Batu Bata Euler dan Balok Sempurna*

Suatu Tripel Pythagoras memberikan suatu segitiga siku-siku dengan sisi-sisi bilangan bulat positif atau bilangan asli. Nah, serupa dengan itu, adakah balok dengan panjang ketiga rusuknya bilangan asli dan panjang ketiga diagonal sisinya juga bilangan asli?

Balok demikian dikenal sebagai Batu Bata Euler. Bila a, b, dan c menyatakan panjang rusuk-rusuk suatu Batu Bata Euler, maka a, b, dan c merupakan solusi sistem persamaan Diophantine:

a² + b² = d²

a² + c² = e²

b² + c² = f²

dengan d, e, dan f menyatakan panjang para diagonal sisinya. Jika u, v, dan w adalah Tripel Pythagoras (yang memenuhi u² + v² = w²), maka solusi sistem persamaan Diophantine di atas adalah

a = u|4v² – w²|, b = v|4u² – w²|, dan c = 4uvw

yang memberikan diagonal sisi

d = w³, e = u(4v² + w²), dan f = v(4u² + w²).

Sebagai contoh, untuk u = 4, v = 3, dan w = 5, kita peroleh

a = 44, b = 117, dan c = 240,

dengan

d = 125, e = 244, dan f = 267.

Terkait dengan Batu Bata Euler, ada problem mencari balok sempurna, yaitu Batu Bata Euler yang memiliki panjang diagonal ruang bilangan asli. Jadi, selain tiga persamaan Diophantine di atas, ada persamaan keempat, yaitu

a² + b² + c² = g².

Hingga hari ini, belum ada solusi yang ditemukan. Problem Balok Sempurna, yang juga dikenal sebagai Problem Batu Bata Bilangan Bulat, merupakan problem terbuka; apakah mempunyai solusi atau tidak, kita tidak tahu.

Dengan bantuan komputer, telah diperiksa bahwa balok dengan panjang rusuk ≤ 10¹⁰ tidak dapat menjadi balok sempurna. Jadi, kalau Anda hendak mencarinya, Anda harus memeriksa balok dengan panjang rusuk > 10¹⁰.

*

Bandung, 26-09-2016