Month: June 2016

Deret Pangkat Istimewa

Sepuluh deret pangkat di bawah ini termasuk deret pangkat istimewa:

 Deret Pangkat Istimewa_I

Kesepuluh deret pangkat di atas merupakan deret Maclaurin dari masing-masing fungsi di sebelah kirinya. Perhatikan bahwa deret kedua dan ketiga dapat diperoleh dari deret pertama dengan mengganti x dengan –x atau –x2. Selanjutnya, deret keempat, kelima, dan keenam dapat diperoleh dari deret pertama, kedua, dan ketiga dengan operasi pengintegralan. Deret ketujuh hingga kesepuluh diperoleh melalui Teorema Taylor (sila buka tautannya bila penasaran).

Deret untuk arctan x, misalnya, dapat dipakai untuk menghitung nilai π, dengan mensubstitusikan nilai x = 1:

Deret Pangkat Istimewa_2

Nilai ln 2 dapat dihitung dengan menggunakan deret untuk ln(1 + x), dengan mensubstitusikan nilai x = 1:

nilai ln 2

Anda masih ingat kan deret harmonik berganti tanda di atas?

*

Bandung, 30-06-2016

Deret Pangkat

Setelah cukup akrab dengan deret bilangan, marilah kita tengok deret fungsi, khususnya deret fungsi pangkat, singkatnya deret pangkat, yaitu deret yang berbentuk

Deret Pangkat - 1

dengan x bilangan real. Diberikan suatu deret pangkat dengan koefisien an tertentu (diketahui), pertanyaan kita adalah: untuk x berapakah deret tersebut konvergen, dan konvergen ke mana?

Sebagai contoh, deret pangkat 1 + x + x2 + x3 + … konvergen ke 1/(1 – x) untuk |x| < 1. (Anda sudah akrab dengan deret ini, kan?)

Secara umum, kita dapat menggunakan Uji Rasio atau Uji Akar untuk memperoleh x yang membuat suatu deret pangkat konvergen. Dengan Uji Rasio, deret konvergen jika

deret pangkat - uji rasio

Jadi, jika

Deret Pangkat - 2

maka deret konvergen untuk |x| < R dan divergen untuk |x| > R. Sementara itu, dengan Uji Akar, kita akan mendapatkan jika

Deret Pangkat - 3

maka deret konvergen untuk |x| < R dan divergen untuk |x| > R.

Sebagai contoh, tinjau deret pangkat

Deret Pangkat - 4

Di sini an = 1/n, n = 1, 2, 3, … . Baik dengan Uji Rasio maupun Uji Akar (sila coba dua-duanya), kita peroleh R = 1, sehingga deret konvergen untuk |x| < 1 dan divergen untuk |x| > 1. Apa yang terjadi untuk |x| = 1? Ada 2 titik yang harus kita periksa. Untuk x = 1, kita peroleh deret harmonik ∑1/n yang divergen. Untuk x = -1, kita peroleh deret harmonik berganti tanda ∑(-1)n+1/n yang konvergen. Jadi, deret pangkat di atas konvergen jika dan hanya jika -1 ≤ x < 1. Dalam hal ini, interval [-1,1) merupakan interval kekonvergenan deret pangkat tersebut.

*

Bandung, 27-06-2016

Suatu Deret yang Konvergen ke 1

Dengan Uji Rasio, kita dapat membuktikan bahwa deret 1/4 + 2/8 + 3/16 + … + n/2n+1 + … konvergen. Nah, buktikan bahwa deret ini konvergen ke 1. Selanjutnya, bila suku ke-n dalam deret ini menyatakan luas n persegi atau persegi panjang, bagaimanakah persegi dan persegi panjang tersebut dapat kita susun sehingga membentuk sebuah persegi yang luasnya 1 satuan luas?

menyusun persegi

*

Bandung, 25-06-2016

Paradoks Hotel Hilbert

Ketakterhinggaan merupakan konsep matematika yang tricky. Banyak paradoks seputar ketakterhinggaan, beberapa di antaranya telah saya bahas di buku “Menuju Tak Terhingga” (yang takkan lama lagi terbit). Salah satunya adalah paradoks Hotel Hilbert, yang diungkapkan oleh matematikawan terkemuka David Hilbert (1862-1943). Begini ceritanya.

Andaikan ada sebuah hotel, namanya Hotel Hilbert, yang mempunyai tak terhingga banyaknya kamar — sebanyak bilangan asli. Kamar-kamar di Hotel Hilbert diberi nomor 1, 2, 3, dan seterusnya. Pada suatu hari, seluruh kamar di hotel tersebut telah terisi penuh, tak ada satu kamar pun yang kosong. Menjelang malam, datanglah seorang tamu dari luar kota yang hendak menginap di hotel tersebut.

Hotel Hilbert

Tak tega menolak tamu tersebut, esepsionis hotel menelepon Sang Manajer, meminta saran apakah ia harus terus terang mengatakan bahwa hotel telah terisi penuh dan meminta tamu tersebut untuk mencari hotel lain? Sang Manajer yang kebetulan seorang sarjana matematika dengan tenang memberi tahu si resepsionis untuk menerima tamu tersebut. “Kita bisa menyediakan kamar untuknya malam ini juga!”

“Tetapi bagaimana caranya?” — tanya si resepsionis. “Mudah saja; pindahkan tamu yang ada di kamar 1 ke kamar 2, tamu di kamar 2 ke kamar 3, tamu di kamar 3 ke kamar 4, dan seterusnya tamu di kamar n ke kamar n+1; maka kamar 1 menjadi kosong dan bisa disiapkan untuk tamu baru kita!” — jawab Sang Manajer.

Di hotel yang mempunyai terhingga kamar, hal tersebut tentu saja mustahil dilakukan. Tetapi, di Hotel Hilbert yang memiliki tak terhingga kamar, hal tadi dimungkinkan. Bahkan, bila pada hari tersebut datang tak terhingga banyaknya tamu baru, mereka semua dapat diterima pada hari itu juga. Bagaimana caranya? Tinggal pindahkan tamu yang menginap di kamar 1 ke kamar 2, tamu di kamar 2 ke kamar 4, tamu di kamar 3 ke kamar 6, dan seterusnya tamu di kamar n ke kamar 2n. Maka, kamar bernomor ganjil akan kosong, dan tak terhingga tamu baru pun dapat ditempatkan di sana.

Ketakterhinggaan memang bisa membingungkan bagi sebagian orang, bahkan bagi sebagian matematikawan sekalipun. Pada era Yunani Kuno, Zeno dan Aristoteles menolak ketakterhinggaan. Pada abad ke-19 dan ke-20, beberapa matematikawan terkenal pun, sebutlah misalnya Leopold Kronecker (1823-1891) dan Henri Poincare (1854-1912), tidak menerima ketakterhinggaan — yang pada saat itu telah digarap dengan lebih mendalam oleh Georg Cantor (1845-1918).

Namun, de facto, cabang-cabang utama matematika yang berkembang dewasa ini, sebutlah misalnya analisis dan topologi, berpijak pada konsep ketakterhinggaan. Menolak ketakterhinggaan sama saja dengan menolak cabang-cabang matematika tersebut. Padahal, cabang-cabang tersebut telah banyak diterapkan dalam menyelesaikan berbagai permasalahan nyata.

*

Bandung, 20-06-2016

Proporsi Bensin Oplosan – II

Melanjutkan cerita tentang bensin oplosan, ada seorang pemilik mobil mempunyai kebiasaan serupa. Ia mengoplos tiga jenis bahan bakar dengan cara sebagai berikut. Pada awalnya, ia mengisi penuh tangki bahan bakar mobilnya dengan bahan bakar I. Setelah sekian lama, ketika bahan bakar dalam tangkinya tersisa ½ volume tangki, ia mengisi tangkinya dengan bahan bakar II hingga penuh. Berikutnya, ketika bahan bakar dalam tangkinya tinggal ½ volume tangki, ia mengisi tangkinya dengan bahan bakar III hingga penuh. Selanjutnya ia akan kembali mengisi tangkinya dengan bahan bakar I, II, dan III, secara berurutan, ketika tangkinya tinggal ½ volume tangki. Nah, pertanyaannya, berapa proporsi bahan bakar I, II, dan III dalam tangki mobilnya, dalam jangka panjang?

*

Bandung, 18-06-2016

Proporsi Bensin Oplosan – I

Berikut ini adalah sebuah cerita matematis, bukan kisah nyata. Seorang pemilik mobil mempunyai kebiasaan unik. Ia mengoplos bahan bakarnya dengan cara sebagai berikut. Pada awalnya, ia mengisi penuh tangki bahan bakar mobilnya dengan bahan bakar I (bayangkan bensin pertamax, x). Setelah beberapa hari, ketika bahan bakar dalam tangkinya tersisa ½ volume tangki, ia mengisi tangkinya dengan bahan bakar II (bayangkan bensin premium, y) hingga penuh. Berikutnya, ketika bahan bakar dalam tangkinya tinggal ½ volume tangki, ia mengisi tangkinya dengan bahan bakar I hingga penuh. Selanjutnya ia akan kembali mengisi tangkinya dengan bahan bakar II, dan demikian seterusnya ia lakukan kebiasaan tersebut dari waktu ke waktu. Nah, pertanyaannya, berapa proporsi bahan bakar I dan II dalam tangki mobilnya, dalam jangka panjang? Jawabannya diberikan dalam dua gambar di bawah ini. (Sila maknai kedua gambar tersebut.)

bensin oplosan-1

bensin oplosan-2

*

Bandung, 16-06-2016

Uji Akar untuk Kekonvergenan Deret

Selain menggunakan Uji Banding dan Uji Rasio, kekonvergenan suatu deret bilangan real a1 + a2 + a3 + … dapat pula diselidiki dengan menggunakan Uji Akar. Persisnya, misalkan |an|1/n menuju L ketika n menuju tak terhingga. (Dalam deret geometri a + ar + ar2 + ar3 + …, dengan a ≠ 0 dan r ≠ 0, kita mempunyai |an|1/n = |arn-1|1/n menuju |r| ketika n menuju tak terhingga.) Uji Akar menyatakan jika L < 1, maka deret konvergen; tetapi jika L > 1, maka deret divergen. Alasannya, jika |an|1/n menuju L ketika n menuju tak terhingga, maka untuk n yang cukup besar, an menyerupai deret geometri dengan rasio kira-kira sama dengan L.

Sebagai contoh, tinjau deret 1/2 + 2/22 + 1/23 + 2/24 + … + bn/2n + … dengan bn = 1 untuk n ganjil dan bn = 2 untuk n genap. Bila kita gunakan Uji Rasio, kita peroleh rn = 1 untuk n ganjil dan rn = ¼ untuk n genap. Jadi Uji Rasio gagal. Namun, dengan Uji Akar, |an|1/n = ½·|bn|1/n menuju ½ ketika n menuju tak terhingga (karena |bn|1/n menuju 1 ketika n menuju tak terhingga, baik untuk n ganjil maupun genap). Jadi, deret tersebut konvergen.

Seperti yang terjadi dengan Uji Rasio, ketika L = 1, Uji Akar tidak memberikan kesimpulan apa-apa.

*

Bandung, 13-06-2016

Uji Rasio untuk Kekonvergenan Deret

Diberikan deret tak terhingga bilangan real a1 + a2 + a3 + …, kita dapat menyelidiki kekonvergenannya dengan menggunakan Uji Rasio, yaitu dengan mengamati nilai mutlak rasio antara satu suku dan suku sebelumnya.

Pada deret geometri, rasio tersebut sama dengan suatu konstanta r. Pada deret sembarang, rasio tersebut bergantung pada n, yakni rn = an+1/an. Nah, Uji Rasio berbunyi sebagai berikut: Misalkan an ≠ 0 untuk setiap n = 1, 2, 3, … . Jika nilai |rn| menuju suatu bilangan L < 1 ketika n menuju tak terhingga, maka deret a1 + a2 + a3 + … konvergen. Tetapi, jika nilai |rn| menuju suatu bilangan L > 1 ketika n menuju tak terhingga, maka deret a1 + a2 + a3 + … divergen.

Sebagai contoh, deret 1/2 + 2/4 + 3/8 + … + n/2n + … konvergen, karena nilai mutlak rasionya, yaitu (n+1)/2n, menuju ½ ketika n menuju tak terhingga.

Secara intuitif, jika nilai |rn| menuju suatu bilangan L ketika n menuju tak terhingga, maka untuk n yang cukup besar, suku-suku deret a1 + a2 + a3 + … akan berperilaku seperti suku-suku deret geometri dengan rasio L, karena itu deret akan konvergen apabila L < 1 (dan deret akan divergen apabila L > 1).

Lalu apa yang terjadi jika L = 1? Dalam kasus ini, deret mungkin konvergen, mungkin pula divergen. Uji Rasio tidak dapat memastikan kekonvergenan deret yang nilai mutlak rasionya menuju 1 ketika n menuju tak terhingga.

Sebagai contoh, pada deret 1 + ½ + ⅓ + ¼ + … dan deret 1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + … , nilai mutlak rasionya sama-sama menuju 1 ketika n menuju tak terhingga. Namun, deret pertama divergen, sedangkan deret kedua konvergen.

*

Bandung, 08-06-2016