Dengan Uji Rasio, kita dapat membuktikan bahwa deret 1/4 + 2/8 + 3/16 + … + n/2n+1 + … konvergen. Nah, buktikan bahwa deret ini konvergen ke 1. Selanjutnya, bila suku ke-n dalam deret ini menyatakan luas n persegi atau persegi panjang, bagaimanakah persegi dan persegi panjang tersebut dapat kita susun sehingga membentuk sebuah persegi yang luasnya 1 satuan luas?
*
Bandung, 25-06-2016
Cara 1:
Untuk $x\in (0,1)$,
\[
\sum_{n=0}^{\infty} x^n= \frac{1}{1-x}.
\]
Turunkan kedua ruas terhadap x,
\[
\sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1}= \frac{1}{(1-x)^2}.
\]
Substitusi $x=1/2$, diperoleh
$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n-1}}= \frac{1}{(1-1/2)^2}=4,
$
sehingga
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n+1}}= \frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n-1}} =1$
Cara 2:
\[
\sum_{n=1}^{\infty}
\frac{n}{2^{n+1}}
=
\sum_{n=1}^{\infty}
\sum_{k=1}^{n}
\frac{1}{2^{n+1}}
=
\sum_{k=1}^{\infty}
\sum_{n=k}^{\infty}
\frac{1}{2^{n+1}}
=
\sum_{k=1}^{\infty}
\frac{\frac{1}{2^{k+1}}}{1/2}
=
\sum_{k=1}^{\infty}
\frac{1}{2^k}
=1.
\]
LikeLike