Ruang Lebesgue L^p dan Ruang Bernorma

Membaca postingan hari Selasa, tanggal 22-08-2018, sebagian di antara pembaca mungkin bertanya-tanya tentang ruang Lebesgue $L^p({\bf R}^n) ,\ 1\le p\le\infty.$ Untuk $1\le p<\infty,$ ruang ini merupakan ruang yang beranggotakan semua fungsi $f :{\bf R}^n \to {\bf R}$ dengan

$\int_{{\bf R}^n} |f(x)|^p\,dx <\infty.$

Untuk $p=\infty,$ anggotanya adalah semua fungsi $f :{\bf R}^n \to {\bf R}$ dengan

$\sup\limits_{x\in {\bf R}^n} |f(x)|<\infty.$

Yang dimaksud dengan ‘ruang’ dalam hal ini adalah ruang vektor: jika $f,g\in L^p({\bf R}^n)$ dan $\alpha,\beta\in{\bf R},$ maka $\alpha f+\beta g\in L^p({\bf R}^n).$

Nah, ruang $L^p({\bf R}^n)$ merupakan ruang bernorma dengan ‘norma’

$\|f\|_p:=\left(\int_{{\bf R}^n} |f(x)|^p\,dx\right)^{1/p}$

untuk $1\le p<\infty,$ atau

$\|f\|_\infty:= \sup\limits_{x\in {\bf R}^n} |f(x)|$

untuk $p=\infty.$

Yang dimaksud dengan norma pada suatu ruang vektor X dalam hal ini adalah suatu pemetaan $\|\cdot\|: X\to {\bf R}$ yang bersifat:

$\|x\|\ge 0$ untuk setiap $x\in X,$ dan $\|x\|=0$ jika dan hanya jika $x=0;$
$\|\alpha x\|=|\alpha|\,\| x\|$ untuk setiap $x\in X$ dan $\alpha\in{\bf R};$ dan
$\|x+y\|\le \|x\|+\|y\|$ untuk setiap $x,y\in X.$

Ruang vektor X yang dilengkapi dengan norma $\|\cdot\|$ kemudian disebut sebagai ruang bernorma.

Sebagai contoh, ruang Euclid ${\bf R}^n$ yang dilengkapi dengan norma $\|x\|:=(x_1^2+\cdots+x_n^2)^{1/2}$ merupakan ruang bernorma. (Tentu saja kita harus memeriksa bahwa pemetaan $\|x\|:=(x_1^2+\cdots+x_n^2)^{1/2}$ memenuhi ketiga sifat norma di atas. Sila coba.)

Terkait dengan ruang $L^p({\bf R}^n),$ saya menyembunyikan satu fakta kecil yang sesungguhnya cukup penting. Bila Anda memeriksa ketiga sifat norma di atas, Anda akan menemukan bahwa $\|f\|=0$ hanya mengakibatkan $f(x)=0$ hampir untuk setiap $x\in{\bf R}^n$ (yakni, $f\equiv 0$ kecuali pada suatu himpunan berukuran nol). Untuk mengatasinya, dua fungsi di ruang $L^p({\bf R}^n)$ dianggap identik bila kedua fungsi tersebut bernilai sama kecuali pada suatu himpunan berukuran nol. (Terkait dengan hal ini, definisi $\|\cdot\|_\infty$ di ruang $L^\infty({\bf R}^n)$ perlu dimodifikasi, yakni dengan mengganti ‘sup’ dengan ‘ess sup’ — tetapi saya tidak ingin membahasnya secara rinci saat ini.)

O ya, sifat ketiga dikenal sebagai ketaksamaan segitiga. Di ruang $L^p({\bf R}^n),$ ketaksamaan segitiga dikenal sebagai ketaksamaan Minkowski, yang dapat dibuktikan dengan menggunakan ketaksamaan Hölder: jika $f\in L^p({\bf R}^n)$ dan $g\in L^q({\bf R}^n)$ dan $\frac1p+\frac1q=1$ dengan $1\le p,q\le\infty,$ maka $fg\in L^1({\bf R}^n)$ dengan

$\|fg\|_1 \le \|f\|_p\|g\|_q.$

Ruang Lebesgue $L^p({\bf R}^n)$ merupakan ruang fungsi mendasar yang dipelajari dalam Analisis Fungsional. Untuk $p=2,$ ruang $L^2({\bf R}^n)$ merupakan ruang hasil kali dalam, yang lazim menjadi semesta pembicaraan ketika kita berbicara tentang deret Fourier.

Bandung, 25-08-2018

	Prinsip Induksi Kuat… on Teorema Dasar Aritmetik
	Prinsip Induksi Kuat… on Prinsip Induksi Matematika
	Hendra Gunawan on Prinsip Induksi Matematika
	wahyu on Prinsip Induksi Matematika
	wahyu on Prinsip Induksi Matematika

	Prinsip Induksi Kuat… on Teorema Dasar Aritmetik
	Prinsip Induksi Kuat… on Prinsip Induksi Matematika
	Hendra Gunawan on Prinsip Induksi Matematika
	wahyu on Prinsip Induksi Matematika
	wahyu on Prinsip Induksi Matematika

Ruang Lebesgue L^p dan Ruang Bernorma

Published by Hendra Gunawan

5 Comments

Leave a Reply Cancel reply

Share this:

Like this:

Published by Hendra Gunawan

5 Comments

Leave a Reply Cancel reply