Fungsi Maksimal Hardy-Littlewood

Setelah saya bercerita tentang topik Tugas Akhir saya pada hari Selasa yang lalu, sekarang saya akan bercerita tentang topik Disertasi Doktor saya. (O ya, saya menempuh program ‘Master leading to Ph.D.’ di University of New South Wales, Sydney, Australia, yang memungkinkan saya melenggang ke program doktor tanpa menulis Tesis Master. Pembimbing saya adalah Michael Cowling. Cerita lebih lengkap tentang studi saya di Australia dapat dibaca di sini.)

Topik penelitian doktor saya adalah tentang fungsi maksimal, yang merupakan objek sentral dalam Analisis Fourier. Misalkan f=f(x) adalah fungsi terintegralkan lokal yang terdefinisi pada ruang Euclid {\bf R}^n. Fungsi {\cal M}f={\cal M}f(x) yang didefinisikan dengan rumus

{\cal M}f(x):=\sup\limits_{r>0} \frac{1}{|B(x,r)|} \int_{B(x,r)} |f(y)|\,dy,

dengan B(x,r) menyatakan bola yang berpusat di x\in{\bf R}^n dan berjari-jari r>0, dan |B(x,r)| menyatakan volumenya, dikenal sebagai fungsi maksimal Hardy-Littlewood. Perhatikan bahwa untuk mendapatkan nilai {\cal M}f di x, kita hitung nilai rerata |f(x)| pada sembarang bola B(x,r), lalu kita hitung supremum-nya terhadap semua r>0.

Salah satu sifat penting yang dimiliki oleh fungsi maksimal Hardy-Littlewood adalah sifat keterbatasannya di ruang Lebesgue L^p({\bf R}^n). Persisnya, jika f\in L^p({\bf R}^n, maka {\cal M}f \in L^p({\bf R}^n) dengan

\|{\cal M}f(x)\|_p \le C_p\|f\|_p,\quad f\in L^p({\bf R}^n),

untuk 1<p\le \infty. Di sini, \|\cdot\|_p menyatakan norma di L^p({\bf R}^n). Ketaksamaan di atas memberi tahu kita bahwa operator {\cal M}: f \mapsto {\cal M}f merupakan operator terbatas di L^p({\bf R}^n) untuk 1<p\le \infty.

Sifat keterbatasan fungsi maksimal Hardy-Littlewood di atas dapat dibuktikan dengan menggunakan lemma pelingkupan Vitali, yang dapat Anda pelajari di sini.

Dengan sifat keterbatasan fungsi maksimal Hardy-Littlewood, kita dapat memperoleh Teorema Penurunan Lebesgue, yang berbunyi

\lim\limits_{r\to 0} \frac{1}{|B(x,r)|} \int_{B(x,r)} f(y)\,dy=f(x),

untuk hampir setiap x\in{\bf R}^n.

Dalam Disertasi Doktor saya, saya juga membahas keterbatasan fungsi maksimal pada kulit bola, dan keterbatasan fungsi maksimal di grup Lie. Hasil yang saya peroleh terkait dengan kedua hal ini saya publikasikan di dua jurnal berbeda. Ringkasannya akan saya ceritakan di postingan Selasa yang akan datang. Mohon bersabar ya.. 🙂

*

Bandung, 21-08-2018

Advertisements

2 Comments

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s