nilai ekspektasi

Ketaksamaan Markov

Dalam teori peluang, tidak semua kejadian dapat ditentukan peluangnya secara persis atau eksak. Ketaksamaan Markov memberikan suatu taksiran untuk peluang suatu kejadian terkait dengan suatu peubah acak. Persisnya, ketaksamaan Markov berbunyi:

dengan U menyatakan suatu peubah acak tak negatif (bayangkan misalnya bilangan yang muncul pada pelemparan dadu), a > 0, dan E(U) menyatakan ekspektasi dari U.

Misal X ruang peluang dengan ukuran peluang P,  U adalah suatu peubah acak tak negatif, dan a > 0. Jika A = { X : U(x) ≥ a}, maka sebagaimana telah dibahas dalam artikel sebelumnya peluang A adalah

Di sini χmenyatakan fungsi karakteristik dari himpunan A, yang kita pandang sebagai suatu peubah acak. Nah, ketika x ∈ A, kita mempunyai χA(x) = 1 ≤ U(x)/a, dan ketika x ∉ A, kita mempunyai χA(x) = 0 ≤ U(x)/a. Jadi,

ketaksamaan Markov - a.png

sebagaimana diharapkan.

*

Bandung, 01-12-2017

Advertisements

Fungsi Karakteristik dan Peluang Suatu Kejadian

Fungsi paling sederhana setelah fungsi konstan adalah fungsi karakteristik, yang juga dikenal sebagai fungsi indikator, dari suatu himpunan bagian dari daerah asal fungsi tersebut.

Misalkan f : X → R dan ⊆ X. Fungsi f disebut fungsi karakteristik dari A apabila f(x) = 1 untuk setiap x ∈ A dan f(x) = 0 untuk setiap x ∉ A. Di kalangan matematikawan, fungsi ini biasanya dituliskan sebagai χA. Jadi

Perhatikan bahwa himpunan semua fungsi karakteristik yang didefinisikan pada X berkorespondensi satu-satu dengan himpunan kuasa 2X, yang beranggotakan semua himpunan bagian dari X.

Fungsi karakteristik merupakan salah satu fungsi penting dalam teori peluang. Jika X menyatakan ruang peluang, P menyatakan ukuran peluang pada X, dan  X adalah suatu himpunan terukur, maka χA merupakan suatu peubah acak dengan nilai ekspektasi sama dengan peluang A. Dalam notasi integral, kita mempunyai:

Fakta ini kelak digunakan dalam pembuktian ketaksamaan Markov. Sila Anda cari terlebih dahulu artikel tentang ketaksamaan Markov deh..

*

Bandung, 28-11-2017