Sifat Inklusi Ruang Lebesgue

Saya telah memperkenalkan ruang Lebesgue L^p({\bf R}),\ 1\le p\le \infty, sebagai ruang bernorma dengan norma

\|f\|_p := \Bigl(\int_{\bf R} |f(y)|^p dy\Bigr)^{\frac{1}{p}}

untuk 1\le p<\infty, atau

\|f\|_\infty := {\rm ess} \sup\limits_{y\in {\bf R}} |f(y)|.

Di sini nilai ess sup (yang merupakan singkatan dari essential supremum) dapat mengabaikan nilai f(y) di suatu himpunan berukuran nol. Sebagai contoh, jika f(1)=10 dan f(y)=1 untuk setiap y\not=1, maka \|f\|_\infty = 1, bukan 10.

Nah, kalau kemudian di antara Anda ada yang bertanya, adakah hubungan di antara L^p({\bf R}) dan L^q({\bf R}) untuk 1\le p <q\le \infty, jawabannya adalah tidak ada. Kita dapat mencari f\in L^p({\bf R}) sedemikian sehingga f\notin L^q({\bf R}). Sebaliknya, kita juga dapat mencari f\in L^q({\bf R}) sedemikian sehingga f\notin L^p({\bf R}).

Tetapi, bila domainnya dibatasi pada interval [a,b] tertentu, maka kita mempunyai hubungan inklusi L^q([a,b])\subseteq L^p([a,b]), untuk 1\le p< q \le\infty.

Buktinya tidak terlalu sulit. Hubungan inklusi di atas jelas berlaku bila q=\infty. Selanjutnya misal 1\le p< q<\infty. Ambil f\in L^q([a,b]) sembarang. Akan dibuktikan bahwa f\in L^p([a,b]). Dengan menggunakan ketaksamaan Hölder, kita peroleh bahwa

\int_a^b |f(y)|^p dy\le\Bigl(\int_a^b |f(y)|^q dy\Bigr)^{\frac{p}{q}} \Bigl(\int_a^b 1\,dy\Bigr)^{1-\frac{p}{q}}=(b-a)^{1-\frac{p}{q}} \Bigl(\int_a^b |f(y)|^q dy\Bigr)^{\frac{p}{q}}.

Bentuk terakhir di ruas kanan merupakan bilangan terhingga. Jadi terbukti bahwa f\in L^p([a,b]).

*

Bandung, 23-03-2019

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s