Month: October 2017

Fungsi Trigonometri Hiperbolik – II

Seperti halnya kita mendefinisikan fungsi trigonometri tan x, cot x, sec x, dan csc x dari sin x dan cos x, kita juga dapat mendefinisikan fungsi trigonometri hiperbolik tanh x, coth x, sech x, dan csch x dari sinh x dan cosh x, sebagai berikut:

Kemudian, dengan membatasi daerah definisinya bila diperlukan, kita dapat mendefinisikan pula invers fungsi trigonometri hiperbolik. Sebagai contoh,

Nah, dari cosh y = ½(ey + e-y) = x, kita peroleh ey + e-y = 2x, dan akhirnya

Kemudian, dari rumus terakhir kita peroleh turunan dari y = cosh-1 x, yaitu

[Turunan dari y = cosh-1 x dapat pula diperoleh dari x = cosh y dengan Aturan Rantai dan kesamaan cosh2 x – sinh2 x = 1. Sila coba!]

Dalam artikel yang akan datang, saya akan memberikan contoh aplikasi menarik dari fungsi trginometri hiperbolik.

*

Bandung, 31-10-2017

Advertisements

Deret Maclaurin untuk cosh x dan sinh x

Tahun lalu, saya pernah menayangkan sepuluh deret pangkat istimewa, termasuk deret pangkat untuk ex, yakni

Nah, mengingat cosh x dan sinh x merupakan kombinasi sederhana dari ex dan e-x, kita dapat memperoleh deret pangkat untuk kedua fungsi trigonometri hiperbolik tersebut, yaitu

dan

Perhatikan bahwa cosh x + sinh x = ex, sesuai dengan definisi kedua fungsi trigonometri hiperbolik tersebut. Bandingkan kedua deret pangkat di atas dengan deret pangkat untuk cos x dan sin x. Apa persamaan dan perbedaannya?

*

Bandung, 27-10-2017

Fungsi Trigonometri Hiperbolik – I

Fungsi y = ex mempunyai turunan sama dengan dirinya sendiri, yakni ’ = y.  Dengan Aturan Rantai, fungsi y = ex mempunyai turunan ’ = –y. Nah, sekarang tinjau dua fungsi berikut:

y = ½ (ex + ex) = c(x)

dan

y = ½ (ex – ex) = s(x).

Faktor ½ sengaja ditambahkan secara khusus agar c(0) = 1. Lalu apa yang menarik dengan kedua fungsi ini?

Yang menarik adalah bahwa ’(x) = s(x) dan ’(x) = c(x). Fakta ini mirip dengan fakta tentang fungsi cos x dan sin x. (Bedanya, turunan dari cos x adalah –sin x). Selain itu, kita dapat memeriksa bahwa c(x)2s(x)2 = 1. Ini mirip dengan cos2 x + sin2 x = 1. Kemiripan lainnya: c(x) merupakan fungsi genap [c(-x) = c(x)] dan s(x) merupakan fungsi ganjil [yakni s(-x) = –s(x)].

Karena kemiripannya dengan fungsi cosinus dan sinus, kedua fungsi di atas dinamai fungsi cosinus hiperbolik dan sinus hiperbolik, dan dilambangkan dengan cosh x dan sinh x.

Bila (cos t, sin t) merupakan suatu titik pada lingkaran berjari-jari 1 yang berpusat di titik (0, 0), maka (cosh t, sinh t) merupakan suatu titik pada bagian hiperbola u2v2 = 1 yang berada di sebelah kanan sumbu vertikal (u > 0). Istilah ‘hiperbolik’ muncul semata-mata karena alasan ini. Berbeda dengan cos x dan sin x, baik cosh x maupun sinh x bukan fungsi periodik.

O ya, fungsi trigonometri hiperbolik diperkenalkan pada tahun 1760-an oleh Vincenzo Riccati (1707-1775) dan oleh Johann Heinrich Lambert (1728-1777). Notasi yang kita pakai sekarang adalah notasi yang diusulkan oleh Lambert.

*

Bandung, 24-10-2017

Masih tentang Fungsi Logistik

Fungsi logistik f(x) = ex/(1 + ex) merupakan fungsi trigonometri hiperbolik. Persisnya,

f(x) = ½ + ½ tanh(½∙x).

Di sini, tanh(x) = (ex – e-x)/(ex + ex) adalah fungsi tangen hiperbolik. Pada postingan berikutnya, kita akan membahas fungsi trigonometri hiperbolik dan sifat-sifatnya ya..

*

Bandung, 17-10-2017

Lebih Jauh tentang Fungsi Logistik

Fungsi logistik yang kita bahas sebelumnya merupakan suatu model matematika untuk pertumbuhan populasi pada suatu area yang terbatas. Tanpa memperhitungkan adanya batas tersebut, biasanya populasi bertumbuh secara eksponensial, dengan laju pertumbuhan pada setiap saat sebanding dengan besarnya populasi pada saat itu:

‘ = ky.

Dengan mengasumsikan bahwa area yang dapat ditinggali terbatas (sebutlah area maksimumnya A), laju pertumbuhan juga berbanding lurus dengan sisa area yang tersedia:

‘ = ky(Ay).

Nah, jika k = 1 dan A = 1, dan y(0) = 0,5, maka solusi persamaan diferensial di atas adalah y = ex/(1 + ex), sebagaimana telah dibahas dalam postingan sebelumnya.

Problem: Jika f(x) = ex/(1 + ex), tentukan f ‘(x), dan periksa bahwa ‘(x) = ‘(-x).

*

Bandung, 13-10-2017

Fungsi Logistik

Fungsi y = f(x) = ex/(1 + ex) dikenal sebagai fungsi logistik. Fungsi ini merupakan solusi persamaan diferensial logistik

‘ = y(1 – y)

dengan syarat awal y(0) = 1/2. Grafik fungsi logistik ini adalah sebagai berikut:

Perhatikan bahwa y → 1 ketika x → ∞. Kurva fungsi logistik dikenal pula sebagai kurva sigmoid, yang menyerupai bentuk huruf S.

*

Bandung, 10-10-2017