Teorema Dasar Aritmetik

Konsep bilangan asli dan bilangan pecahan telah dikaji oleh matematikawan Yunani Kuno, sejak abad ke-4 SM. Euclid, misalnya, telah membuktikan ketakterhinggaan himpunan bilangan prima. Kajian tentang bilangan asli dan bilangan pecahan berlanjut hingga sekarang. Pada awal abad ke-19, Carl Friedrich Gauss membuktikan sebuah teorema yang kemudian dikenal sebagai Teorema Dasar Aritmetik, yang dikenal pula sebagai Teorema Faktorisasi Prima.

Teorema ini menjamin bahwa setiap bilangan asli dapat difaktorkan atas faktor-faktor primanya (secara tunggal). Sebagai contoh, 10 = 2⋅5 dan 108 = 2²⋅3³. Secara umum, setiap bilangan asli n > 1 dapat dinyatakan (secara tunggal) sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima.

Teorema Dasar Aritmetik dapat dibuktikan dengan Prinsip Induksi Matematika, sebagai berikut: Perhatikan bahwa pernyataan teorema berlaku untuk n = 2. Sekarang, misalkan pernyataan berlaku untuk n = 2 sampai dengan n = k. Kita akan membuktikan bahwa pernyataan berlaku untuk n = k + 1. Jika k + 1 merupakan bilangan prima, pernyataan teorema jelas berlaku. Lalu bagaimana jika k + 1 merupakan bilangan komposit? Dalam hal ini, k + 1 = ab, dengan 1 < a ≤ b ≤ k. Menurut pemisalan di atas, masing-masing bilangan a dan b dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima, sehingga bilangan k + 1 pun dapat dinyatakan sebagai hasil kali sejumlah bilangan prima. Dengan demikian, setiap bilangan asli n > 1 dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima.

Teorema Dasar Aritmetik lebih kuat daripada Teorema Euclid (tentang ketakterhinggaan himpunan bilangan prima). Dengan perkataan lain, Teorema Euclid merupakan syarat perlu bagi Teorema Dasar Aritmetik. Andaikan hanya terdapat terhingga bilangan prima, sebutlah p₁, p₂, …, p_N, maka bilangan q = p₁p₂ ··· p_N + 1 tak dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima p₁, p₂, …, p_N.

*

Bandung, 08-06-2016