Himpunan Berukuran Nol

Ketika membahas fungsi tangga Cantor, saya menyatakan bahwa fungsi ini mempunyai turunan pada [0, 1] kecuali pada suatu ‘himpunan berukuran nol’. Sebetulnya, apa yang dimaksud dengan ‘himpunan berukuran nol’ itu?

Konsep ukuran diperkenalkan oleh Henri Lebesgue pada tahun 1901 (yang kemudian ia gunakan untuk mengembangkan suatu konsep integral yang berbeda dengan integral ala Riemann). Ukuran luar dari suatu himpunan E ⊆ R didefinisikan sebagai

λ*(E ) := inf { ∑_k |I_k| : E ⊆ ∪_k I_k, dengan I_k merupakan interval buka untuk setiap k}.

Di sini |I_k| menyatakan panjang interval I_k: Jika I := (a, b), maka |I| = b − a. Himpunan A := { ∑_k |I_k| : E ⊆ ∪_k I_k, dengan I_k merupakan interval buka untuk setiap k} merupakan suatu himpunan bilangan real ‘diperluas’ yang terbatas di bawah oleh 0, dan inf A adalah ‘batas bawah terbesar’ dari A. Dalam hal ini, λ*(E ) = inf A merupakan suatu bilangan tak negatif.

Sebagai contoh, jika E adalah suatu himpunan terhingga, katakanlah E := {a₁, …, a_n}, maka λ*(E ) = 0. (Kita dapat mencari n interval buka I₁, …, I_n sedemikian sehingga E ⊆ I₁ ∪ … ∪ I_n dengan |I₁| + … + |I_n| sekecil-kecilnya.) Catat pula jika I adalah suatu interval (buka, setengah buka, atau tutup), maka λ*(I ) = |I|.

Himpunan E dikatakan terukur apabila untuk setiap ε > 0 terdapat suatu himpunan buka G dan suatu himpunan tutup F sedemikian sehingga F ⊆ E ⊆ G dan λ*(G \ F ) < ε. Sebagai contoh, himpunan terhingga {a₁, …, a_n} merupakan himpunan terukur, karena kita dapat memilih

F := Ø dan G := (a₁ – δ, a₁ + δ) ∪ … ∪ (a_n – δ, a_n + δ)

dengan 2nδ < ε, sedemikian sehingga λ*(G \ F ) = λ*(G ) ≤ 2nδ < ε. Lebih umum, semua himpunan yang berukuran luar 0 merupakan himpunan terukur.

Jika E terukur, maka ukuran dari E kemudian didefinisikan sebagai λ(E ) := λ*(E ). Sebagai contoh, jika E merupakan himpunan terhingga, maka λ(E ) = 0. Nah, himpunan E dengan λ(E ) = 0 disebut himpunan berukuran nol.

Selain himpunan terhingga, secara umum himpunan terbilang merupakan himpunan berukuran nol (sila buktikan!). Jadi, sebagai contoh, himpunan semua bilangan rasional Q merupakan himpunan berukuran nol. Tetapi, jangan salah, tidak setiap himpunan berukuran nol merupakan himpunan terbilang. Dalam perkataan lain, terdapat himpunan tak terbilang yang berukuran nol. Dapatkah Anda menemukan contohnya?

*

Bandung, 28-07-2017