Ketakterhinggaan merupakan konsep matematika yang tricky. Banyak paradoks seputar ketakterhinggaan, beberapa di antaranya telah saya bahas di buku “Menuju Tak Terhingga” (yang takkan lama lagi terbit). Salah satunya adalah paradoks Hotel Hilbert, yang diungkapkan oleh matematikawan terkemuka David Hilbert (1862-1943). Begini ceritanya.

Andaikan ada sebuah hotel, namanya Hotel Hilbert, yang mempunyai tak terhingga banyaknya kamar — sebanyak bilangan asli. Kamar-kamar di Hotel Hilbert diberi nomor 1, 2, 3, dan seterusnya. Pada suatu hari, seluruh kamar di hotel tersebut telah terisi penuh, tak ada satu kamar pun yang kosong. Menjelang malam, datanglah seorang tamu dari luar kota yang hendak menginap di hotel tersebut.

Tak tega menolak tamu tersebut, esepsionis hotel menelepon Sang Manajer, meminta saran apakah ia harus terus terang mengatakan bahwa hotel telah terisi penuh dan meminta tamu tersebut untuk mencari hotel lain? Sang Manajer yang kebetulan seorang sarjana matematika dengan tenang memberi tahu si resepsionis untuk menerima tamu tersebut. “Kita bisa menyediakan kamar untuknya malam ini juga!”

“Tetapi bagaimana caranya?” — tanya si resepsionis. “Mudah saja; pindahkan tamu yang ada di kamar 1 ke kamar 2, tamu di kamar 2 ke kamar 3, tamu di kamar 3 ke kamar 4, dan seterusnya tamu di kamar n ke kamar n+1; maka kamar 1 menjadi kosong dan bisa disiapkan untuk tamu baru kita!” — jawab Sang Manajer.

Di hotel yang mempunyai terhingga kamar, hal tersebut tentu saja mustahil dilakukan. Tetapi, di Hotel Hilbert yang memiliki tak terhingga kamar, hal tadi dimungkinkan. Bahkan, bila pada hari tersebut datang tak terhingga banyaknya tamu baru, mereka semua dapat diterima pada hari itu juga. Bagaimana caranya? Tinggal pindahkan tamu yang menginap di kamar 1 ke kamar 2, tamu di kamar 2 ke kamar 4, tamu di kamar 3 ke kamar 6, dan seterusnya tamu di kamar n ke kamar 2n. Maka, kamar bernomor ganjil akan kosong, dan tak terhingga tamu baru pun dapat ditempatkan di sana.

Ketakterhinggaan memang bisa membingungkan bagi sebagian orang, bahkan bagi sebagian matematikawan sekalipun. Pada era Yunani Kuno, Zeno dan Aristoteles menolak ketakterhinggaan. Pada abad ke-19 dan ke-20, beberapa matematikawan terkenal pun, sebutlah misalnya Leopold Kronecker (1823-1891) dan Henri Poincare (1854-1912), tidak menerima ketakterhinggaan — yang pada saat itu telah digarap dengan lebih mendalam oleh Georg Cantor (1845-1918).

Namun, de facto, cabang-cabang utama matematika yang berkembang dewasa ini, sebutlah misalnya analisis dan topologi, berpijak pada konsep ketakterhinggaan. Menolak ketakterhinggaan sama saja dengan menolak cabang-cabang matematika tersebut. Padahal, cabang-cabang tersebut telah banyak diterapkan dalam menyelesaikan berbagai permasalahan nyata.

*

Bandung, 20-06-2016