Metode Bagi Dua

Pada acara Mathematical Analysis & Geometry Day (MaG-D) XI di ITB, 20-21 April 2018, ada soal tentang akar suatu polinom untuk 10 (sepuluh) peserta terbaik yang lolos dari babak penyisihan. Persisnya, peserta MaG-D yang pada umumnya adalah mahasiswa tingkat II s/d IV peminat matematika itu diminta membuktikan bahwa f(x) = x^5-7x+1 mempunyai akar r \in [0,1]. Selanjutnya, masih terkait dengan fungsi f ini, peserta diminta menentukan suatu barisan bilangan rasional \{x_n\} yang konvergen ke r dengan x_1=0.

Soal bagian pertama merupakan bagian yang mudah: kita dapat menggunakan Teorema Nilai Antara yang telah kita bahas dalam artikel sebelumnya. Mengingat f kontinu pada [0, 1], f(0) = 1 dan f(1) = -5, menurut Teorema Nilai Antara mestilah terdapat r \in [0,1] sedemikian sehingga f(r) = 0. Bilangan r dalam hal ini merupakan akar fungsi f. Catat bahwa f mungkin saja mempunyai lebih daripada satu akar dalam interval [0,1]. Walau demikian, dengan memeriksa kemonotonan grafik fungsi f (melalui turunannya), kita dapat memastikan bahwa f mempunyai tepat sebuah akar dalam [0,1].

Nah, untuk menjawab bagian kedua, kita dapat menggunakan Metode Bagi Dua untuk menghampiri akar fungsi f secara iteratif, mulai dengan x_1=0 dan x_2=1. Pertama, kita tinjau nilai f di titik tengah interval [0, 1], yakni di x_3=\frac12, yang membagi dua interval [0,1] sama besar. Dalam hal ini, f(\frac12)=\frac{1}{32}-\frac72+1<0. Berdasarkan Teorema Nilai Antara (lagi), akar fungsi f mestilah berada di dalam interval [0,\frac12]. Sekarang kita bagi dua lagi interval ini, dan kita hitung nilai f di titik tengahnya: f(\frac14)=\frac{1}{1024}-\frac74+1<0. Teorema Nilai Antara memberi tahu kita bahwa akar fungsi f mestilah berada di dalam interval [0,\frac14].

Jika kita ulangi langkah ini secara iteratif, maka pada langkah ke-N kita peroleh titik tengah ke-N, sebutlah x_N, yang dapat dipakai sebagai hampiran untuk akar fungsi f, dengan galat maksimum 2^{-N+2} untuk N\ge3. Barisan bilangan \{x_N\} merupakan barisan bilangan rasional yang konvergen ke akar fungsi f yang terdapat di dalam interval [0,1].

Namun, dalam soal MaG-D tadi, peserta juga diminta menentukan suatu bilangan asli N < 8 sedemikian sehingga |x_N-r|<10^{-3}. Menggunakan Metode Bagi Dua yang kita bahas di atas dengan x_1=0 dan x_2=1, kita akan memperoleh |x_{N}-r|<10^{-3} untuk N\ge 12. Bahkan bila kita memulai dengan x_1=0 dan x_2=\frac14 (mencuri dua langkah), kita peroleh |x_{N}-r|<10^{-3} untuk N\ge 10.

Untuk mendapatkan barisan bilangan rasional yang menghampiri r dengan ‘lebih cepat’, tampaknya kita mesti menggunakan metode lain, misalnya dengan menggunakan Teorema Titik Tetap Banach yang telah kita kenal. Tetapi, bagaimana persisnya Teorema Titik Tetap Banach dipakai dalam menjawab soal di atas?

*

Bandung, 01-05-2018

Advertisements

1 Comment

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s