Misalkan X = (0, ½) ∪ (½, 1) dan f : X → R mempunyai grafik sebagai berikut:
Di sini, f(x) = ½ jika x ∈ (0, ½) dan f(x) = 1 jika x ∈ (½, 1). Nah, walau grafiknya seperti di atas, f merupakan fungsi yang kontinu pada X. Bila Anda mengatakan bahwa f tidak kontinu di ½, saya ingatkan Anda bahwa ½ bukan anggota X. Fungsi f kontinu di setiap anggota X, jadi f kontinu pada X.
*
Bandung, 23-06-2017
Di blog ini, saya pernah memperkenalkan fungsi kontinu di ruang metrik. Misalkan (X, d1) dan (Y, d2) ruang metrik, f : X → Y adalah fungsi dari X ke Y, dan c adalah anggota X. Fungsi f dikatakan kontinu di c apabila semakin dekat x ke c, semakin dekat f(x) ke f(c). Persisnya, f kontinu di c apabila untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x ∈ X dengan d1(x, c) < δ berlaku d2(f(x), f(c)) < ε.
Nah, jika X = [a, b] dan Y = R dilengkapi dengan metrik d(x, y) = |x − y|, maka fungsi f : X → Y dikatakan kontinu di c ∈ X apabila untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x ∈ X dengan |x − c| < δ berlaku |f(x) − f(c)| < ε. Setara dengan itu, fungsi f kontinu di c ∈ X apabila untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x ∈ X ∩ (c − δ, c + δ) berlaku f(x) ∈ (f(c) − ε, f(c) + ε).
Perhatikan jika c = a, maka X ∩ (a − δ, a + δ) = [a, a + δ), sehingga definisi di atas menyatakan bahwa f kontinu di a apabila untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 cukup kecil sedemikian sehingga untuk setiap x ∈ [a, a + δ) berlaku f(x) ∈ (f(a) − ε, f(a) + ε). Serupa dengan itu, jika c = b, definisi di atas menyatakan bahwa f kontinu di b apabila untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 cukup kecil sedemikian sehingga untuk setiap x ∈ (b − δ, b] berlaku f(x) ∈ (f(b) − ε, f(b) + ε).
Ya, dalam hal X = [a, b], kekontinuan f di a setara dengan kekontinuan kanan di a dan kekontinuan f di b setara dengan kekontinuan kiri di b.
Cerita tentang kekontinuan fungsi di suatu titik akan menjadi seru ketika X merupakan bukan merupakan interval. Salah satu contohnya dapat ditemui dalam artikel sebelumnya. Nah, dalam beberapa artikel yang akan datang, kita akan membahas beberapa contoh fungsi kontinu lainnya, yang mungkin belum pernah Anda jumpai sebelumnya.
*
Bandung, 20-06-2017
Misalkan Q = {rk : k ∈ N} menyatakan himpunan semua bilangan rasional. Definisikan fungsi f : R → R dengan rumus
Buktikan bahwa:
(a) f monoton naik.
(b) f tak kontinu di setiap bilangan rasional.
(c) f kontinu di setiap bilangan irasional.
Catatan: Walau f mempunyai rumus yang cukup gamblang, kita tidak dapat menggambar grafik fungsinya.
*
Bandung, 02-06-2017
Fungsi involusi mempunyai grafik yang simetris terhadap garis y = x. Selain itu, fungsi involusi mempunyai sejumlah sifat yang menarik, antara lain:
(1) Setiap fungsi involusi merupakan fungsi satu-ke-satu.
(2) Jika f merupakan fungsi involusi yang kontinu pada (-∞, ∞), maka f monoton turun dan mempunyai tepat satu titik tetap.
Sifat pertama mudah dibuktikan (sila coba). Untuk pembuktian sifat kedua, lihat artikel Wiener & Watkins. Dalam artikel ini, dibahas pula sifat-sifat lainnya dari fungsi involusi.
*
Bandung, 23-05-2017
Apakah Anda bisa membayangkan sebuah fungsi yang kontinu hanya di satu titik, katakan di c = 0, dan tidak kontinu di titik lainnya?
Sebagai contoh, tinjau fungsi f : R → R yang didefinisikan sebagai f(x) = x jika x rasional dan f(x) = –x jika x irasional. Fungsi ini kontinu hanya di c = 0, tidak di titik lainnya. Sila buat sketsa grafik fungsi ini!
Nah, dengan sedikit modifikasi, Anda juga dapat mengkonstruksi contoh fungsi yang mempunyai turunan hanya di satu titik, dan tidak mempunyai turunan di titik lainnya. Sila coba!
*
Bandung, 12 Mei 2017
Anda tentunya mengenal notasi n! (baca: n faktorial), yang merupakan singkatan dari bentuk perkalian n(n – 1)(n – 2) ∙∙∙ (2)(1). Sebagai contoh, 5! = 5∙4∙3∙2∙1 = 120. Nah, adakah fungsi kontinu yang terdefinisi untuk setiap bilangan real, atau setidaknya untuk bilangan real positif, yang merupakan perluasan dari fungsi faktorial f(n) = n! yang hanya terdefinisi untuk bilangan asli?
Fungsi gamma adalah jawabannya, tetapi fungsi ini tidak mempunyai rumus eksplisit. Ia didefinisikan sebagai bentuk integral, yakni
Sebagai integral tak wajar, integral ini konvergen mutlak untuk setiap z > 0. [Sebetulnya, fungsi Г(z) terdefinisi untuk semua bilangan kompleks z dengan Re(z) > 0, tetapi pada kesempatan ini anggaplah z merupakan bilangan real.]
Perhatikan bahwa
Selanjutnya, dengan pengintegralan parsial, kita mempunyai
untuk setiap z > 0. Jadi, dengan induksi, kita peroleh
untuk setiap bilangan asli n. Dengan demikian, f(z) = Г(z + 1) adalah fungsi yang dicari.
Perhatikan pula bahwa
untuk setiap bilangan ganjil k > 1. Jadi, bila kita mengetahui nilai Г(½), maka kita dapat mengetahui nilai fungsi gamma di bilangan-bilangan 3/2, 5/2, 7/2, dan seterusnya.
Nah, sebagai latihan, buktikan bahwa Г(½) = √π dengan mengubah integral yang mendefinisikan nilai Г(½) menjadi integral fungsi Gauss g(x) = exp(-x2) pada interval (0,∞), lalu hitung integral ini dengan trik seperti pada artikel sebelumnya. Sila coba!
*
Bandung, 24-03-2017
Selain tentang kekonvergenan barisan, kita juga dapat berbicara tentang kekontinuan fungsi di ruang metrik. Misalkan (X, d1) dan (Y, d2) ruang metrik, f : X → Y adalah fungsi dari X ke Y, dan c adalah anggota X. Fungsi f dikatakan kontinu di c apabila semakin dekat x ke c, semakin dekat f(x) ke f(c). Persisnya, untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika d1(x, c) < δ, maka d2(f(x), f(c)) < ε.
Problem: Misalkan X adalah ruang metrik diskrit, Y adalah ruang metrik sembarang, dan f : X → Y adalah fungsi dari X ke Y. Buktikan bahwa f kontinu di setiap titik c ϵ X, apa pun rumus fungsi f.
*
Bandung, 13-01-2017
