Batu Bata Euler dan Balok Sempurna*

Suatu Tripel Pythagoras memberikan suatu segitiga siku-siku dengan sisi-sisi bilangan bulat positif atau bilangan asli. Nah, serupa dengan itu, adakah balok dengan panjang ketiga rusuknya bilangan asli dan panjang ketiga diagonal sisinya juga bilangan asli?

Balok demikian dikenal sebagai Batu Bata Euler. Bila a, b, dan c menyatakan panjang rusuk-rusuk suatu Batu Bata Euler, maka a, b, dan c merupakan solusi sistem persamaan Diophantine:

a2 + b2 = d2

a2 + c2 = e2

b2 + c2 = f2

dengan d, e, dan f menyatakan panjang para diagonal sisinya. Jika u, v, dan w adalah Tripel Pythagoras (yang memenuhi u2 + v2 = w2), maka solusi sistem persamaan Diophantine di atas adalah

a = u|4v2w2|, b = v|4u2w2|, dan c = 4uvw

yang memberikan diagonal sisi

d = w3, e = u(4v2 + w2), dan f = v(4u2 + w2).

Sebagai contoh, untuk u = 4, v = 3, dan w = 5, kita peroleh

a = 44, b = 117, dan c = 240,

dengan

d = 125, e = 244, dan f = 267.

Terkait dengan Batu Bata Euler, ada problem mencari balok sempurna, yaitu Batu Bata Euler yang memiliki panjang diagonal ruang bilangan asli. Jadi, selain tiga persamaan Diophantine di atas, ada persamaan keempat, yaitu

a2 + b2 + c2 = g2.

Hingga hari ini, belum ada solusi yang ditemukan. Problem Balok Sempurna, yang juga dikenal sebagai Problem Batu Bata Bilangan Bulat, merupakan problem terbuka; apakah mempunyai solusi atau tidak, kita tidak tahu.

balok-sempurna

Balok Sempurna

Dengan bantuan komputer, telah diperiksa bahwa balok dengan panjang rusuk ≤ 1010 tidak dapat menjadi balok sempurna. Jadi, kalau Anda hendak mencarinya, Anda harus memeriksa balok dengan panjang rusuk > 1010.

*

Bandung, 26-09-2016

 

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s