Ruang Lebesgue L^p dan Ruang Bernorma

Membaca postingan hari Selasa, tanggal 22-08-2018, sebagian di antara pembaca mungkin bertanya-tanya tentang ruang Lebesgue $L^p({\bf R}^n) ,\ 1\le p\le\infty.$ Untuk $1\le p<\infty,$ ruang ini merupakan ruang yang beranggotakan semua fungsi $f :{\bf R}^n \to {\bf R}$ dengan

$\int_{{\bf R}^n} |f(x)|^p\,dx <\infty.$

Untuk $p=\infty,$ anggotanya adalah semua fungsi $f :{\bf R}^n \to {\bf R}$ dengan

$\sup\limits_{x\in {\bf R}^n} |f(x)|<\infty.$

Yang dimaksud dengan ‘ruang’ dalam hal ini adalah ruang vektor: jika $f,g\in L^p({\bf R}^n)$ dan $\alpha,\beta\in{\bf R},$ maka $\alpha f+\beta g\in L^p({\bf R}^n).$

Nah, ruang $L^p({\bf R}^n)$ merupakan ruang bernorma dengan ‘norma’

$\|f\|_p:=\left(\int_{{\bf R}^n} |f(x)|^p\,dx\right)^{1/p}$

untuk $1\le p<\infty,$ atau

$\|f\|_\infty:= \sup\limits_{x\in {\bf R}^n} |f(x)|$

untuk $p=\infty.$

Yang dimaksud dengan norma pada suatu ruang vektor X dalam hal ini adalah suatu pemetaan $\|\cdot\|: X\to {\bf R}$ yang bersifat:

$\|x\|\ge 0$ untuk setiap $x\in X,$ dan $\|x\|=0$ jika dan hanya jika $x=0;$
$\|\alpha x\|=|\alpha|\,\| x\|$ untuk setiap $x\in X$ dan $\alpha\in{\bf R};$ dan
$\|x+y\|\le \|x\|+\|y\|$ untuk setiap $x,y\in X.$

Ruang vektor X yang dilengkapi dengan norma $\|\cdot\|$ kemudian disebut sebagai ruang bernorma.

Sebagai contoh, ruang Euclid ${\bf R}^n$ yang dilengkapi dengan norma $\|x\|:=(x_1^2+\cdots+x_n^2)^{1/2}$ merupakan ruang bernorma. (Tentu saja kita harus memeriksa bahwa pemetaan $\|x\|:=(x_1^2+\cdots+x_n^2)^{1/2}$ memenuhi ketiga sifat norma di atas. Sila coba.)

Terkait dengan ruang $L^p({\bf R}^n),$ saya menyembunyikan satu fakta kecil yang sesungguhnya cukup penting. Bila Anda memeriksa ketiga sifat norma di atas, Anda akan menemukan bahwa $\|f\|=0$ hanya mengakibatkan $f(x)=0$ hampir untuk setiap $x\in{\bf R}^n$ (yakni, $f\equiv 0$ kecuali pada suatu himpunan berukuran nol). Untuk mengatasinya, dua fungsi di ruang $L^p({\bf R}^n)$ dianggap identik bila kedua fungsi tersebut bernilai sama kecuali pada suatu himpunan berukuran nol. (Terkait dengan hal ini, definisi $\|\cdot\|_\infty$ di ruang $L^\infty({\bf R}^n)$ perlu dimodifikasi, yakni dengan mengganti ‘sup’ dengan ‘ess sup’ — tetapi saya tidak ingin membahasnya secara rinci saat ini.)

O ya, sifat ketiga dikenal sebagai ketaksamaan segitiga. Di ruang $L^p({\bf R}^n),$ ketaksamaan segitiga dikenal sebagai ketaksamaan Minkowski, yang dapat dibuktikan dengan menggunakan ketaksamaan Hölder: jika $f\in L^p({\bf R}^n)$ dan $g\in L^q({\bf R}^n)$ dan $\frac1p+\frac1q=1$ dengan $1\le p,q\le\infty,$ maka $fg\in L^1({\bf R}^n)$ dengan

$\|fg\|_1 \le \|f\|_p\|g\|_q.$

Ruang Lebesgue $L^p({\bf R}^n)$ merupakan ruang fungsi mendasar yang dipelajari dalam Analisis Fungsional. Untuk $p=2,$ ruang $L^2({\bf R}^n)$ merupakan ruang hasil kali dalam, yang lazim menjadi semesta pembicaraan ketika kita berbicara tentang deret Fourier.

Bandung, 25-08-2018

8 Comments

	Agus on Deret ln n/n^p
	Hendra Gunawan on Deret ln n/n^p
	Agus on Deret ln n/n^p
	Elias M. Stein… on Ruang Lebesgue L^p dan Ruang…
	Elias M. Stein… on Terence Tao

	Agus on Deret ln n/n^p
	Hendra Gunawan on Deret ln n/n^p
	Agus on Deret ln n/n^p
	Elias M. Stein… on Ruang Lebesgue L^p dan Ruang…
	Elias M. Stein… on Terence Tao

Ruang Lebesgue L^p dan Ruang Bernorma

Published by Hendra Gunawan

8 Comments

Leave a Reply Cancel reply

Share this:

Like this:

Published by Hendra Gunawan

8 Comments

Leave a Reply Cancel reply