Ruang Fungsi Kontinu pada [a,b]

Saya telah memperkenalkan beberapa ruang fungsi, mulai dari ruang Lebesgue hingga ruang Morrey dan ruang Lorentz (sila lacak kembali artikel tentang ruang fungsi tersebut). Ada ruang fungsi mendasar yang belum dibahas, yaitu ruang fungsi kontinu pada interval [a,b], yang dilambangkan dengan C[a,b]. Dalam hal ini, f\in C[a,b] apabila f kontinu pada [a,b].

Berbicara tentang ruang fungsi kontinu berarti berbicara tentang ‘keluarga’ fungsi kontinu, bukan ‘sebuah’ fungsi kontinu. Sebagai contoh, diberikan dua fungsi kontinu pada [a,b], kita bertanya: seberapa ‘dekat’ mereka, satu terhadap yang lainnya?

Untuk memudahkan, tinjau fungsi bernilai real yang terdefinisi pada [a,b]. Dari Kalkulus kita mengetahui bahwa jika f:[a,b] \to {\bf R} kontinu, maka f terbatas pada [a,b], yakni terdapat M>0 sedemikian sehingga |f(x)|\le M untuk setiap x\in [a,b]. Berdasarkan fakta ini, kita dapat mendefinisikan norma \|\cdot\| pada C[a,b] sebagai

\|f\|_\infty := \sup \{|f(x)|\,:\,x\in [a,b]\}.

Ingat bahwa himpunan bagian tak kosong dari {\bf R} yang terbatas di atas senantiasa mempunyai batas atas terkecil, yang disebut sebagai supremum himpunan tersebut.

Dengan norma tersebut, kita bisa menghitung jarak di antara dua fungsi di C[a,b]. Lebih jauh, kita bisa berbicara tentang kekonvergenan barisan fungsi dan kriteria Cauchy untuk barisan fungsi (f_n) di C[a,b]. Nah, Anda dapat memeriksa bahwa ruang fungsi C[a,b] dengan norma \|\cdot\|_\infty merupakan ruang bernorma yang lengkap, yakni: setiap barisan Cauchy di C[a,b] senantiasa konvergen.

*

Bandung, 11-05-2019

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s