Membaca postingan hari Selasa, tanggal 22-08-2018, sebagian di antara pembaca mungkin bertanya-tanya tentang ruang Lebesgue Untuk
ruang ini merupakan ruang yang beranggotakan semua fungsi
dengan
Untuk anggotanya adalah semua fungsi
dengan
Yang dimaksud dengan ‘ruang’ dalam hal ini adalah ruang vektor: jika dan
maka
Nah, ruang merupakan ruang bernorma dengan ‘norma’
untuk atau
untuk
Yang dimaksud dengan norma pada suatu ruang vektor X dalam hal ini adalah suatu pemetaan yang bersifat:
untuk setiap
dan
jika dan hanya jika
untuk setiap
dan
dan
untuk setiap
Ruang vektor X yang dilengkapi dengan norma kemudian disebut sebagai ruang bernorma.
Sebagai contoh, ruang Euclid yang dilengkapi dengan norma
merupakan ruang bernorma. (Tentu saja kita harus memeriksa bahwa pemetaan
memenuhi ketiga sifat norma di atas. Sila coba.)
Terkait dengan ruang saya menyembunyikan satu fakta kecil yang sesungguhnya cukup penting. Bila Anda memeriksa ketiga sifat norma di atas, Anda akan menemukan bahwa
hanya mengakibatkan
hampir untuk setiap
(yakni,
kecuali pada suatu himpunan berukuran nol). Untuk mengatasinya, dua fungsi di ruang
dianggap identik bila kedua fungsi tersebut bernilai sama kecuali pada suatu himpunan berukuran nol. (Terkait dengan hal ini, definisi
di ruang
perlu dimodifikasi, yakni dengan mengganti ‘sup’ dengan ‘ess sup’ — tetapi saya tidak ingin membahasnya secara rinci saat ini.)
O ya, sifat ketiga dikenal sebagai ketaksamaan segitiga. Di ruang ketaksamaan segitiga dikenal sebagai ketaksamaan Minkowski, yang dapat dibuktikan dengan menggunakan ketaksamaan Hölder: jika
dan
dan
dengan
maka
dengan
Ruang Lebesgue merupakan ruang fungsi mendasar yang dipelajari dalam Analisis Fungsional. Untuk
ruang
merupakan ruang hasil kali dalam, yang lazim menjadi semesta pembicaraan ketika kita berbicara tentang deret Fourier.
*
Bandung, 25-08-2018
Prof.. saran dong.. referensi untuk membuktikan ruang L^p adalah ruang vektor, norm dan banach..
LikeLike
up
LikeLike
kok kmentarnya prof nggak muncul??
LikeLike
OK, diperhatikan.. Pada waktu yang pas nanti saya bahas tentang ruang L^p, yang merupakan ruang vektor yang dilengkapi dengan norma \| . \|_p, dan dengan norma ini L^p merupakan ruang Banach.
LikeLike