Ketakterhinggaan (Himpunan) Bilangan Prima

(Artikel ini disadur dari tulisan saya sendiri di http://anakbertanya.com/mengapa-bisa-tahu-ada-tak-terhingga-banyaknya-bilangan-prima/)

Bilangan prima (yang telah dikenal sejak di bangku sekolah dasar) adalah bilangan asli selain 1 yang tidak dapat dibagi oleh bilangan lain selain oleh 1 dan oleh bilangan itu sendiri. Sebagai contoh, bilangan-bilangan 2, 3, 5, 7, 11, 13, adalah bilangan prima; sedangkan bilangan-bilangan 4, 6, 8, 9, 10, 12, bukan bilangan prima.

Bilangan asli selain 1 yang bukan bilangan prima disebut sebagai bilangan komposit. Sebagai contoh, 10 merupakan bilangan komposit, karena 10 dapat dibagi oleh 2 dan 5, selain oleh 1 dan 10 sendiri.

Lalu, ada berapa banyak bilangan prima itu? Jawabannya adalah tak terhingga. Bagaimana kita bisa tahu ada tak terhingga banyaknya bilangan prima? Berikut adalah pembuktiannya. (Catatan: Dalam matematika, kebenaran suatu pernyataan dibuktikan dengan menggunakan logika matematika dan kebenaran yang telah diterima sebelumnya, termasuk arti dari suatu kata atau istilah.)

Misalkan kita memeriksa setiap bilangan asli selain 1, mulai dari 2, 3, 4, dan seterusnya, apakah ia merupakan bilangan prima atau bilangan komposit. Andaikan terdapat hanya sejumlah terhingga bilangan prima, sebutlah p1, p2, … , pN. Kalikan semua bilangan ini, lalu tambahkan 1, sehingga kita peroleh bilangan m = p1p2…pN + 1.

Bilangan m adalah bilangan asli yang lebih besar daripada pN. Apakah m merupakan bilangan prima atau bilangan komposit? Jika ia merupakan bilangan prima, maka kita telah menemukan bilangan prima yang lebih besar daripada p1, p2, … , pN, yaitu bilangan m tersebut, yang tentu saja berbeda dari p1, p2, … , pN. Jika ia merupakan bilangan komposit, maka — sesuai dengan arti bilangan komposit — m habis dibagi oleh suatu bilangan prima yang lebih kecil daripadanya, sebutlah q. Tetapi m tidak habis dibagi oleh p1, p2, … , pN (karena jika m dibagi dengan bilangan-bilangan prima ini, maka akan diperoleh sisa 1). Karena itu q mestilah suatu bilangan prima yang berbeda dari p1, p2, … , pN. Jadi, seperti pada kasus sebelumnya, kita akan menemukan suatu bilangan prima baru yang berbeda dari bilangan-bilangan prima yang kita asumsikan.

Dengan argumentasi di atas, daftar bilangan prima takkan berakhir. Dengan perkataan lain, banyaknya bilangan prima mestilah tak terhingga. Fakta ini dikenal sebagai Teorema Euclid, dan pembuktian seperti di atas pertama kali diberikan oleh Euclid pada awal abad ke-3 SM dalam bukunya yang berjudul Elements.

*

Bandung, 03-06-2016

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s