Suatu Deret yang Konvergen ke 1

Dengan Uji Rasio, kita dapat membuktikan bahwa deret 1/4 + 2/8 + 3/16 + … + n/2n+1 + … konvergen. Nah, buktikan bahwa deret ini konvergen ke 1. Selanjutnya, bila suku ke-n dalam deret ini menyatakan luas n persegi atau persegi panjang, bagaimanakah persegi dan persegi panjang tersebut dapat kita susun sehingga membentuk sebuah persegi yang luasnya 1 satuan luas?

menyusun persegi

*

Bandung, 25-06-2016

Advertisements

2 comments

  1. Cara 1:
    Untuk $x\in (0,1)$,
    \[
    \sum_{n=0}^{\infty} x^n= \frac{1}{1-x}.
    \]
    Turunkan kedua ruas terhadap x,
    \[
    \sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1}= \frac{1}{(1-x)^2}.
    \]
    Substitusi $x=1/2$, diperoleh
    $
    \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n-1}}= \frac{1}{(1-1/2)^2}=4,
    $
    sehingga
    $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n+1}}= \frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n-1}} =1$

    Cara 2:
    \[
    \sum_{n=1}^{\infty}
    \frac{n}{2^{n+1}}
    =
    \sum_{n=1}^{\infty}
    \sum_{k=1}^{n}
    \frac{1}{2^{n+1}}
    =
    \sum_{k=1}^{\infty}
    \sum_{n=k}^{\infty}
    \frac{1}{2^{n+1}}
    =
    \sum_{k=1}^{\infty}
    \frac{\frac{1}{2^{k+1}}}{1/2}
    =
    \sum_{k=1}^{\infty}
    \frac{1}{2^k}
    =1.
    \]

    Like

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s