Dua Norma Ekuivalen di Ruang Barisan l^p

Kemarin ada mahasiswa bertanya kepada saya: apakah saya masih menekuni analisis Fourier dan analisis fungsional. Saya menjawab: tentu saja, selama saya masih mampu.

Topik keterbatasan operator maksimal Hardy-Littlewood dan operator integral fraksional di ruang Morrey termasuk dalam area analisis Fourier. Tetapi, misalnya, topik ruang bernorma-2 atau ruang bernorma-n termasuk dalam area analisis fungsional.

Anda mungkin masih ingat bahwa saya pernah menulis tentang norma di ruang bernorma-2. Nah, di ruang barisan \ell^p,\ 1\le p<\infty, kita dapat mendefinisikan norma-2

\|x,y\|_p:=\Bigl[ \frac12 \sum\limits_k \sum\limits_l \Bigl| \det\Bigl(\begin{array}{cc} x_k & x_l\\y_k & y_l\end{array}\Bigr) \Bigr| \Bigr]^{\frac1p},

dengan x=(x_k) dan y=(y_k) di \ell^p.

Dari norma-2 ini, kita kemudian dapat memperoleh norma \|\cdot\|_* dengan

\|x\|_*:=\bigl[\|x,e_1\|_p^p+\|x,e_2\|_p^p\bigr]^{\frac1p},

dengan e_1:=(1,0,0,0,\dots) dan e_2:=(0,1,0,0,\dots).

Kita dapat memeriksa bahwa norma ini ekuivalen dengan norma biasa di \ell^p, yaitu \|x\|_p:=\bigl[\sum\limits_k |x_k|^p\bigr]^{\frac1p}. Persisnya, kita mempunyai

\|x\|_p \le \|x\|_* \le 2^{\frac1p}\|x\|_p

untuk setiap x\in\ell^p.

Sejak tahun 2000-an, saya tahu bahwa kita juga dapat mendefinisikan norma \|\cdot\|_\circ di \ell^p dengan rumus

\|x\|_\circ:=\bigl[\|x,a_1\|_p^p+\|x,a_2\|_p^p\bigr]^{\frac1p},

dengan a_1,a_2\in\ell^p bebas linear. Pertanyaannya kemudian: apakah norma ini ekuivalen dengan norma biasa di \ell^p?

Selama 10 tahun, saya tidak dapat menjawab pertanyaan tersebut. Pada tahun 2012-2013, saya dan dua mahasiswa bimbingan saya, M. Idris dan S. Ekariani, menengok kembali masalah ini dan menemukan jawabannya. Sila unduh dan baca paper “On the space of p-summable sequences” yang kami publikasikan di Mat. Vesnik 65 (2013), 58-63.

*

Bandung, 14-05-2019

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s