Ketaksamaan Hoelder

Pada artikel sebelumnya, saya menggunakan ketaksamaan Hölder untuk membuktikan ketaksamaan m–r–t. Ketaksamaan Hölder untuk deret berbunyi

untuk sembarang barisan (x_i) dan (y_i) dan 1 < p, q < ∞ dengan 1/p + 1/q = 1. Ketaksamaan berlaku untuk setiap deret terhingga, dan karenanya ketaksamaan juga berlaku deret tak terhingga, asalkan kedua deret di ruas kanan konvergen.

Berikut adalah buktinya untuk deret terhingga. Pertama, kita periksa bahwa untuk 1 < p, q < ∞ dengan 1/p + 1/q = 1, kita mempunyai (p – 1)q = p dan (p – 1)(q – 1) = 1. Kedua, untuk sembarang bilangan a, b ≥ 0, berlaku ab ≤ (a^p)/p + (b^q)/q. Ketaksamaan ini dapat dibuktikan dengan menggunakan konsep integral, terkait dengan daerah di kuadran pertama yang berada di bawah kurva y = x^{p – 1} dan daerah yang berada di sebelah kirinya. Persisnya, perhatikan gambar di bawah ini:

Dengan konsep integral, luas daerah di bawah kurva y = x^{p – 1} untuk 0 ≤ x ≤ a sama dengan L₁ = (a^p)/p. Sementara itu, dengan menghitung integral dari inversnya, yaitu x = y^{q – 1} untuk 0 ≤ y ≤ b, kita dapatkan luas daerah di sebelah kiri kurva sama dengan L₂ = (b^q)/q. Nah, bila b = a^{p – 1}, maka L₁ + L₂ = ab (= luas persegi panjang dengan panjang a dan lebar b). Selain itu, kita peroleh L₁ + L₂ > ab. Jadi, secara umum, L₁ + L₂ ≥ ab.

Sekarang, untuk setiap i, misalkan a_i = |x_i|/A dan b_i = |y_i|/B dengan

Maka ∑_i a_i^p = 1 dan ∑_i b_i^q = 1. Selanjutnya, untuk setiap i, kita mempunyai a_ib_i ≤ (a_i^p)/p + (b_i^q)/q. Akibatnya, bila kita hitung jumlahnya, kita peroleh

Kalikan kedua ruas dengan AB, kita peroleh ketaksamaan Holder. Eureka!

O ya, catat bahwa untuk p = q = 2, kita peroleh ketaksamaan Cauchy-Schwartz, yang sudah pernah kita bahas jauh sebelumnya. Jadi ketaksamaan Cauchy-Schwarz merupakan kasus khusus dari ketaksamaan Hölder.

*

Bandung, 22-08-2017