Teorema Nilai Antara

Dalam menentukan keberadaan akar suatu fungsi pada interval [a, b], kita sering menggunakan Teorema Nilai Antara. Teorema ini menyatakan jika f kontinu pada [a, b] dengan f(a) dan f(b) berbeda tanda, maka mestilah terdapat c di antara a dan b sedemikian sehingga f(c) = 0. Grafik fungsi y = f(x) yang menghubungkan titik (a, f(a)) dan (b, f(b)) mestilah memotong sumbu-x. Kekontinuan f dalam hal ini menjamin keberadaan akar fungsi f pada interval [a, b].

grafik x-cos x

Secara intuitif, kebenaran Teorema Nilai Antara mudah kita terima. Namun, untuk membuktikannya, kita memerlukan sifat kelengkapan bilangan real atau eksistensi supremum dari suatu himpunan tak kosong yang terbatas di atas. Sebagai contoh, himpunan \{x\in{\bf R}\,:\,x>0,\ x^2<2\} merupakan himpunan tak kosong yang terbatas di atas. Himpunan ini mempunyai supremum atau batas atas terkecil, yaitu \sqrt{2}.

Nah, untuk membuktikan Teorema Nilai Antara, tanpa mengurangi keumuman, asumsikan f(a)<0<f(b). Tinjau himpunan H:=\{x \in [a, b]\,:\,f(x)<0\}. Jelas bahwa H \not= \emptyset karena a \in H. Karena H juga terbatas di atas (oleh b), maka menurut sifat kelengkapan bilangan real himpunan H mestilah mempunyai supremum, sebutlah c. Di sini a<c<b.

Ada tiga kemungkinan: atau f(c) < 0, atau f(c) = 0, atau f(c)>0. Nah, dengan menggunakan kekontinuan f di c, dapat dibuktikan bahwa f(c) < 0 tidak mungkin terjadi. Demikian pula f(c) > 0 tidak mungkin terjadi. (Masing-masing akan bertentangan dengan fakta bahwa c adalah supremum H.) Satu-satunya keadaan yang mungkin adalah f(c) = 0.

Teorema Nilai Antara dapat diperumum sebagai berikut: jika f kontinu pada [a, b] dan f(a)<k<f(b), maka mestilah terdapat c di antara a dan b sedemikian sehingga f(c) = k.

Teorema Nilai Antara membantu kita memastikan keberadaan akar suatu fungsi pada suatu interval, tetapi tidak memberikan cara bagaimana menemukan akar tersebut. Salah satu cara menemukan akar suatu fungsi adalah dengan menggunakan Teorema Titik Tetap Banach sebagaimana yang telah kita bahas dalam artikel sebelumnya. Masih ada beberapa cara lainnya — tunggu artikel selanjutnya.

*

Bandung, 28-04-2018

Advertisements

1 Comment

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

w

Connecting to %s