Metode Bagi Dua

Pada acara Mathematical Analysis & Geometry Day (MaG-D) XI di ITB, 20-21 April 2018, ada soal tentang akar suatu polinom untuk 10 (sepuluh) peserta terbaik yang lolos dari babak penyisihan. Persisnya, peserta MaG-D yang pada umumnya adalah mahasiswa tingkat II s/d IV peminat matematika itu diminta membuktikan bahwa mempunyai akar Selanjutnya, masih terkait dengan fungsi f ini, peserta diminta menentukan suatu barisan bilangan rasional yang konvergen ke r dengan

Soal bagian pertama merupakan bagian yang mudah: kita dapat menggunakan Teorema Nilai Antara yang telah kita bahas dalam artikel sebelumnya. Mengingat f kontinu pada [0, 1], dan menurut Teorema Nilai Antara mestilah terdapat sedemikian sehingga Bilangan r dalam hal ini merupakan akar fungsi f. Catat bahwa f mungkin saja mempunyai lebih daripada satu akar dalam interval Walau demikian, dengan memeriksa kemonotonan grafik fungsi f (melalui turunannya), kita dapat memastikan bahwa f mempunyai tepat sebuah akar dalam

Nah, untuk menjawab bagian kedua, kita dapat menggunakan Metode Bagi Dua untuk menghampiri akar fungsi f secara iteratif, mulai dengan dan Pertama, kita tinjau nilai f di titik tengah interval yakni di yang membagi dua interval sama besar. Dalam hal ini, Berdasarkan Teorema Nilai Antara (lagi), akar fungsi f mestilah berada di dalam interval Sekarang kita bagi dua lagi interval ini, dan kita hitung nilai f di titik tengahnya: Teorema Nilai Antara memberi tahu kita bahwa akar fungsi f mestilah berada di dalam interval

Jika kita ulangi langkah ini secara iteratif, maka pada langkah ke-N kita peroleh titik tengah ke-N, sebutlah yang dapat dipakai sebagai hampiran untuk akar fungsi f, dengan galat maksimum untuk Barisan bilangan merupakan barisan bilangan rasional yang konvergen ke akar fungsi f yang terdapat di dalam interval

Namun, dalam soal MaG-D tadi, peserta juga diminta menentukan suatu bilangan asli sedemikian sehingga Menggunakan Metode Bagi Dua yang kita bahas di atas dengan dan kita akan memperoleh untuk Bahkan bila kita memulai dengan dan (mencuri dua langkah), kita peroleh untuk

Untuk mendapatkan barisan bilangan rasional yang menghampiri r dengan ‘lebih cepat’, tampaknya kita mesti menggunakan metode lain, misalnya dengan menggunakan Teorema Titik Tetap Banach yang telah kita kenal. Tetapi, bagaimana persisnya Teorema Titik Tetap Banach dipakai dalam menjawab soal di atas?

*

Bandung, 01-05-2018