Fungsi logistik f(x) = ex/(1 + ex) merupakan fungsi trigonometri hiperbolik. Persisnya,
f(x) = ½ + ½ tanh(½∙x).
Di sini, tanh(x) = (ex – e-x)/(ex + e–x) adalah fungsi tangen hiperbolik. Pada postingan berikutnya, kita akan membahas fungsi trigonometri hiperbolik dan sifat-sifatnya ya..
*
Bandung, 17-10-2017
Fungsi logistik yang kita bahas sebelumnya merupakan suatu model matematika untuk pertumbuhan populasi pada suatu area yang terbatas. Tanpa memperhitungkan adanya batas tersebut, biasanya populasi bertumbuh secara eksponensial, dengan laju pertumbuhan pada setiap saat sebanding dengan besarnya populasi pada saat itu:
y ‘ = ky.
Dengan mengasumsikan bahwa area yang dapat ditinggali terbatas (sebutlah area maksimumnya A), laju pertumbuhan juga berbanding lurus dengan sisa area yang tersedia:
y ‘ = ky(A – y).
Nah, jika k = 1 dan A = 1, dan y(0) = 0,5, maka solusi persamaan diferensial di atas adalah y = ex/(1 + ex), sebagaimana telah dibahas dalam postingan sebelumnya.
Problem: Jika f(x) = ex/(1 + ex), tentukan f ‘(x), dan periksa bahwa f ‘(x) = f ‘(-x).
*
Bandung, 13-10-2017
Fungsi y = f(x) = ex/(1 + ex) dikenal sebagai fungsi logistik. Fungsi ini merupakan solusi persamaan diferensial logistik
y ‘ = y(1 – y)
dengan syarat awal y(0) = 1/2. Grafik fungsi logistik ini adalah sebagai berikut:
Perhatikan bahwa y → 1 ketika x → ∞. Kurva fungsi logistik dikenal pula sebagai kurva sigmoid, yang menyerupai bentuk huruf S.
*
Bandung, 10-10-2017
