Deret Harmonik Berganti Tanda

Anda telah mengenal deret harmonik. Sekarang mari kita tinjau deret

DERET HARMONIK GANTI TANDA-0

yang mirip dengan deret harmonik, tetapi tandanya berganti antara positif dan negatif, berselang-seling. Deret ini dikenal sebagai deret harmonik berganti tanda.

Berbeda dengan deret harmonik, deret ini konvergen. Perhatikan bahwa

DERET HARMONIK GANTI TANDA-2

dan seterusnya. Kita peroleh barisan jumlah parsial yang berosilasi. Selanjutnya,

DERET HARMONIK GANTI TANDA-3

dan seterusnya. Dengan induksi, dapat dibuktikan bahwa

DERET HARMONIK GANTI TANDA-4

Lebih jauh, kedua sub-barisan ini konvergen ke suatu bilangan yang sama, karena s2n+1s2n = 1/(2n+1) menuju 0 ketika n menuju tak terhingga. Dengan deret pangkat untuk arctan x (yang akan dibahas suatu saat kelak), dapat dibuktikan bahwa deret harmonik berganti tanda konvergen ke π/4.

*

Bandung, 27-05-2016

 

 

Advertisements

One comment

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s