Month: August 2017

Masih tentang Penaksir ‘Lokasi Pusat’ Data

Anda sudah mengenal rerata dan median dari sejumlah bilangan (atau data) x1, x2, … , xn, yang terurut naik. Lalu ada satu nilai lagi yang sering dipakai sebagai penaksir ‘lokasi pusat’ data selain rerata dan median, yaitu modus – yakni nilai yang paling sering muncul dalam data tersebut. Namun, dari sudut pandang teori ruang bernorma, sebetulnya ada satu nilai yang juga dapat dipakai sebagai penaksir lokasi pusat data, dan nilai ini dapat ditentukan dengan sangat mudah dan cepat, yaitu t = ½·(x1 + xn), yakni rerata aritmetik dari nilai terkecil dan nilai terbesar dari data yang kita miliki. Nilai ini dikenal sebagai ‘nilai tengah’ (mid-range). [Bila selama ini Anda menggunakan istilah ‘nilai tengah’ sebagai padanan untuk median, ke depan Anda perlu meralatnya: median adalah ‘nilai di tengah’, yakni nilai yang dicapai di tengah, bukan ‘nilai tengah’.]

Sebagai contoh, jika di suatu kelompok siswa diketahui tinggi badan terendahnya adalah 154 cm dan tinggi badan tertingginya 178 cm, maka dengan cepat kita dapat memperoleh nilai tengahnya, yaitu 166 cm. Nilai ini dapat kita pakai sebagai penaksir data tinggi badan siswa di kelompok tersebut.

Nah, bila rerata aritmetik meminimumkan galat kuadrat total, nilai tengah meminimumkan apa ya? Sila selidiki!

*

Bandung, 15-08-2017

Rerata Aritmetik Meminimumkan Galat Kuadrat Total

Selain merupakan penaksir tak bias dari n bilangan yang diwakilinya, rerata aritmetik juga meminimumkan galat kuadrat total.

Persisnya, diberikan n bilangan real x1, x2, … , xn, misalkan kita ingin menentukan suatu bilangan x sedemikian sehingga

Perhatikan bahwa

suatu fungsi kuadrat dalam x. Nah, bagi Anda yang sudah akrab dengan fungsi kuadrat, Anda pasti tahu bahwa E akan mencapai nilai minimum ketika

yakni ketika x sama dengan rerata aritmetik dari x1, x2, … , xn. Jadi rerata aritmetik adalah penaksir yang meminimumkan galat kuadrat total.

Problem: Tentukan bilangan x yang meminimumkan

apabila x1 < x2 < … < xn.

*

Bandung, 11-08-2017

Rerata Aritmetik: Penaksir Tak Bias

Siswa SD pun tahu bagaimana caranya menghitung nilai rata-rata (atau rerata) dari sejumlah bilangan. Diberikan n bilangan real x1, x2, … , xn, reratanya adalah r = (x1 + x2 + … + xn)/n.

Rerata ini adalah rerata aritmetik, yang dapat dipakai sebagai penaksir dari n bilangan tadi. Jadi, daripada mengingat n bilangan, kita cukup mengingat rerata aritmetiknya. Rerata usia siswa kelas XII di SMA Z adalah 17 tahun 2 bulan, misalnya.

Nah, sebagai penaksir, rerata aritmetik merupakan suatu penaksir tak bias. Maksudnya, bila kita hitung galat tiap bilangan terhadap rerata artimetiknya dan kemudian kita jumlahkan, maka hasilnya akan sama dengan nol. Menggunakan notasi sigma, rerata artimetik memenuhi persamaan

Adakah sifat istimewa lainnya dari rerata aritmetik? Tunggu artikel berikutnya ya… 🙂

*

Bandung, 08-08-2017

Ukuran Himpunan Cantor Terner

Himpunan Cantor terner yang pernah dibahas di blog ini merupakan contoh himpunan berukuran nol yang bukan himpunan terbilang.

Dari mana kita tahu bahwa himpunan Cantor terner berukuran nol? Ingat bagaimana kita mengonstruksi himpunan tersebut, yaitu dengan membuang interval-interval (⅓, ⅔), (1/9, 2/9), (7/9, 8/9), dan seterusnya, dari interval [0, 1].

Ukuran himpunan yang dibuang dalam hal ini sama dengan 1/3 + 2/9 + 4/27 + … = 1. Jadi, mengingat ukuran interval [0, 1] sama dengan 1, himpunan yang tersisa mestilah berukuran nol.

Sementara itu ketakterbilangan himpunan Cantor terner dapat dijelaskan sebagai berikut. Dari konstruksinya, jelas bahwa himpunan Cantor terner beranggotakan semua bilangan yang tidak mengandung angka 1 di belakang tanda koma dalam sistem bilangan terner (berbasis 3). Sebagai contoh, ⅓ = [0,022222…]3 dan ¼ = [0,020202…]3 merupakan anggota himpunan Cantor terner. Selanjutnya perhatikan bahwa pemetaan

[0,c1c2c3c4c5…]3 → [0,b1b2b3b4b5…]2

dengan bi = ci/2, i = 1, 2, 3, …, merupakan korespondensi 1-1 antara himpunan Cantor terner dan himpunan semua bilangan biner di [0, 1]. Nah, karena [0, 1] tak terbilang, maka mestilah himpunan Cantor terner juga tak terbilang.

*

Bandung, 01-08-2017