Uji Rasio untuk Kekonvergenan Deret

Diberikan deret tak terhingga bilangan real a1 + a2 + a3 + …, kita dapat menyelidiki kekonvergenannya dengan menggunakan Uji Rasio, yaitu dengan mengamati nilai mutlak rasio antara satu suku dan suku sebelumnya.

Pada deret geometri, rasio tersebut sama dengan suatu konstanta r. Pada deret sembarang, rasio tersebut bergantung pada n, yakni rn = an+1/an. Nah, Uji Rasio berbunyi sebagai berikut: Misalkan an ≠ 0 untuk setiap n = 1, 2, 3, … . Jika nilai |rn| menuju suatu bilangan L < 1 ketika n menuju tak terhingga, maka deret a1 + a2 + a3 + … konvergen. Tetapi, jika nilai |rn| menuju suatu bilangan L > 1 ketika n menuju tak terhingga, maka deret a1 + a2 + a3 + … divergen.

Sebagai contoh, deret 1/2 + 2/4 + 3/8 + … + n/2n + … konvergen, karena nilai mutlak rasionya, yaitu (n+1)/2n, menuju ½ ketika n menuju tak terhingga.

Secara intuitif, jika nilai |rn| menuju suatu bilangan L ketika n menuju tak terhingga, maka untuk n yang cukup besar, suku-suku deret a1 + a2 + a3 + … akan berperilaku seperti suku-suku deret geometri dengan rasio L, karena itu deret akan konvergen apabila L < 1 (dan deret akan divergen apabila L > 1).

Lalu apa yang terjadi jika L = 1? Dalam kasus ini, deret mungkin konvergen, mungkin pula divergen. Uji Rasio tidak dapat memastikan kekonvergenan deret yang nilai mutlak rasionya menuju 1 ketika n menuju tak terhingga.

Sebagai contoh, pada deret 1 + ½ + ⅓ + ¼ + … dan deret 1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + … , nilai mutlak rasionya sama-sama menuju 1 ketika n menuju tak terhingga. Namun, deret pertama divergen, sedangkan deret kedua konvergen.

*

Bandung, 08-06-2016

Advertisements

3 comments

  1. Pak Hendra, maaf saya tidak mengerti bagian ini :
    Sebagai contoh, deret 1/2 + 2/4 + 3/8 + … + n/2n + … konvergen, karena nilai mutlak rasionya, yaitu (n+1)/2n, menuju ½ ketika n menuju tak terhingga.
    Bagaimana langkah-langkah untuk mendapatkan nilai mutlak rasio (n+1)/2n menuju ½ ketika n menuju tak terhingga? Terima kasih.

    Like

    1. Begini: (n+1)/2n = 1/2 + 1/2n. Nah, 1/2n kan menuju 0 ketika n menuju tak terhingga. Jadi (n+1)/2n menuju 1/2 ketika n menuju tak terhingga.

      Like

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s