menjamin kekontinuan di titik tersebut, tidak pada suatu interval buka yang memuat titik tersebut. Sekarang bagaimana dengan kebalikannya: jika f kontinu pada suatu interval dengan panjang positif, apakah f akan mempunyai turunan kecuali di sejumlah titik dalam interval tersebut? Sebagai contoh, fungsi tangga Cantor yang grafiknya seperti pada gambar di bawah ini merupakan fungsi yang kontinu pada [0, 1]. Fungsi ini tidak mempunyai turunan di tak terhingga banyak titik, tetapi di titik-titik lainnya ia mempunyai turunan nol. Secara keseluruhan, fungsi tangga Cantor mempunyai turunan ‘hampir di mana-mana’ (yakni, mempunyai turunan kecuali pada suatu himpunan ‘berukuran nol’).

cantor-function

Namun, jangan salah, ada banyak fungsi yang kontinu pada suatu interval buka tetapi tidak mempunyai turunan di satu titik pun dalam interval tersebut. Salah satu contohnya adalah fungsi Weierstrass,

rumus fungsi weierstrass

yang grafiknya seperti di bawah ini:

fungsi weierstrass

Fungsi Weierstrass kontinu di setiap titik tetapi tidak mempunyai turunan di titik manapun. Fungsi ini ‘ditemukan’ dan dipublikasikan oleh Karl Weierstrass pada 18 Juli 1872.

*

Bandung, 21-07-2017

 

Turunan dan Kekontinuan – III

Kita telah mengetahui bahwa eksistensi turunan sebuah fungsi di suatu titik mengakibatkan kekontinuan fungsi di titik tersebut. Nah, apakah kita bisa menyimpulkan lebih daripada itu? Persisnya: apakah eksistensi turunan sebuah fungsi di suatu titik juga mengakibatkan kekontinuan fungsi di sekitar titik tersebut? Jawabannya negatif. Sebagai contoh, fungsi f yang didefinisikan sebagai

merupakan fungsi yang mempunyai turunan di 0 (dengan f ‘(0) = 0), tetapi f hanya kontinu di 0, tidak di titik lainnya.

*

Bandung, 18-07-2017

Turunan dan Kekontinuan – II

Di sekolah ataupun di perguruan tinggi, guru atau dosen sering memberi contoh fungsi yang kontinu di suatu titik tetapi tidak mempunyai turunan di titik tersebut. Contoh yang biasa diberikan adalah fungsi f(x) = |x| di titik 0.

grafik fungsi nilai mutlak

Nah, terkait dengan artikel sebelumnya, buktikan bahwa masing-masing fungsi di bawah ini kontinu di 0 tetapi tidak mempunyai turunan di 0. Petunjuk: Perhatikan grafik fungsinya.

(a)

 

fungsi akar x ganjil

(b)

rumus fungsi sinc 1 per x

x-sin-1-per-x-o

Catatan. Kedua fungsi di atas mempunyai karakteristik yang berbeda terkait dengan ketiadaan turunannya di 0. Keduanya juga berbeda dengan fungsi nilai mutlak yang tidak mempunyai turunan di 0 karena grafiknya ‘patah’ di 0.

*

Bandung, 14-07-2017

Turunan dan Kekontinuan – I

Bila Anda sudah ‘mencicipi’ Kalkulus, tentunya Anda sudah mengetahui apa yang dimaksud dengan turunan dari suatu fungsi, serta riwayatnya – yang terkait dengan upaya Newton menentukan kecepatan sesaat dari suatu partikel yang bergerak dan upaya Leibniz menentukan gradien garis singgung pada suatu kurva di suatu titik.

Diberikan sebuah fungsi f : I → R, dengan I ⊆ R suatu interval yang memuat titik c, turunan dari f di titik c didefinisikan sebagai

definisi turunan

asalkan limit ini ada. Perhatikan jika f mempunyai turunan di c, maka

turunan dan kekontinuan

dan karena itu

limit fungsi kontinu

yang berarti bahwa f kontinu di c. Jadi, kekontinuan f di c merupakan syarat perlu bagi eksistensi turunan f di c. Tetapi, ada banyak contoh yang memperlihatkan bahwa kekontinuan f di c bukanlah merupakan syarat cukup bagi eksistensi turunan f di c.

Salah satu contoh penyangkalnya adalah f(x) = |x|. Fungsi ini kontinu di 0, tetapi tidak mempunyai turunan di 0 karena

turunan nilai mutlak di 0

tidak ada (limit kirinya sama dengan -1, sedangkan limit kanannya sama dengan 1).

Terkait dengan eksistensi limit, kita mengetahui ada beberapa hal yang dapat menyebabkan limit suatu fungsi di suatu titik tidak ada. Penyebab pertama adalah limit kiri dan limit kanannya ada tetapi tidak sama. Penyebab kedua adalah limit kiri atau limit kanannya tidak ada, entah karena ‘menuju tak terhingga’ atau ‘berosilasi’.

Problem: Temukan fungsi f yang kontinu di suatu titik c tetapi tidak mempunyai turunan di titik itu karena limit kiri dan/atau limit kanan dari [f(x) – f(c)]/(x – c) tidak ada, khususnya karena (a) limit kiri dan/atau limit kanannya ‘menuju tak terhingga’ dan (b) limit kiri dan/atau limit kanannya ‘berosilasi’.

*

Bandung, 11-07-2017

Fungsi Kontinu Seragam – II

Terkait dengan ke(tak)kontinuan seragam, perhatikan kembali daerah asal dan grafik kedua fungsi di bawah ini.

fungsi kontinu pada domainnya          fungsi kontinu-iii

Pada fungsi pertama, x = ½ bukan anggota daerah asal, tetapi ia ‘menempel’ pada daerah asal f. Jika kita kemudian ingin memperluas daerah asal f sehingga mencakup x = ½, maka berapa pun nilai f(½) yang kita pilih, fungsi yang dihasilkan tidak mungkin kontinu di ½. Dalam hal ini, fungsi f tidak mempunyai perluasan yang kontinu pada (0, 1). Ini terjadi karena f tidak kontinu seragam pada (0, ½) ∪ (½, 1).

Pada fungsi kedua, x = 0 bukan anggota daerah asal, tetapi ia ‘menempel’ pada daerah asal f. Nah, berbeda dengan fungsi sebelumnya, kita dapat mendefinisikan f(0) = 0 sehingga kita peroleh fungsi perluasan dari f yang kontinu pada {1/n : n ∈ N} ∪ {0}. Ini dimungkinkan karena f kontinu seragam pada {1/n : n ∈ N}.

*

Bandung, 07-07-2017

Fungsi Kontinu Seragam – I

Bila Anda baca dan pelajari kembali dua contoh fungsi kontinu pada dua postingan sebelumnya, ada satu hal penting yang berbeda di antara dua fungsi kontinu tersebut. Fungsi pertama tidak kontinu seragam pada daerah asalnya, yaitu (0, ½) ∪ (½, 1), sedangkan fungsi kedua kontinu seragam pada daerah asalnya, yaitu {1/n : n ∈ N}.

                      

Secara umum, fungsi f : D → R dengan D ⊆ R dikatakan kontinu seragam pada D apabila untuk setiap ɛ > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x, y ∈ D dengan |x – y| < δ berlaku |f(x) – f(y)| < ɛ.

Perhatikan perbedaan definisi kontinu seragam pada D dan kontinu (titik demi titik) pada D. Pada definisi kontinu seragam pada D, bilangan δ tidak bergantung pada titik di D; sedangkan pada definisi kontinu (titik demi titik) pada D, bilangan δ biasanya bergantung pada titik di D.

Nah, pada contoh pertama, f tidak kontinu seragam pada (0, ½) ∪ (½, 1) karena untuk ɛ = ¼, sekecil apa pun δ yang kita pilih, selalu terdapat x ∈ (0, ½) dan y ∈ (½, 1) dengan |x – y| < δ tetapi |f(x) – f(y)| = ½ > ¼.

Pada contoh kedua, f kontinu seragam pada {1/n : n ∈ N} karena untuk setiap ɛ > 0 terdapat δ = ɛ sedemikian sehingga untuk setiap x, y ∈ {1/n : n ∈ N} dengan |x – y| < δ berlaku |f(x) – f(y)| = |x – y| < ɛ.

*

Bandung, 04-07-2017