himpunan terukur

Fungsi Karakteristik dan Peluang Suatu Kejadian

Fungsi paling sederhana setelah fungsi konstan adalah fungsi karakteristik, yang juga dikenal sebagai fungsi indikator, dari suatu himpunan bagian dari daerah asal fungsi tersebut.

Misalkan f : X → R dan ⊆ X. Fungsi f disebut fungsi karakteristik dari A apabila f(x) = 1 untuk setiap x ∈ A dan f(x) = 0 untuk setiap x ∉ A. Di kalangan matematikawan, fungsi ini biasanya dituliskan sebagai χA. Jadi

Perhatikan bahwa himpunan semua fungsi karakteristik yang didefinisikan pada X berkorespondensi satu-satu dengan himpunan kuasa 2X, yang beranggotakan semua himpunan bagian dari X.

Fungsi karakteristik merupakan salah satu fungsi penting dalam teori peluang. Jika X menyatakan ruang peluang, P menyatakan ukuran peluang pada X, dan  X adalah suatu himpunan terukur, maka χA merupakan suatu peubah acak dengan nilai ekspektasi sama dengan peluang A. Dalam notasi integral, kita mempunyai:

Fakta ini kelak digunakan dalam pembuktian ketaksamaan Markov. Sila Anda cari terlebih dahulu artikel tentang ketaksamaan Markov deh..

*

Bandung, 28-11-2017

Advertisements

Himpunan Berukuran Nol

Ketika membahas fungsi tangga Cantor, saya menyatakan bahwa fungsi ini mempunyai turunan pada [0, 1] kecuali pada suatu ‘himpunan berukuran nol’. Sebetulnya, apa yang dimaksud dengan ‘himpunan berukuran nol’ itu?

Konsep ukuran diperkenalkan oleh Henri Lebesgue pada tahun 1901 (yang kemudian ia gunakan untuk mengembangkan suatu konsep integral yang berbeda dengan integral ala Riemann). Ukuran luar dari suatu himpunan E ⊆ R didefinisikan sebagai

λ*() := inf { ∑|Ik| : E ⊆ ∪k Ik, dengan Ik merupakan interval buka untuk setiap k}.

Di sini |Ik| menyatakan panjang interval Ik: Jika I := (a, b), maka |I| = ba. Himpunan A := { ∑|Ik| : E ⊆ ∪k Ik, dengan Ik merupakan interval buka untuk setiap k} merupakan suatu himpunan bilangan real ‘diperluas’ yang terbatas di bawah oleh 0, dan inf A adalah ‘batas bawah terbesar’ dari A. Dalam hal ini, λ*() = inf A merupakan suatu bilangan tak negatif.

Sebagai contoh, jika E adalah suatu himpunan terhingga, katakanlah E := {a1, …, an}, maka λ*() = 0. (Kita dapat mencari n interval buka I1, …, In sedemikian sehingga E ⊆ I1 ∪ … ∪ In dengan |I1| + … + |In| sekecil-kecilnya.) Catat pula jika I adalah suatu interval (buka, setengah buka, atau tutup), maka λ*() = |I|.

Himpunan E dikatakan terukur apabila untuk setiap ε > 0 terdapat suatu himpunan buka G dan suatu himpunan tutup F sedemikian sehingga F ⊆ E ⊆ G dan λ*(G \ ) < ε. Sebagai contoh, himpunan terhingga {a1, …, an} merupakan himpunan terukur, karena kita dapat memilih

F := Ø dan G := (a1 – δ, a1 + δ) ∪ … ∪ (an – δ, an + δ)

dengan 2nδ < ε, sedemikian sehingga λ*(G \ ) = λ*() ≤ 2nδ < ε. Lebih umum, semua himpunan yang berukuran luar 0 merupakan himpunan terukur.

Jika E terukur, maka ukuran dari E kemudian didefinisikan sebagai λ() := λ*(). Sebagai contoh, jika E merupakan himpunan terhingga, maka λ() = 0. Nah, himpunan E dengan λ() = 0 disebut himpunan berukuran nol.

Selain himpunan terhingga, secara umum himpunan terbilang merupakan himpunan berukuran nol (sila buktikan!). Jadi, sebagai contoh, himpunan semua bilangan rasional Q merupakan himpunan berukuran nol. Tetapi, jangan salah, tidak setiap himpunan berukuran nol merupakan himpunan terbilang. Dalam perkataan lain, terdapat himpunan tak terbilang yang berukuran nol. Dapatkah Anda menemukan contohnya?

*

Bandung, 28-07-2017