Month: September 2016

Batu Bata Euler dan Balok Sempurna*

Suatu Tripel Pythagoras memberikan suatu segitiga siku-siku dengan sisi-sisi bilangan bulat positif atau bilangan asli. Nah, serupa dengan itu, adakah balok dengan panjang ketiga rusuknya bilangan asli dan panjang ketiga diagonal sisinya juga bilangan asli?

Balok demikian dikenal sebagai Batu Bata Euler. Bila a, b, dan c menyatakan panjang rusuk-rusuk suatu Batu Bata Euler, maka a, b, dan c merupakan solusi sistem persamaan Diophantine:

a2 + b2 = d2

a2 + c2 = e2

b2 + c2 = f2

dengan d, e, dan f menyatakan panjang para diagonal sisinya. Jika u, v, dan w adalah Tripel Pythagoras (yang memenuhi u2 + v2 = w2), maka solusi sistem persamaan Diophantine di atas adalah

a = u|4v2w2|, b = v|4u2w2|, dan c = 4uvw

yang memberikan diagonal sisi

d = w3, e = u(4v2 + w2), dan f = v(4u2 + w2).

Sebagai contoh, untuk u = 4, v = 3, dan w = 5, kita peroleh

a = 44, b = 117, dan c = 240,

dengan

d = 125, e = 244, dan f = 267.

Terkait dengan Batu Bata Euler, ada problem mencari balok sempurna, yaitu Batu Bata Euler yang memiliki panjang diagonal ruang bilangan asli. Jadi, selain tiga persamaan Diophantine di atas, ada persamaan keempat, yaitu

a2 + b2 + c2 = g2.

Hingga hari ini, belum ada solusi yang ditemukan. Problem Balok Sempurna, yang juga dikenal sebagai Problem Batu Bata Bilangan Bulat, merupakan problem terbuka; apakah mempunyai solusi atau tidak, kita tidak tahu.

balok-sempurna

Balok Sempurna

Dengan bantuan komputer, telah diperiksa bahwa balok dengan panjang rusuk ≤ 1010 tidak dapat menjadi balok sempurna. Jadi, kalau Anda hendak mencarinya, Anda harus memeriksa balok dengan panjang rusuk > 1010.

*

Bandung, 26-09-2016

 

Partisi Bilangan Asli

Gara-gara film The Man Who Knew Infinity, saya jadi penasaran dengan partisi bilangan asli n, yang dipelajari oleh Srinivasa Ramanujan dan Godfrey H. Hardy pada tahun 1918.

Yang dimaksud dengan partisi bilangan asli n adalah cara menguraikan n sebagai jumlah dari beberapa bilangan asli (termasuk n sendiri). Sebagai contoh, bilangan 5 dapat diuraikan dalam 7 cara, yaitu:

5,

4 + 1,

3 + 2,

3 + 1 + 1,

2 + 2 + 1,

2 + 1 + 1 + 1,

dan 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

Nah, bila p(n) menyatakan banyaknya partisi bilangan n, maka p(5) = 7. [Di sini, 3 + 2 dan 2 + 3 dianggap sebagai satu cara yang sama.]

Anda mungkin berpikir, apa yang sulit dengan partisi bilangan asli ini? Hmm.. coba hitung berapa p(10), p(25), dan … p(200), seperti yang dikerjakan oleh Ramanujan pada waktu itu. [Bila Anda perlu bantuan, sila intip program yang dibuat oleh Mr. Bee.]

Ada rumus rekursif untuk menghitung p(n). Jika p(n,m) menyatakan banyaknya partisi bilangan n dengan hanya menggunakan bilangan yang lebih kecil daripada atau sama dengan m, maka

partition-algorithm

dengan p(n,m) = p(n,n) = p(n) untuk m > n (dan, untuk menggenapi rumus, kita definisikan p(0,n) = p(0) = 1). Sebagai contoh,

p(5,4) = p(4,1) + p(3,2) + p(2,3) + p(1,4) = 1 + 2 + 2 + 1 = 6.

Untuk n = 0, 1, 2, …, 7 dan m = 1, 2, 3, …, 7, nilai p(n,m) diberikan dalam tabel di bawah ini:

partition-table

Tabel Nilai p(n,m) untuk n, m = 1,…,7

Tabel ini dapat Anda lanjutkan untuk n dan m lainnya.

Ramanujan dan Hardy menemukan bahwa p(n) membesar hampir secara eksponensial seiring dengan membesarnya n. Persisnya, Ramanujan dan Hardy memperoleh taksiran

partition-estimate

Dengan rumus ini, Anda dapat menaksir bahwa nilai p(200) kira-kira sama dengan 4 trilyun. [Nilai p(200) sebenarnya sama dengan 3.972.999.029.388, sila cek di sini.]

Pada tahun 1937, Hans Rademacher menemukan deret yang konvergen ke p(n) untuk setiap n — sila tengok rumusnya di sini.

*

Bandung, 19-09-2016

 

Segitiga Ilahi

(Artikel ini disadur dari buku karangan Clifford A. Pickover, The Loom of God, halaman 74.)

Pada tahun 1643, Pierre de Fermat mengirim surat kepada Marin Mersenne, meminta bantuan untuk menemukan suatu segitiga siku-siku dengan alas a, tinggi b, dan sisi miring c, dengan a, b, dan c bilangan asli, sedemikian sehingga a2 + b2 = c2 dengan a + b = x2 dan c = y2. Dengan perkataan lain, yang Fermat inginkan adalah suatu Tripel Pythagoras a, b, dan c, tetapi dengan a + b dan c bilangan kuadrat.

Anda mungkin tidak akan percaya bahwa tripel Pythagoras terkecil yang memenuhi persyaratan di atas adalah a = 4.565.486.027.761, b = 1.061.652.293.520, dan c = 4.687.298.610.289.

Pickover menamakan segitiga-segitiga tersebut “segitiga ilahi”, karena menurutnya hanya Tuhan yang dapat membayangkan segitiga kedua, ketiga, dan seterusnya yang memenuhi persyaratan tersebut. Bila Anda penasaran, silakan cari segitiga kedua lalu bandingkan panjang sisi-sisinya (dengan asumsi 1 satuan = 1 meter) dengan jarak Bumi-Matahari.

*

Bandung, 12-09-2016

 

The 5n + 1 vs 5n + 3 Problem*

(Artikel ini sengaja saya tulis dalam bahasa Inggris, supaya dapat dibaca pula oleh mereka yang tidak bisa berbahasa Indonesia.)

We have discussed the 5n + 1 problem which has similar behavior to the 3n + 1 problem. Out of curiosity, I investigated what happens if we do 5n + 3 instead of 5n + 1, using a computer program made by Mr. Bee.

It turns out that some sequences ‘converge’ to 1 (as in the 5n + 1 problem), but some escape to infinity and the others are trapped in a loop. For examples, for n1 = 25, the sequence converges to 1; for n1 = 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 35, 37, 41, 47, or 49 (and many others), the sequences run off to infinity; and for n1 = 43, 53, or 61 (and many others), the sequences are trapped in a loop. Below is the sequence obtained for n1 = 43.

Table1 5n+1 vs 5n+3

My curiosity went further. Knowing the behavior of the sequences in the 5n + 3 problem, I would like to find out what happens if we do 5n + 1 and 5n + 3 alternately, every time we hit a number which is not divisible by 2 or 3. For example, for n1 = 5, the sequence converges to 1. The same also occurs for n1 = 43. However, if we start with n1 = 23, then we end up with a loop, as in the following table (and the next one).

Table 2b 5n+1 vs 5n+3

Note that at Step 17, when we get 11, we do 5n + 3 and get n18 = 58 and n19 = 29. Next, we do 5n + 1 and get the following sequence (just add the step by 18), where we eventually go back to the previous Step 3.

Table 3b 5n+1 vs 5n+3

It is interesting to observe what happens if we change the order of 5n + 1 and 5n +3 operations. For example, if we start with n1 = 11, with 5n + 1 operation first, then we will get a sequence which is convergent to 1; but if we apply 5n + 3 operation first, then we will get a loop.

Table 4b 5n+1 vs 5n+3

Some loops are long, for example for n1 = 179, with 5n + 3 operation first.

Table 5a 5n+1 vs 5n+3 Table 5b 5n+1 vs 5n+3

The 5n + 1 vs 5n + 3 problem seems to have interesting behavior to investigate further. One question really bothers me: is there a sequence that runs off to infinity? If not, then the 5n + 3 operations seem to never win against the 5n + 1 operations; they always lose to or tie with the 5n + 1 operations. Is it really the case?

*

Bandung, 05-09-2016