Month: May 2016

Deret Tak Terhitung

Kita telah mengenal deret tak terhingga, yaitu bentuk penjumlahan yang melibatkan tak terhingga banyaknya bilangan. Tetapi, kita juga mengetahui bahwa ‘tak terhingga’ itu bertingkat-tingkat. Dalam deret tak terhingga, kita ‘hanya’ menjumlahkan sebanyak alef nol bilangan. (Alef nol menyatakan kardinalitas himpunan semua bilangan asli.) Nah, apa yang terjadi dengan deret tak terhitung, yaitu ketika kita menjumlahkan sebanyak kontinum bilangan? (Kontinum menyatakan kardinalitas himpunan semua bilangan real.) Mungkinkah kita mempunyai deret tak terhitung, dengan suku-suku positif, yang konvergen ke suatu bilangan?

*

Bandung, 29-05-2016

Deret Harmonik Berganti Tanda

Anda telah mengenal deret harmonik. Sekarang mari kita tinjau deret

DERET HARMONIK GANTI TANDA-0

yang mirip dengan deret harmonik, tetapi tandanya berganti antara positif dan negatif, berselang-seling. Deret ini dikenal sebagai deret harmonik berganti tanda.

Berbeda dengan deret harmonik, deret ini konvergen. Perhatikan bahwa

DERET HARMONIK GANTI TANDA-2

dan seterusnya. Kita peroleh barisan jumlah parsial yang berosilasi. Selanjutnya,

DERET HARMONIK GANTI TANDA-3

dan seterusnya. Dengan induksi, dapat dibuktikan bahwa

DERET HARMONIK GANTI TANDA-4

Lebih jauh, kedua sub-barisan ini konvergen ke suatu bilangan yang sama, karena s2n+1s2n = 1/(2n+1) menuju 0 ketika n menuju tak terhingga. Dengan deret pangkat untuk arctan x (yang akan dibahas suatu saat kelak), dapat dibuktikan bahwa deret harmonik berganti tanda konvergen ke π/4.

*

Bandung, 27-05-2016

 

 

Deret Harmonik

Berbicara tentang deret selain deret geometri dan deret persegi, masih banyak deret yang penting dan menarik untuk dipelajari, di antaranya adalah deret

DERET HARMONIK-1

Deret ini dinamai deret harmonik, karena suku-sukunya sama dengan panjang gelombang nada-nada tinggi. Apakah deret ini konvergen? Jawabannya tidak; sekalipun suku-sukunya mengecil dan menuju 0, deret tersebut divergen.

Buktinya adalah sebagai berikut. Kita hitung jumlah parsial ke-1, ke-2, ke-4, ke-8, … dari deret tersebut, yaitu

DERET HARMONIK-2

dan seterusnya. Dengan induksi, kita peroleh

DERET HARMONIK -3

untuk tiap n = 1, 2, 3, …, yang dapat melampaui bilangan besar berapapun. Karena itu, sN menuju tak terhingga ketika N menuju tak terhingga. Ini membuktikan bahwa deret harmonik di atas divergen.

*

Bandung, 23-05-2016

 

Graf dan Komplemennya

Graf adalah himpunan sejumlah titik (vertices) dan sisi (edges). Sebagai contoh, gambar berikut menyatakan sebuah graf dengan 5 titik dan 5 sisi:

graf pentagon

Dalam kehidupan sehari-hari, graf ini mungkin menyatakan hubungan pertemanan di antara 5 orang. Orang pertama berteman dengan orang kedua dan kelima, tetapi orang kedua tidak berteman dengan orang kelima, dan seterusnya.

Graf dengan 5 titik disebut sebagai graf berorde 5. Pada graf berorde 5, ada 10 sisi yang mungkin menghubungkan satu titik dengan titik lainnya. Graf berorde 5 dengan 10 sisi, seperti tampak di bawah ini, merupakan graf lengkap.

graf komplelen-2

Nah, diberikan sebuah graf, kita dapat mengamati graf komplemen-nya, yaitu graf yang bila ‘digabungkan’ dengan graf semula akan menjadi graf lengkap. Sebagai contoh, kedua graf berikut merupakan komplemen satu terhadap yang lainnya:

graf komplemen-1

Perhatikan bahwa kedua graf berorde 5 di atas ‘serupa’ atau isomorfik satu terhadap yang lainnya, karena

graf komplemen-3

Dengan perkataan lain, graf berorde 5 yang berwarna biru isomorfik dengan graf komplemennya yang berwarna merah.

Dari pengamatan awal ini, kita mempunyai problem riset yang menarik, yaitu menentukan semua graf yang isomorfik dengan graf komplemennya. Dengan hitung-hitungan sederhana, kita peroleh bahwa suatu graf akan isomorfik dengan graf komplemennya hanya jika graf tersebut memiliki orde 4k atau 4k + 1.

Jika Anda tertarik dengan problem ini, mulailah bekerja dengan graf orde 4, 5, 8, dan 9, terlebih dahulu. Tentukan semua graf berorde 4, 5, 8, dan 9, yang serupa dengan graf komplemennya. Bila Anda beruntung, Anda mungkin akan menemukan ide bagaimana mencari graf berorde lebih tinggi yang isomorfik dengan graf komplemennya.

*

Bandung, 20-05-2016

Deret Persegi dalam Persegi Satuan

Diketahui bahwa

Deret 1 per n2 - 1

Karena itu

Deret 1 per n2 - 2

Suku ke-k pada deret di ruas kiri dapat dipandang sebagai luas persegi dengan panjang sisi 1/(k+1). Sementara itu, kita tahu bahwa π2/6 – 1 < 1. Ini berarti bahwa kita dapat ‘menaruh’ tak terhingga persegi yang memiliki panjang sisi 1/(k+1), dengan k = 1, 2, 3, … di dalam sebuah persegi satuan dengan leluasa, tanpa tumpang-tindih.

persegi dalam persegi

Temukan cara menaruh tak terhingga persegi-persegi kecil itu dalam persegi satuan, tanpa tumpang-tindih.

*

Bandung, 18-05-2016

Dalil Pythagoras dan Buktinya – II

Dalil Pythagoras dapat dibuktikan dengan banyak cara, selain dengan cara Euclid. Bukti versi Bhaskara, matematikawan India abad ke-12, yang disajikan tanpa kata-kata di bawah ini tergolong bukti yang cantik:

pythagoras thm-2a

Selain itu, terdapat pula bukti yang menggunakan konsep kesebangunan, seperti di bawah ini:

pythagoras thm-2b

Sila cari bukti versi lainnya; barangkali Anda menemukan bukti yang tak kalah cantiknya untuk dalil klasik yang menyandang nama Pythagoras itu.

*

Bandung, 16-05-2016

 

Dalil Pythagoras dan Buktinya – I

Berbicara tentang segitiga siku-siku, kita pasti ingat Dalil Pythagoras yang menyatakan bahwa pada segitiga siku-siku ABC dengan alas a, tinggi b, dan sisi miring c berlaku a2 + b2 = c2.

Ada banyak cara membuktikan Dalil Pythagoras. Berikut ini adalah bukti versi Euclid yang tertulis dalam bukunya yang berjudul Elements. Pada ketiga sisi segitiga ABC, kita konstruksi persegi ACGF, BCHK, dan ABDE seperti pada gambar di bawah ini.

pythagoras thm-1

[Sumber: http://www.quora.com]

Nah, kita akan membuktikan bahwa AC2 + BC2 = AB2, yang setara dengan membuktikan bahwa luas □ ACGF + luas □ BCHK = luas □ ABDE. Untuk itu, perhatikan bahwa:

luas □ ACGF

= 2 x luas ∆ ACF

= 2 x luas ∆ ABF (alas dan tinggi ∆ ABF sama dengan alas dan tinggi ∆ ACF)

= 2 x luas ∆ ACE (∆ ACE sama dan sebangun dengan ∆ ABF)

= 2 x luas ∆ AEM (alas dan tinggi ∆ AEM sama dengan alas dan tinggi ∆ ACE)

= luas p.p. AELM.

(Catatan: p.p. = persegi panjang.) Dengan cara yang serupa, kita mempunyai

luas □ BCHK = luas p.p. BDLM.

Jadi, luas □ ACGF + luas □ BCHK = luas p.p. AELM + luas p.p. BDLM = luas □ ABDE.

*

Bandung, 14-05-2016

Bilangan Frobenius

Problem Perangko dan Bea Pos terkait erat dengan problem Frobenius, yaitu menentukan nilai terbesar yang tidak dapat dinyatakan sebagai jumlah dari bilangan-bilangan bulat positif tertentu. Sebagai contoh, bila sebuah restoran cepat saji menjual sayap ayam goreng hanya dalam kemasan berisi 5 potong, 8 potong, dan 17 potong, maka kita dapat membeli 10 potong atau 13 potong sayap ayam, tetapi tidak dapat membeli 12 potong sayap ayam. Nah, berapa potong sayap ayam terbanyak yang tak dapat dibeli di restoran cepat saji tersebut? Jawabannya adalah 19 potong, ya kan? Sila cek.

Bilangan 19 dalam cerita di atas dikenal sebagai bilangan Frobenius yang terkait dengan himpunan bilangan 5, 8, dan 17. Secara umum, diberikan sejumlah bilangan bulat positif, n1, n2, …, nk, bilangan Frobenius yang terkait dengan himpunan bilangan ini adalah bilangan bulat terbesar yang tidak dapat dinyatakan sebagai a1n1 + a2n2 + … + aknk dengan a1, a2, … , ak bilangan bulat tak negatif (sebagian di antaranya boleh sama dengan 0).

Anda dapat mencoba mencari bilangan Frobenius yang terkait dengan dua bilangan, misalnya 8 dan 17. Semakin banyak bilangan yang terlibat, semakin sulit problemnya, dan tidak ada rumus eksplisit untuk solusinya. Hmm.. matematika rupanya masih menyisakan banyak problem ya. Baguslah.. jadi matematikawan tidak akan kehilangan ‘pekerjaan’, ha ha…

*

Bandung, 13-05-2016