Teorema Nilai Antara

Dalam menentukan keberadaan akar suatu fungsi pada interval [a, b], kita sering menggunakan Teorema Nilai Antara. Teorema ini menyatakan jika f kontinu pada [a, b] dengan f(a) dan f(b) berbeda tanda, maka mestilah terdapat c di antara a dan b sedemikian sehingga f(c) = 0. Grafik fungsi y = f(x) yang menghubungkan titik (a, f(a)) dan (b, f(b)) mestilah memotong sumbu-x. Kekontinuan f dalam hal ini menjamin keberadaan akar fungsi f pada interval [a, b].

Secara intuitif, kebenaran Teorema Nilai Antara mudah kita terima. Namun, untuk membuktikannya, kita memerlukan sifat kelengkapan bilangan real atau eksistensi supremum dari suatu himpunan tak kosong yang terbatas di atas. Sebagai contoh, himpunan merupakan himpunan tak kosong yang terbatas di atas. Himpunan ini mempunyai supremum atau batas atas terkecil, yaitu

Nah, untuk membuktikan Teorema Nilai Antara, tanpa mengurangi keumuman, asumsikan Tinjau himpunan Jelas bahwa karena Karena H juga terbatas di atas (oleh b), maka menurut sifat kelengkapan bilangan real himpunan H mestilah mempunyai supremum, sebutlah c. Di sini

Ada tiga kemungkinan: atau atau atau Nah, dengan menggunakan kekontinuan f di c, dapat dibuktikan bahwa tidak mungkin terjadi. Demikian pula tidak mungkin terjadi. (Masing-masing akan bertentangan dengan fakta bahwa c adalah supremum H.) Satu-satunya keadaan yang mungkin adalah

Teorema Nilai Antara dapat diperumum sebagai berikut: jika f kontinu pada [a, b] dan maka mestilah terdapat c di antara a dan b sedemikian sehingga f(c) = k.

Teorema Nilai Antara membantu kita memastikan keberadaan akar suatu fungsi pada suatu interval, tetapi tidak memberikan cara bagaimana menemukan akar tersebut. Salah satu cara menemukan akar suatu fungsi adalah dengan menggunakan Teorema Titik Tetap Banach sebagaimana yang telah kita bahas dalam artikel sebelumnya. Masih ada beberapa cara lainnya — tunggu artikel selanjutnya.

*

Bandung, 28-04-2018